Файл: Основы автоматического управления..pdf

которые называются линиями переключения. В зависимости от характера входных сигналов нелинейных звеньев линии переклю­ чения могут быть прямыми или кривыми. Однако чаще всего вход­ ные сигналы нелинейных звеньев являются линейными функциями переменных, определяющих состояние системы. В этом случае линии переключения являются прямыми.

Изложенный метод исследования особых точек на фазовой плоскости и поведения системы вблизи положения равновесия неприменим в случае ломаных характеристик нелинейных звеньев, так как правая часть уравнения (10.4.1) не имеет в этом случае непрерывных первых производных и, следовательно, линеариза­ ция уравнений (10.4.1) и (10.4.2) невозможна. Однако особые точ­ ки систем с существенными нелинейностями имеют тот же общий характер, что и в случае систем с гладкими характеристиками нелинейных звеньев. Только в некоторых случаях вместо особой точки может появиться особый отрезок оси у, каждая точка которого соответствует возможному состоянию покоя системы, как, напри­ мер, в случае системы с зоной нечувствительности.

В случае ломаных характеристик нелинейных звеньев линии переключения делят фазовую плоскость на ряд областей. Поэтому построение фазовых траекторий системы приходится вести по участкам. При этом начальные значения переменных на каждом участке должны быть равны их конечным значениям на предыду­ щем участке. Если входные сигналы всех нелинейных звеньев являются линейными функциями переменных, определяющих состояние системы, и все нелинейные звенья имеют кусочно­ линейные характеристики, то поведение системы в каждой области фазовой плоскости описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. При пересечении изображающей точкой линии переключения некоторые из коэффи­ циентов скачками изменяют свои значения и вновь остаются постоянными до пересечения следующей линии переключения. Так как любые линейные дифференциальные уравнения с постоян­ ными коэффициентами легко интегрируются стандартными метода­ ми, то интегрирование уравнений нелинейной системы и построение ее фазовых траекторий по участкам для^таких систем не пред­ ставляет принципиальных затруднений.

П р и м е р - 10.4.1.''Рассмотрим простейшую релейную следящую систе­ му (рис. 10.4.13), содержащую линейное исполнительное устройство — двигатель постоянного тока с передаточной функцией k/s (Ts + 1), поляри­ зованное реле и отрицательную обратную связь с тахогенератором *). Струк­ турную схему такой системы изобразим в виде рис. 10.4.14. Для простоты будем сначала считать тахогенератор ТГ отключенным. В этом случае обрат­ ная связь будет жесткой и Ті = 0. Из рис. 10.4.14 вытекает следующее

*) Примеры 10.4.1—10.4.5 и 10.5.1 заимствованы в основном из [34].

где X — входной сигнал системы. Так как в дальнейшем будем рассматривать только собственные движения системы, то положим х = 0. Кроме того,

Пользуясь этой формулой, можно построить фазовые траектории изображаю­ щей точки для различных типов реле в следящей системе. Рассмотрим сна­ чала двухпозиционное поляризованное реле с идеальной характеристикой 5 (приложения 5 и 6). Переключение реле происходит при у = 0, т. е. линией переключения является ось z (отмечена штриховкой на рис. 10.4.15). В этом

скости (рис. 10.4.15). Для построения фазовой траектории надо исполь­ зовать уравнение (10.4.20). Это уравнение справедливо до тех пор, пока фазовая траектория не пересечет ось z в точке z = Ь0. В этой точке рассогласование уменьшилось до нуля, но скорость выходного вала возросла

428 ГЛ . 1Ö. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

до значения Ь0. Реле переключается при переходе через эту точку. С этого момента фазовая траектория определяется уравнением (10.4.21). При построе­ нии фазовой траектории по уравнению (10.4.21) надо положить начальные

Пользуясь этими уравнениями, можно построить графики изменения откло­

нения у и скорости z = у по участкам (переходный процесс). Так как пере-

ключение (перемена знака ѵ) происходит при у = 0, то начальные условия для каждого участка, кроме первого, имеют вид у0 = 0, z0 = 6г (і = 0, 1, 2, . . .). Для первого участка начальные условия определяются начальным состоянием системы. На рис. 10.4.16 даны кривые переходного процесса для рассматриваемого примера.

Для определения времени, в течение которого система совершает одно полуколебание и отклонение у сохраняет постоянный знак, следует в урав-

Это уравнение легко решается графически. Для этого достаточно построить графики его левой и правой частей и определить точку пересечения полу­

z

Рис. 10.4.18.

чай двухпозиционного реле с зоной неоднозначности (приложения 5 и 6, нелинейность 8). Переключение реле происходит, когда у = d при z > О и у = —d при z < 0, т. е. линиями переключения являются прямые у = ±d. На рис. 10.4.18 они обозначены буквами пп, mm и штриховкой. В этом случае

Фазовая траектория в этом случае строится по участкам совершенно так же, как в предыдущем примере, по уравнениям (10.4.20) и (10.4.21). Вычисления

ипостроение показывают, что фазовые траектории в этом случае не стремятся

кначалу координат, а сходятся к некоторому предельному циклу (рис. 10.4.18), Это значит, что в системе устанавливаются автоколебания с определенными амплитудой и частотой, а положение равновесия у = z = 0 является неустой­ чивым фокусом. Амплитуда и частота автоколебаний не зависят от началь­ ных условий, а зависят только от параметров системы: величины коорди­ натного запаздывания d реле, постоянной времени Т и коэффициента усиле­ ния к исполнительного устройства.

Пр и м е р 10.4.3. В условиях примера 10.4.1 рассмотрим случай идеаль­ ного реле с зоной нечувствительности (нелинейность 6, приложения 5 и 6). Переключение такого реле происходит, когда у = =Ы. Линии переключения изображены на рис. 10.4.19 штриховкой. В этом случае имеются три области: