Файл: Основы автоматического управления..pdf

430 ГЛ . 10. УСТО Й ЧИ ВО СТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

левее линии переключения у — —d (ѵ = 1), область между линиями пере­ ключения у = ± d (ѵ = 0) и область правее линии переключения у = d (ѵ = —1). Фазовая траектория в этом случае, так же как и в предыдущем слу­ чае, строится по участкам, по уравнению (10.4.20) в первой области (ѵ = 1), по уравнению (10.4.19) при ѵ = 0 во второй области и по уравнению (10.4.21) в третьей области (ѵ = —1). Фазовые траектории в этом случае представляют собой спиральные кривые (рис. 10.4.19). Система успокаивается в положении, когда координата у попадает в зону нечувствительности (—d, -|-d) при зна­

Удвух уравнений первого порядка:

определяются уравнением (10.4.20) в части фазовой плоскости, расположен­ ной слева от линий переключения, и уравнением (10.4.21) в части плоскости, расположенной справа от линий переключения.

Мы видим, что введение скоростной отрицательной обратной связи при­ водит к наклону линий переключения против движения изображающей точ­ ки. Вследствие этого переключения происходят с упреждением по отноше­ нию к моменту достижения отклонением величины d (границы зоны запазды­

вания).

Фазовые траектории в этом случае также строятся по участкам. Вычис­ ления и построения показывают, что фазовые траектории в этом случае сходятся так же, как и в примере 10.4.2, к предельному циклу (рис. 10.4.20). Однако при тех же параметрах системы амплитуда автоколебаний снижает­ ся, а частота повышается, что ведет к улучшению качества следящей

системы.

П р и м е р 10.4.5. С помощью отрицательной скоростной обратной связи можно существенно улучшить переходный процесс в нелинейной системе. Например, можно получить оптимальный переходный процесс без перере­ гулирования с одним переключением реле, если ввести соответствующую нелинейную гибкую обратную связь.

Рассмотрим, например, простейшую нелинейную следящую систему второго порядка, состоящую из двойного интегрирующего звена (безынер­ ционный двигатель) и релейного управляющего элемента с идеальной харак­ теристикой, охваченных отрицательной обратной связью с нелинейным преобразованием производной выходного сигнала системы. Уравнение этой следящей системы, как легко видеть из рис. 10.4.21, имеет вид

у = й,ф (х — у — / (у)), (10.4.27) — оф-*-

где ф (и) = I sgn и, а х — входной сигнал. Для исследования переход­ ного процесса в системе, т. е. ее соб­ ственных движений, положим х == 0.

Тогда, полагая к — kil, z = у, при­ ведем уравнение (10.4.27) к системе двух уравнений первого порядка:

второе уравнение (10.4.28) на первое, получим дифференциальное уравнение

Поставим теперь задачу выбрать линию переключения реле так, чтобы переходный процесс при любых начальных отклонениях заканчивался за одно полуколебание. Легко сообразить, что такой линией переключения является кривая, образованная половинами проходящих через начало координат фазо­ вых траекторий двух семейств (кривая тт на рис. 10.4.22). В этом случае изображающая точка, попав на линию переключения, пойдет по ней к началу координат. Такой переходный процесс называется оптимальным по быстро­ действию.

Для определения соответствующего преобразования производной в цепи обратной связи напишем уравнение найденной оптимальной линии пере­ ключения. Для этого положим в уравнении (10.4.29) у0 = z0 = 0, ѵ = —1

На рис. 10.4.23 изображены графики переходного процесса в рассматри­ ваемой нелинейной следящей системе. В этом случае переходный процесс

всистеме при любом начальном отклонении протекает на участке разгона

смаксимальным ускорением, а на участке торможения, когда переключается реле, с максимальным замедлением.

Общая теория оптимальных процессов управления разработана . в трудах Л. С. Понтрягина, Р. В. Гамкрелидзе, В. Г. Болтянского, Е. Ф. Мищенко [48]. Задача оптимизации системы по быстродей­ ствию впервые рассматривалась А. А. Фельдбаумом [71].

§ 10.5. Исследование нелинейных систем методом точечных отображений

Для количественного исследования фазовых траекторий и авто­ колебаний нелинейных систем можно применить метод точечных отображений, развитый А. А. Андроновым [5].

Для пояснения идеи этого метода предположим, что изобра­ жающая точка в какой-то момент времени занимает положение 1 на полупрямой Oz (рис. 10.5.1). После обхода

точечное преобразование любой полупрямой, выходящей из начала координат, в саму себя. Если при этом преобразовании какаянибудь точка полупрямой переходит в саму себя (т. е. остается неподвижной), то через эту точку проходит замкнутая фазовая траектория — предельный цикл. Следовательно, для нахождения предельных циклов и параметров соответствующих автоколебаний достаточно найти неподвижные точки точечного преобразования какой-нибудь полупрямой, выходящей из соответствующей особой точки фазовой плоскости.

Каждой точке выбранной полупрямой соответствует некоторое положительное число — расстояние этой точки от начала коорди-

434 Г Л . 10. У С ТО Й ЧИ ВО СТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

ствующие двум предельным циклам с амплитудами колебаний скорости Z i и z 2 , причем первый предельный цикл соответствует устойчивым автоколебаниям, а второй — неустойчивым.

Если кривая к = / (z) и прямая ѵ = z не пересекаются, то пре­ дельного цикла не существует и автоколебания в системе невоз­ можны.

Во многих задачах фазовая плоскость оказывается симметрич­ ной относительно оси абсцисс и оси ординат. В таких случаях удоб­ но рассматривать преобразование полуоси z > 0 в полуось z < О при полуобходе изображающей точки вокруг начала координат, которому также соответствует некоторая функция ѵ = / (z).

При практическом применении метода точечных отображений исходными данными для исследования нелинейной системы являют­ ся ее дифференциальные уравнения и характеристики ее нели­ нейных звеньев, заданные аналитически или экспериментально. Функция и = / (z) определяется путем интегрирования дифферен­ циальных уравнений системы, так же как и при построении фазо­ вых траекторий.

В тех случаях, когда на фазовой плоскости есть линии переклю­ чения, удобнее вместо преобразования полуоси z > 0 изучать преобразование какой-нибудь линии переключения саму в себя. Если фазовая плоскость симметрична относительно. осей коорди­ нат, то удобно изучать отображение точек линии переключения в положительной полуплоскости в соответствующие точки линии переключения в отрицательной полуплоскости.

П р и м е р 10.5.1. Применим метод точечных отображений к нелинейной системе примера 10.4.2, имеющей двухпозиционное реле с зоной неоднознач­ ности. Фазовая плоскость такой системы симметрична в том смысле, что любая фазовая траектория, начинающаяся на одной линии переключения, при повороте вокруг начала координат на 180° совпадает с фазовой траек­ торией, начинающейся на таком же расстоянии от начала координат на дру­ гой линии переключения (рис. 10.4.18). Следовательно, в данном случае удоб­

точно рассмотреть фазовую траекторию, выходящую из точки (d, z) линии

откладывая аргументы £ и Ѳ в одном и том же масштабе по оси абсцисс (рис. 10.5.3). По этим графикам точки кривой ѵ = / (z) находятся следую­ щим приемом: задаваясь значением Zj величины z, проводим из точки 9 =