Файл: Основы автоматического управления..pdf

436 ГЛ . 10. УСТО Й ЧИ ВО СТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

(рис. 10.5.5) в соответствии с формулами (10.5.2). Точка их пересечения дает амплитуду автоколебаний скорости z* = kit* « 0,96. После этого по форму­ лам (10.5.4) определяем период и частоту автоколебаний: Т0 « 0,36 с, со0 «

Метод исследования нелинейных систем с помощью фазовой плоскости и метод точечных отображений очень наглядны и срав­ нительно просты для систем второго порядка. Для систем третьего порядка эти методы становятся уже значительно более сложными. Для систем выше третьего порядка эти точные методы исследова­

ния нелинейных систем практически неприменимы. Между тем на практике в подавляющем большинстве случаев приходится иметь дело с системами, поведе­ ние которых описывается дифференциальными урав­ нениями высоких поряд­ ков. Поэтому необходимы другие методы исследова­ ния нелинейных систем.

Для исследования пери­ одических режимов в ре­ лейных системах, содержащих один релейный элемент и произволь­

ную стационарную линейную часть, разработан специальный точ­ ный метод, основанный на представлении передаточной функции линейной части системы в виде суммы элементарных дробей и вы­ числении реакции линейной части системы на последовательность прямоугольных знакопеременных импульсов. В результате полу­ чаются трансцендентные уравнения относительно периода коле­ баний, зависящие от типа реле и вида передаточной функции линейной части. Этот метод дает возможность вычислить точное значение периода автоколебаний, после чего могут быть найдены амплитудные значения периодически изменяющихся перемен­ ных [73].

В связи с трудностью точного исследования нелинейных систем большое значение имеют приближенные методы. Пожалуй, наибо­ лее эффективным и вследствие этого наиболее распространенным приближенным методом исследования нелинейных систем является метод гармонической линеаризации. Для систем, близких к линей­ ным, часто применяется так называемый метод малого параметра, основанный на разложении неизвестных элементов движения системы в степенные ряды относительно малого параметра [35]. Этот метод дает хорошие результаты в случае, когда совокупность нелинейных членов в дифференциальных уравнениях системы

мала по сравнению с каждым из линейных членов. Малым пара­ метром в этом случае является искусственно вводимый или есте­ ственно присутствующий в уравнениях системы общий постоянный множитель всех нелинейных членов.

Мы ограничимся здесь изложением метода гармонической линеаризации.

§ 10.6. Приближенное исследование нелинейных систем методом гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации в большинстве случаев позволяет достаточно просто и с достаточной точностью исследо­ вать стационарные нелинейные системы. Этот метод дает возмож­ ность оценивать устойчивость нелинейных систем, определять амплитуду и частоту автоколебаний, а также выбирать корректи­ рующие цепи, обеспечивающие приемлемые или заданные характе­ ристики нелинейных систем. При применении метода гармони­ ческой линеаризации предполагается существование в системе сигнала, близкого к синусоидальному, и на основании этого про­ изводится гармоническая линеаризация характеристик нелиней­ ных звеньев методом, изложенным в § 8.4. Возможность примене­ ния этого метода к стационарным нелинейным системам в основном определяется близостью периодического движения системы к синусоидальному. Это условие обычно удовлетворяется в случае, когда линейные части системы являются фильтрами низких частот, т. е. хорошо отфильтровывают обертоны.

Как и раньше, будем считать, что стационарная система состо­ ит из стационарных линейных систем и элементарных безынерциойных нелинейных звеньев. Передаточные функции линейных частео системы и характеристики нелинейных звеньев будем считать известными. Для нахождения параметров автоколебаний системы методом гармонической линеаризации выразим входные и выход­ ные переменные всех линейных частей и нелинейных звеньев

и начальными фазами и неизвестной общей для всех переменных частотой. При'этом начальную фазу одной из переменных (обычно интересующей нас выходной переменной системы) можно считать равной нулю. Тогда каждая из входящих в уравнения системы

а каждая из остальных — от постоянной составляющей, амплиту­ ды и начальной фазы. Если произвести гармопическую линеари­ зацию характеристик всех нелинейных звеньев и сравнить в левой и правой частях уравнений системы постоянные составляющие, амплитуды и фазы синусоидальных составляющих, то каждое

Исключая из уравнений (10.6.6) переменные az, z*, ф2, получим три

Решить систему уравнений (10.6.7), (10.6.8) и (10.6.9) в общем виде невозможно. Для решения этих уравнений можно применить различные приближенные методы и, в частности, метод последова­ тельных приближений. Удобно также воспользоваться графи­ ческими способами. Рассмотрим воз­ можные способы графического реше­ ния этой системы уравнений.

Первый способ состоит в следую­ щем. Задаваясь значениями г/*, нахо­ дим из уравнения (10.6.7) соответ­ ствующие значения ау. По результа­ там этих вычислений строим на плоскости параметров у*, ау кривую 1 (рис. 10.6.2). Затем при определен­ ном значении со„ задаемся значениями у* и определяем из уравнений (10.6.8)

и (10.6.9) соответствующие значения ау. По результатам этих вычислений строим кривую 2 в координатах у*, ау, соответствую­ щую уравнению (10.6.8), и кривую 3, соответствующую уравне­ нию (10.6.9). Точка пересечения кривых 2 и 3 является решением уравнений (10.6.8) и (10.6.9) для заданного значения со0. Построив кривые 2 и 3 для ряда значений со0, соединим точки их пересечения кривой 4. Точка пересечения кривой 4 с кривой 1 определяет зна­ чения у* и ау, удовлетворяющие всем трем уравнениям (10.6.7), (10.6.8) и (10.6.9). Для определения частоты автоколебаний со0 следует подставить найденные значения у* и ау в уравнение (10.6.8) или в уравнение (10.6.9). В результате получим уравнение для определения ю0. Частоту автоколебаний можно также определить по шкале значений ю0, получаемой на кривой 4 при ее построении по достаточно большому числу точек. Однако этот способ менее точен, чем предыдущий.

Второй способ аналогичен первому, но отличается только при­ емом отыскания кривой 4. Объединим уравнения (10.6.8) и (10.6.9)