ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 422
Скачиваний: 15
§ 10.3. П РЯМ О Й М ЕТОД И ССЛЕДО ВА Н И Я УСТОЙЧИВОСТИ |
415 |
1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движе ния таковы, что можно найти знакоопределенную функцию ѵу полная производная которой по времени
dv |
Vi |
дѵ |
(10.3.1) |
dt ~ |
2 j |
drib ^ h |
k=l
в силу этих уравнений знакопостоянна и имеет знак, противопо ложный знаку функции ѵ, или тождественно равна нулю, то невоз мущенное движение устойчиво.
2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию ѵ, полная производная которой по времени в силу этих уравнений знако определенна и имеет знак, противоположный знаку функции ѵг то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Изложенный метод оценки устойчивости дает достаточные усло вия устойчивости. Это означает, что невыполнение этих условий еще не означает, что движение системы неустойчиво. Движениесистемы может быть устойчивым и при невыполнении условий сформулированных теорем Ляпунова.
Метод исследования устойчивости с помощью функции Ляпу нова V (щ, . . ., т]п) весьма эффективен и применим к любым нелинейным системам, так как он не накладывает никаких огра ничений на правые части уравнений движения (10.1.1).
К сожалению, практическое применение этого метода часто осложняется трудностью нахождения функции Ляпунова ѵ (т]і, . • т)п)- Общих рекомендаций по нахождению этой функ ции для произвольных систем не существует. Однако Ляпунов дал один способ построения функции ѵ (цг, . . ., т)п) для широкого круга нелинейных задач, связанных с исследованием устойчивости установившихся движений. Этот способ заключается в том, что уравнения, описывающие поведение системы, сначала линеари зуются. После этого функция ѵ ищется в виде квадратичной формы с неопределенными коэффициентами:
|
|
|
П |
|
у О іі. |
• • - , |
'Пп) = |
k, 2i=i аьЛЪЛг- |
(10.3.2) |
|
||||
Коэффициенты aki определяются |
из условия |
|
||
du |
п |
|
|
|
“V |
д у |
|
(10.3.3) |
|
dt |
2л dr]j T)j= — А 2 Лг. |
|||
|
з=1 |
|
Г=1 |
|
где А — любая постоянная.
Подставляя в формулу (10.3.3) выражения производных — ,
Полученные дифференцированием формулы (10.3.2), и выражения
416 |
ГЛ . 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
производных г);- из линеаризованных уравнений движения и срав нивая коэффициенты при одинаковых членах ц^г)г в левой и пра вой частях равенства, получаем алгебраические уравнения для определения коэффициентов ahi. После нахождения коэффициен тов а кі формула (10.3.2) определит функцию Ляпунова ѵ для линеа ризованных уравнений. Эта функция может быть использована для оценки устойчивости исходной нелинейной системы.
Другой метод нахождения функции Ляпунова для широкого класса систем, содержащих одно произвольное элементарное нелинейное звено, указал А. И. Лурье [41].
§ 10.4. Фазовые траектории и особые точки нелинейных систем
Для получения достаточно полного представления о характере возможных движений системы без непосредственного интегрирова ния ее дифференциальных уравнений весьма плодотворным являет ся изучение многообразия фазовых траекторий и особых точек равновесия в фазовом пространстве системы [5, 51, 68]. Особенно наглядны фазовые траектории и особые точки для автономных систем второго порядка, т. е. на фазовой плоскости *). На приме рах исследования фазовых траекторий автономных систем второго порядка выявляются основные особенности нелинейных систем
вообще.
Уравнение автономной системы второго порядка может быть представлено в виде
У = ф (У, У), |
(10.4.1) |
где ф — известная функция выходной переменной и ее производ
ной, в общем случае нелинейная. Полагая у = z, приведем урав нение (10.4.1) к системе двух уравнений первого порядка:
У = z, |
z = ф (у, z). |
(10.4.2) |
Фазовыми координатами системы являются ее выходная пере
менная у и скорость ее изменения z = у. Разделив уравнения {10.4.2) одно на другое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:
*L = |
ф(г/’ z) .. |
(10.4.3) |
dy |
z |
|
Уравнение (10.4.3) однозначно определяет касательную к фазовой траектории во всех точках, кроме тех, в которых одновременно
*) Системой второго порядка мы называем для краткости систему, поведение которой описывается одним дифференциальным уравнением вто рого порядка или системой двух дифференциальных уравнений первого порядка.
418 |
ГЛ . 10. УСТО Й ЧИ ВО СТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
|
Системе уравнений (10.4.7) соответствует характеристическое |
|
уравнение |
(10.4.8) |
|
|
Я2 — Ьк — а = 0. |
|
Корни этого уравнения полностью определяют интеграл урав нений (10.4.7), т. е. поведение системы около положения равнове сия, а следовательно, и характер особой точки (у0, 0). Поэтому рассмотрим возможные типы корней характеристического урав
нения (10.4.8).
1. Случай комплексных сопряженных корней X = h ± гм.
Решение уравнений (10.4.7) имеет вид колебаний:
г)= meht sin (a>t -\- тр),
(10.4.9)
£= hmeht sin (соt + г|з) + мтпе/і< cos (соt -f• гр),
где /тг, гр — постоянные интегрирования, определяемые начальны ми условиями. При увеличении t на период 2л/со обе координаты
Рис. 10.4.1. |
Рис. 10.4.2. |
пропорционально убывают при h < 0 и возрастают при h > 0. Изображающая точка стремится к началу координат при t ->оо, если h <С. 0. Изображающая точка удаляется от начала координат при h > 0 . Так как
i- = h + U)Ctg (м г + ір)
и так как при увеличении t на период 2л/со котангенс, убывая, дважды пробегает все значения от —оо до оо, то радиус-вектор изображающей точки поворачивается за время 2л/ц> по часовой стрелке на угол 2л. Следовательно, в случае отрицательной дей ствительной части h корней характеристического уравнения изо бражающая точка В приближается к особой точке (у0, 0) по спи рали (рис. 10.4.1). В случае положительной действительной части h
