Файл: Основы автоматического управления..pdf

406 Г Л . 10. УСТО Й ЧИ ВО СТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

соответствует вполне определенное движение системы, определяе­ мое решением уравнений (10.1.1).

Выберем из всех возможных движений системы какое-либо одно и условимся называть его невозмущенным по терминологии А. М. Ляпунова [42]. Этому движению соответствует вполне опре­ деленная совокупность начальных условий t0, у[°0\ . . ., у%о. Роль невозмущенного движения может играть всякое возможное дви­ жение системы, и выбор движения, которое считается невозмущен­ ным, произволен. Решение уравнений (10.1.1), соответствующее невозмущенному движению, будем обозначать у?\ . . ., у ^\

Всякое другое движение, отличное от невозмущенного, усло­ вимся называть возмущенным. Возмущенное и невозмущенное движения являются возможными движениями одной и той же системы и определяются одними и теми же дифференциальными уравнениями (10.1.1), только при различных начальных условиях.

Данное в § 6.5 определение устойчивости по Ляпунову может быть математически сформулировано следующим образом. Невоз­ мущенное движение называется устойчивым по отношению к вели­ чинам уі, . . ., уп, если при любом сколь угодно малом е > 0

Невозмущенное движение называется асимптотически устойчи­ вым, если существует такое положительное число б, что все возму­ щенные движепия, для которых в любой начальный момент t0 выполнены неравенства (10.1.2), асимптотически стремятся к невозмущенному движению при t-*-oo:

Если существует хотя'бы одно такое число е > 0, что при любом сколь угодно .малом б ] > 0 существует возмущенное движение, удовлетворяющее условию (10.1.2), для которого при некоторых значениях t > t n неравенства (10.1.3) не выполняются, то невозму­ щенное движение называется неустойчивым.

Этим определениям можно дать геометрическую интерпрета­ цию. Для этого буде.м изображать отклонение возмущенного движения системы от невозмущенного в каждый данный момент времени t точкой га-мерного пространства с прямоугольными

декартовыми координатами *)

Ѣ = Уі — у{°\ Ч2 = У2 — Уг\ •••, Лп= Уп— Уп-

Всякое пространство, в котором декартовыми координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние некоторой системы, называется фазовым пространством этой системы. Точка фазового пространства, соответствующая состоя­ нию системы в данный момент t, называется изображающей точкой.

Рис. 10.1.1. Рис. 10.1.2.

Изменению состояния системы со временем соответствует движе­ ние изображающей точки в фазовом пространстве. Любая траекто­ рия, по которой может двигаться изображающая точка при изме­ нении состояния системы, называется фазовой траекторией. Изу­ чение фазовых траекторий, как мы увидим в §§ 10.4 и 10.5, во многих случаях значительно облегчает исследование свойств автономных нелинейных систем.

Очевидно, что в рассматриваемом фазовом пространстве невоз­ мущенному движению соответствует состояние покоя изобра­ жающей точки в начале координат. Невозмущенное движение устойчиво, если все возможные фазовые траектории, начинающие­

(рис. 10.1.1). Невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если все возможные фазовые траектории, начинающиеся внутри сферы С6 достаточно малого радиуса б, стремятся к началу коор­

всем вводимым ниже понятиям можно поставить в соответствие наглядные геометрические образы. При п > 3 таких наглядных образов не существует. Однако и в этом случае геометрическая терминология удобна тем, что она дает возможность по аналогии с двумерным и трехмерным пространствами легче осваивать вводимые понятия и иллюстрировать их в случае необходи­ мости наглядными образами на плоскости или в трехмерном пространстве.

408 Г Л . 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

чиво, если существуют фазовые траектории, начинающиеся как угодно близко к началу координат, выходящие при некоторых t за пределы некоторой фиксированной сферы Сг (рис. 10.1.3).

Иными словами, невозмущенное движение устойчиво, если при любом как угодно малом радиусе е сферы Се существует такая сфера Св радиуса б, что изображающая точка В не может выйти за пределы сферы Се, начав движение из любой точки В 0 сферы С6. Невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если суще­ ствует такая сфера С6, что изображающая точка стремится к нача­ лу координат, начав движение из любой точки В 0 сферы С6. Невозмущенное движение неустойчиво, если существует такая

сфера Се и как угодно близко к началу координат можно найти такую точку В 0, что изображающая точка выйдет за пре­ делы сферы Се, начав движение в точ­ ке В 0.

При исследовании нелинейных си­ стем обычно принимают за координаты изображающей точки в фазовом про­ странстве сами величины уи . . ., уп, определяющие состояние системы в лю­ бой момент времени к Приведенная гео­ метрическая интерпретация определений устойчивости и неустойчивости остается

справедливой и в этом случае, если вместо сфер Се п С6 с центром в начале координат рассматривать сферы с центром в подвижной точ­ ке, изображающей состояние системы в невозмущенном движении.

равновесия нелинейной системы могут быть устойчивыми, а другие движения или состояния равновесия той же самой системы могут быть неустойчивыми. Поэтому нельзя говорить об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы вообще, а можно говорить только об устойчивости или неустойчивости различных режимов движения (работы) нелинейной системы. Именно поэтому, давая определение устойчивости, мы отнесли это понятие не к системе, а к некоторому движению системы, которое мы назвали невоз­ мущенным. В качестве такого невозмущенного движения естествен­ но выбирать некоторое требуемое движение или состояние равно­ весия системы, в котором она должна находиться при нормальном функционировании и от которого ее отклоняют различные неиз­ бежные в любой системе возмущения, в том числе и случайные.

В определении устойчивости по Ляпунову невозмущенное и возмущенное движения рассматриваются всегда при одних и тех же правых частях уравнений (10.1.1), а следовательно, при

одних и тех же входных сигналах системы, представляющих собой вполне определенные заданные функции времени. Поэтому одна и та же система при одних и тех же начальных условиях невоз­ мущенного движения t0, у і°о, . . у $ может быть устойчивой по Ляпунову при одних входных сигналах и неустойчивой при других входных сигналах. Между тем в задачах практики при­ ходится оценивать устойчивость работы системы при различных входных сигналах, заранее неизвестных. В таких случаях можно взять невозмущенное движение системы при каких-нибудь вполне определенных входных сигналах, а сравнивать с ним придется все возможные возмущенные движения, соответствующие всем возможным достаточно малым изменениям входных сигналов и начальным отклонениям. При этом функции <pfe в уравнениях (10.1.1) будут различными для всех возмущенных движений и будут отличаться от функций срй, соответствующих невозмущен­ ному движению, т. е. каждое возмущенное движение будет опре­ деляться своими дифференциальными уравнениями, отличными от дифференциальных уравнений невозмущенного движения. Это обстоятельство является одной из причин того, что определение устойчивости по Ляпунову недостаточно для практики. Именно поэтому в главе 6 в основу теории устойчивости линейных систем было положено другое определение устойчивости, данное в § 6.1. Это же определение устойчивости можно с соответствующимп видоизменениями перенести на нелинейные системы.

Предположим, что при изменении формы входных сигналов правые части дифференциальных уравнений (10.1.1) изменяются непрерывно, т. е. что при замене входных сигналов достаточно близкими к ним другими входными сигналами функции q>h в урав­ нениях (10.1.1) изменяются сколь угодно мало. В этом случае дифференциальные уравнения возмущенных движений можно

где Fh — функции, сколь угодно малые по абсолютной величине при любых достаточно малых отклонениях входных сигналов систе­ мы от входных сигналов, соответствующих невозмущенному дви­ жению. Различным входным сигналам системы соответствуют различные функции Fk в уравнениях (10.1.5). В частности, для входных сигналов, при которых рассматривается невозмущенное движение системы, все функции Fk тождественно равны нулю. Рассматривая возмущенные движения, соответствующие всем воз­ можным входным сигналам, мы должны оставить функции Fk неопределенными и дать определение устойчивости, независимое от вида функций Fh.

Видоизменяя определение § 6.1, мы назовем невозмущенное движение системы устойчивым, если отклонение ее возмущенного