Файл: Основы автоматического управления..pdf

Определив из уравнения (10.4.13) по правилу дифференцирования неявных функций производную d^/di\ в особой точке, убеждаемся в том, что все фазовые траектории касаются в особой точке той из прямых (10.4.11) и (10.4.12), которая соответствует меньшему по абсолютной величине из корней ки к2 характеристического уравнения.

Семейство фазовых траекторий, определяемое уравнением {10.4.13), для случаев A,j, к2 < 0 и A,t, Я,2 > 0 представлено соот­ ветственно на рис. 10.4.3 и 10.4.4.

Таким образом, через особую точку в этом случае проходят все фазовые траектории, из которых четыре представляют собой полу­ прямые. Изображающая] точка по любой фазовой траектории

стечением времени асимптотически приближается к особой точке

вслучае отрицательных корней А,і, Я2 характеристического урав­ нения и удаляется от нее в случае положительных корней Я,1; к2 характеристического уравнения. Особая точка такого типа назы­

вается узлом. При А,!, Я2 < 0 узел устойчив, при ки Х2 > 0 — неустойчив.

Все эти качественные выводы остаются в силе и в том случае, когда A.J = к2, только прямые (10.4.11) и (10.4.12) в этом случае совпадают.

3. Случай чисто мнимых корней к = ± ш .

Решение уравнений (10.4.7) в этом случае принимает форму незатухающих колебаний:

где т, ф — постоянные интегрирования, определяемые начальны­ ми условиями. Возводя в квадрат первое уравнение (10.4.14), деленное на т, и второе, деленное на та, и складывая полученные таким образом равенства, находим уравнение семейства фазовых

Таким образом, семейство фазовых траекторий представляет собой семейство подобных эллипсов с полуосями т и тсо (рис. 10.4.5). Через каждую точку плоскости проходит один эллипс. Вся фазо­ вая плоскость оказывается заполненной вложенными друг в друга

тойчивости исходной нелиней­ ной системы ничего сказать нельзя, так как линеаризованная си­

стема устойчива не асимптотически и теоремы § 10.2 неприменимы. Необходимы дополнительные исследования. Эти исследования в каждом частном случае показывают, является ли рассматривае­ мая особая точка фактически центром, как, например, в случае маятника без трения, или нет.

4. Случай двух действительных корней Я.4, Х2 различных зна­ ков (Xj < 0 , %2 > 0).

В этом случае показатель степени в уравнении (10.4.13) отрица­ телен, вследствие чего при обращении одной из величин £ — Я^ц и £ — Я2т] в нуль другая становится бесконечной. Это свидетель­ ствует о том, что фазовые траектории имеют в данном случае прямые (10.4.11) и (10.4.12) асимптотами (рис. 10.4.6). Таким образом, в данном случае только две прямолинейные фазовые траектории (10.4.11) и (10.4.12) проходят через особую точку. Где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент, она всегда в конечном итоге станет удаляться от положения рав­ новесия. Только в случае движения изображающей точки точно по асимптоте (10.4.11) она приближается к положению равновесия. Но стоит изображающей точке отклониться от этой прямой, как она уйдет от особой точки. Такая особая точка является седлом. Седло всегда соответствует положению неустойчивого равновесия системы.

Для линейной системы уравнения (10.4.4) линейны и вследствие этого могут иметь только одно решение. Таким образом, линейная

422 ГЛ . 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

система может иметь только одно положение равновесия. Все полу­ ченные выше выводы о характере фазовых траекторий справедливы для всей фазовой плоскости. Следовательно, характер особой точки для линейной системы полностью определяет ее поведение при любых отклонениях от особой точки, т. е. на всей фазовой плоскости.

Для нелинейной системы характер особой точки не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. Нели­ нейная система может иметь несколько положений равновесия, а ее фазовые траектории имеют различный вид в разных областях фазовой плоскости.

Выше было показано, что при чисто мнимых корнях характери­ стического уравнения консервативная линейная система может

совершать периодические движения любой амплитуды и одной строго определенной частоты. Вся фазовая плоскость такой систе­ мы заполнена вложенными друг в друга замкнутыми траектория­ ми. Нелинейная система также может иметь в этом случае особую точку — центр, около которого все фазовые траектории являются замкнутыми кривыми. Однако, кроме таких фазовых траекторий, для нелинейной системы в этом случае обязательно будут суще­ ствовать в других областях фазовой плоскости и незамкнутые фазовые траектории. Примером такой системы может служить обычный плоский маятник (математический или физический). Фазовые траектории плоского маятника, не обладающего затуха­ нием, изображены на рис. 10.4.7.

Маятник имеет два положения равновесия: нижнюю точку устойчивого равновесия и верхнюю точку неустойчивого равно­ весия. При отклонении от положения устойчивого равновесия маятник совершает колебания с амплитудой, равной начальному отклонению. Фазовая траектория его является замкнутой кривой,

охватывающей точку устойчивого равновесия — центр. При уве­ личении начального отклонения до л маятник при нулевой ско­ рости (z = 0) оказывается в верхней точке неустойчивого равно­ весия — седле. Движение маятника может происходить из этой точки в любом направлении. Этому движению соответствуют фазовые траектории, отмеченные на рис. 10.4.7 жирными линиями. Если маятнику сообщить достаточно большую начальную ско­ рость, то он станет вращаться относительно точки подвеса в соот­ ветствующем направлении, а его скорость нигде не будет обра­ щаться в нуль. Фазовые траектории, соответствующие этому слу­ чаю движения, расположены вне траекторий, отмеченных на

рис. 10.4.7 жирными линиями. Последние являются особыми фазовыми траекториями — сепаратрисами, проходящими через особые точки типа седел, и служат разграничительными кривыми, разделяющими области с траекториями разных типов. Следова­ тельно, фазовая плоскость маятника содержит особые точки типа центра и седла и заполнена интегральными кривыми двух видов: эллипсами внутри сепаратрис и волнообразными кривыми вне сепаратрис.

Однако в задачах практики часто встречаются и такие нелиней­ ные системы, у которых существуют только отдельные изолиро­ ванные замкнутые фазовые траектории, называемые предельными Циклами. Всякая траектория, соседняя с замкнутой траекторией, уже не является замкнутой, она либо наматывается на предельный Цикл, либо сходит с него. Если фазовые траектории, близкие к предельному циклу, наматываются на него, то предельный цикл устойчив и ему соответствует устойчивое периодическое движение

т° предельный цикл неустойчив и соответствующее периодическое Движение системы неустойчиво.

На рис. 10.4.8 показана фазовая диаграмма системы, имеющей особую точку неустойчивого равновесия типа неустойчивого фоку­ са и один устойчивый предельный цикл. Изображающие точки, находящиеся внутри предельного цикла, движутся по разверты­ вающейся спирали, приближаясь к предельному циклу. Все изо­ бражающие точки,находящиеся вне предельного цикла, с течением вре­ мени по свертывающимся спиралям приближаются к предельному цик­ лу. Таким образом, если система не находится в состоянии равно­ весия, то с течением времени в ней устанавливается периодический режим, не зависящий от начальных условий. Такие периодические ко­ лебания называются автоколеба­ ниями. На рис. 10.4.9 показана фазовая диаграмма нелинейной си­

стемы с одним неустойчивым предельным циклом. Предельный цикл может также быть полуустойчивым в случае, когда фазовые траек­ тории с одной стороны приближаются к нему, а с другой стороны удаляются от него (рис. 10.4.10).

Неустойчивый и полуустойчивый предельные циклы соответ­ ствуют неустойчивым автоколебаниям в системе. Неустойчивые автоколебания практически невозможны, так как при малейшем возмущении изображающая точка сходит с соответствующего предельного цикла и удаляется от него.

Если система имеет несколько предельных циклов, соответ­ ствующих одной и той же особой точке, то неустойчивые и устой­ чивые предельные циклы всегда чередуются.

В этих случаях конечное положение системы зависит от струк­ туры ее фазового портрета (от свойств системы) и от исходного толчка — возмущения, т. е. от положения изображающей точки в начальный момент времени. Если, например, система имеет неустойчивый фокус, то ближайший к нему предельный цикл является устойчивым (сплошная линия), затем следует неустойчи­ вый (пунктир) и устойчивый ци­ клы, чередуясь, как показано на рис. 10.4.11. В этом случае при любом возмущении в системе всегда устанавливается один из устойчи­ вых режимов автоколебаний. При этом устанавливается тот режим, предельный цикл которого на фа­ зовом портрете ближе всего к на­ чальному положению изображаю­ щей точки системы. Такие системы

носят название систем с мягким режимом возбуждения колебаний. Если система имеет устойчивый фокус, то ближайший к нему пре­ дельный цикл является неустойчивым. Затем могут следовать, чере­ дуясь, устойчивые и неустойчивые предельные циклы, как показано на рис. 10.4.12. В этом случае колеба­ ния в системе возбуждаются только при достаточно больших начальных отклонениях или при достаточно боль­ шом возмущении, при которых изо­ бражающая точка окажется вне пер­ вого неустойчивого цикла. При этом система раскачивается до возникно­ вения автоколебательного режима, соответствующего ближайшему устой­ чивому циклу. Если в начальный момент изображающая точка окажется

внутри первого неустойчивого цикла, то колебания в системе затухают. Такие системы называются системами с жестким режи­ мом возбуждения колебаний.

Таким образом, фазовая плоскость нелинейной системы может иметь весьма сложную структуру. В окрестности особых точек фазовые траектории могут иметь различный характер. Границами между различными частями фазовой плоскости являются особые фазовые траектории — сепаратрисы.

В § 8.2 мы видели, что характеристики элементарных нелиней­ ных звеньев обычно считаются кусочно-линейными функциями, Которые изображаются ломаными линиями, иногда разрывными. Угловым точкам и точкам разрыва этих ломаных на фазовой