Файл: Основы автоматического управления..pdf

Подставляя эти выражения в уравнения (10.1.1) и принимая во внимание, что невозмущенное движение удовлетворяет системе уравнений (10.1.1), вследствие чего

получим следующую систему линейных дифференциальных урав­ нений для т)і, . . ., рп:

где коэффициенты ahi определяются формулой

Величины т)і, . . ., т]п, определяющие отклонение возмущенно­ го движения от невозмущенного, обычно называются вариациями переменных уи . . ., уп, определяющих состояние системы. При­ ближенные линейные уравнения (10.2.3) называются уравнениями в вариациях или линейными уравнениями первого приближения.

При весьма общих условиях А. М. Ляпунов доказал следую­ щие теоремы, которые мы сформулируем без доказательства:

1.Невозмущенное движение нелинейной системы асимптоти­ чески устойчиво, если определяемая соответствующими уравне­ ниями в вариациях линейная система асимптотически устойчива.

2.Невозмущенное движение нелинейной системы неустойчиво, если определяемая соответствующими уравнениями в вариациях линейная система неустойчива.

Эти теоремы Ляпунова дают возможность исследовать устойчи­ вость различных режимов работы нелинейных систем методами теории устойчивости линейных систем.

Если все коэффициенты ah[ системы уравнений в вариациях постоянны, то невозмущенное движение называется установившим­ ся. Для исследования устойчивости установившихся движений

нелинейных систем можно применить изложенные в §§ 6.2 и 6.3 методы исследования устойчивости стационарных линейных систем.

В случае периодического невозмущенного движения (колеба­ ний) автономной нелинейной системы коэффициенты ahl уравнений в вариациях являются периодическими функциями времени. Методы исследования устойчивости систем в случае, когда уравне­ ния в вариациях являются уравнениями с периодическими коэффициентами, также разработаны Ляпуновым [42] (см. так­ же [74]).

В общем случае, когда коэффициенты уравнений в вариациях являются любыми функциями времени, для исследования устой­ чивости системы можно применить общий критерий § 6.1. Для

412 ГЛ . 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

этого следует определить весовые функции линейной системы, определяемой уравнениями в вариациях, соответствующие всем входам системы и всем переменным уі, . . ., уп, и вычислить для них интегралы (6.1.1). Все эти вычисления можно выполнить с помощью моделирования соответствующей сопряженной системы. Выполнив эти вычисления для различных моментов времени £, можно судить об устойчивости системы. Если интегралы (6.1.1)

с увеличением £, начиная с некоторого момента, то исследуемая нелинейная система устойчива по отношению к переменным уи . . .

. . ., уп. Если же хотя бы один из этих интегралов неограниченно возрастает с увеличением t, то система неустойчива. Заметим, что этот способ исследования устойчивости является чисто практи­ ческим и не дает возможности делать строгие выводы об устой­ чивости и неустойчивости вследствие невозможности осуществить с помощью моделирующих устройств бесконечные процессы, свя­ занные с переходом к пределу в формуле (6.1.1). Однако для прак­ тики такой метод исследования устойчивости вполне достаточен и дает возможность безошибочно судить об устойчивости движе­ ния в течение любых интересующих нас конечных отрезков времени.

Для исследования устойчивости можно также применить непо­ средственное моделирование системы или линейной системы, опре­ деляемой уравнениями в вариациях, при различных начальных условиях.

Для приближенного исследования устойчивости нелинейных систем методом линеаризации в случае произвольных переменных коэффициентов akt уравнений в вариациях (10.2.3) можно также применить прием «замораживания» коэффициентов. Этот прием состоит в том, что переменные коэффициенты уравнений в вариаци­ ях заменяются их постоянными значениями, соответствующими какому-нибудь выбранному моменту времени tu и исследуется устойчивость стационарной линейной системы, определяемой полу­ ченными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это иссле­ дование производится для ряда характерных моментов времени ti, t2, ■■• работы системы. Если для всех выбранных моментов времени стационарные линейные системы, полученные «замора­ живанием» коэффициентов уравнений в вариациях, устойчивы, то исследуемую нестационарную систему можно практически счи­ тать устойчивой. При этом в случае определенного конечного вре­ мени работы системы, например в случае работы системы управ­ ления полетом снаряда, когда в момент попадания снаряда в цель или его разрыва работа системы управления, естественно, прекра­ щается, систему можно считать практически устойчивой и в том случае, если система, полученная «замораживанием» коэффициен-

лов уравнений в вариациях, становится неустойчивой, когда до момента конца работы системы остается время, значительно мень­ шее времени переходного процесса системы.

Заметим, что с практической точки зрения совершенно не обя­ зательно выбирать в качестве центра разложения входящих в уравнения функций исследуемое невозмущенное движение систе­ мы, т. е. интеграл уравнений (10.1.1), описывающих поведение системы. Можно в качестве центра разложения взять любые функ­ ции у'і0>, . . ., Уп\ не удовлетворяющие уравнениям (10.1.1), но близкие к интегралу уравнений (10.1.1), соответствующему невозмущенному движению системы. Так, например, если некото­ рые из переменных уі, . . ., уп. скажем уи . . ., ут, являются по физическому смыслу малыми величинами при устойчивой работе системы, то в качестве функций у\т, . . ., у^ можно взять нули, а остальные функции Ут+і , . . ., Уп‘ определить путем интегри­ рования соответствующей укороченной системы уравнений, полу­ ченной из (10.1.1) путем замены нулями всех малых величин.

В заключение заметим, что изложенный метод исследования устойчивости нелинейных систем, основанный на линеаризации уравнений, применим лишь к системам, содержащим только эле­ ментарные нелинейные звенья с непрерывными гладкими характе­ ристиками. К системам с существенно нелинейными звеньями этот метод неприменим. В таких случаях часто оказывается полезным второй метод Ляпунова, который мы изложим в следующем пара­ графе. Для более подробного изучения теории устойчивости реко­ мендуем читателю обратиться к специальной литературе (см.,

например, [42, 43], а также [39, 41, 74)].

§ 10.3. Прямой метод исследования устойчивости нелинейных систем (второй метод Ляпунова)

Второй метод Ляпунова основан на обобщении и развитии эле­ ментарных представлений, связанных с положениями равновесия материальной точки в консервативном силовом поле. Из теорети­ ческой механики известно, что точки минимума потенциальной энергии являются положениями устойчивого равновесия матери­ альной точки, а точки максимума потенциальной энергии — положениями неустойчивого равновесия (теорема Лежен-Дирихле). Основная идея второго метода Ляпунова состоит в нахождении такой функции координат точки фазового пространства данной системы V (т|,, . . ., і]„), которая была бы до некоторой степени аналогична потенциальной энергии покоящейся материальной точки в обычном пространстве.

Для изложения второго метода исследования устойчивости, разработанного А. М. Ляпуновым, введем следующие определения. Функция V (гр, . . ., г)„) называется знакопостоянной, если она

имеет один и тот же знак всюду в некоторой области, содержащей начало координат, за исключением некоторых точек, в которых она равна нулю. Знакопостоянная функция, равная нулю лишь в начале координат, называется знакоопределенной', определенноположительной или определенно-отрицательной, в зависимости

от знака.

Для любой определенно-положительной функции ѵ (%, . . ., т]„)

При этом вблизи начала координат поверхность, соответствующая любому достаточно малому значению с, находится целиком внутри области, ограниченной любой

внутрь любой поверхности ѵ (т)1, . . ., ц„) = с или по ней и не может выходить из ограниченной этой поверхностью области нару­ жу (рис. 10.3.1), то система устойчива. Если же изображающая точка может двигаться вблизи начала координат только внутрь любой поверхности ѵ (т]!, . . ., т]п) = с (рис. 10.3.2), то система асимптотически устойчива. Но если изображающая точка дви­ жется внутрь поверхности ѵ (т]і, . . ., цп) = с, то определенно­ положительная функция V (т)!, . . ., г)„) убывает при движении системы и, следовательно, ее полная производная по времени

V (t]j, . . ., т]п) знакопостоянна отрицательна, если изображающая точка может двигаться только внутрь любой поверхности ѵ = с или по ней, и определенно-отрицательна, если изображающая точка может двигаться только внутрь поверхности ѵ = с.

Для любой определенно-отрицательной функции ѵ (%, . . ., т]п) ее полная производная в рассмотренных случаях будет положи­ тельной.

Таким образом, мы приходим к следующим двум теоремам Ляпунова.