ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 408
Скачиваний: 15
440 |
ГЛ . 10. УСТО Й ЧИ ВО СТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Построим на комплексной плоскости (рис. 10.6.3) амплитудно фазовую характеристику линейной части системы Ф (гсо) и обрат ную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена с обратным знаком — 1/Ф„ (ау, у*) для разных значений у* при изменении со и ау от 0 до оо.
Точки пересечения этих кривых определят зависимость CLy = f(y*), соответствующую уравнению
(10.6.11), т. е. кривую 4(рис. 10.6.2).
Далее определяем точку пересече ния ее с кривой 1, построенной по уравнению (10.6.7), и находим (о0, как и в первом способе.
Наконец, для решения системы уравнений (10.6.7), (10.6.8), (10.6.9)
можно воспользоваться методом логарифмических частотных харак теристик. Для этого следует по строить логарифмические частот
ные характеристики системы с разомкнутой у сумматора цепью обратной связи для различных значений ау при различных фикси рованных значениях у*:
L (со, ау, у*) = |
20 lg I Ф (гео) |
| + 20 lg | Ф„ (ау, у*) |, (10.6.12) |
|||||
|
Ф (ю, ау, у*) |
= |
arg Ф (гео) + arg Фн (ау, у*). |
(10.6.13) |
|||
Значения |
ау, |
у*, |
со, |
при |
которых L (со, ау, |
у*) |
= 0, |
а ф (со, ау, у*) = |
—я |
удовлетворяют уравнению (10.6.10), |
полу |
||||
ченному в |
результате объединения уравнений (10.6.8) |
и (10.6.9), |
|||||
т. е. определяют кривую 4. Точка пересечения этой кривой с кри вой 1 определяет решение уравнений (10.6.7), (10.6.8) и (10.6.9).
В частном случае, когда <р* (ау, 0) = 0 , уравнение (10.6.7) удовлетворяется при у* = 0, т. е. автоколебания в системе сим метричны. Уравнения (10.6.8) и (10.6.9) в этом случае принимают вид
|Ф (й о 0) |
Ы Ф и К ) I = |
1, |
(10.6.14) |
ф (о>о) + |
arg Фн (ау) — |
я. |
(10.6.15) |
Из этих уравнений вытекает одно уравнение |
|
||
Ф (іеоо) Фн (аѵ) = —1. |
(10.6.16) |
||
Для его решения можно воспользоваться описанным уже способом построения на комплексной числовой плоскости амплитудно фазовой характеристики линейной части Ф (гео) и обратной ампли тудно-фазовой характеристики нелинейного звена с обратным знаком — 1/ФН(ау) (второй способ). Точка пересечения этих
§ 10.6. М ЕТОД ГА РМ О Н И Ч ЕС КО Й Л И Н Е А Р И ЗА Ц И И |
441 |
двух кривых определяет частоту со0 и амплитуду ау автоколеба ний (рис. 10.6.4).
Можно также воспользоваться построением логарифмических
частотных характеристик |
разомкнутой |
системы |
|
||
L (со, аѵ) = |
20 lg |
I Ф (ice) I + 20 lg |
I Фн (ay) |, |
(10.6.17) |
|
ф (w, |
ay) = |
arg Ф (i(о) + |
arg |
Ф„ (ay) |
(10.6.18) |
для различных значений ау (рис. 10.6.5). Как следует из (10.6.16), значения ау и со, при которых L (со, ау) = 0, ф (со, ау) = —л, являются искомыми амплитудой и частотой автоколебаний. Иными
tv
словами, если существует такое значение ау, при котором фазовая характеристика (10.6.18) пересекает уровень — л на частоте среза, т. е. при значении о, при котором логарифмическая амплитудная характеристика (10.6.17) пересекает ось абсцисс, то в системе возможны автоколебания. Соответствующие значения амплиту
ды ау и частоты среза со0 приближенно равны амплитуде и частоте автоколебаний.
В частном случае, когда q' (ау) = 0 , т. е. нелинейное звено имеет однозначную характеристику, Фн (ау) = q (ау) и из (10.6.16) следуют уравнения
q (ау) Р (а>о) = —і, q (ау) Q (со0) = 0, |
(10.6.19) |
где Р (о) и Q (со) — действительная и мнимая частотные характе ристики линейной части системы. Сократив второе уравнение (10.6.19) на q (ау), получим уравнение для определения частоты автоколебаний:
Q (wo) = 0. |
(10.6.20) |
|
Таким образом, частота автоколебаний |
совершенно не |
зависит |
от характеристики нелинейного звена |
и определяется |
только |
442 |
ГЛ . 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
свойствами линейной части системы. После решения уравнения (10.6.20), определяющего частоту автоколебаний, из первого урав нения (10.6.19) найдем
(Ю.6.21)
По этому значению q (ау), пользуясь графиком q = q (ау), опре деляем амплитуду автоколебаний ау.
Если не существует действительных значений у* и положитель ных значений ау и со0, удовлетворяющих уравнениям (10.6.7), (10.6.8) и (10.6.9), то автоколебания в системе невозможны.
Определив приближенно периодическое движение системы путем решения уравнений (10.6.7), (10.6.8) и (10.6.9), необходимо оценить его устойчивость, чтобы определить, соответствует ли оно реально существующим в системе автоколебаниям. Особенно важно это сделать, когда существует несколько периодических решений. Для исследования устойчивости периодического движе ния системы можно применить первый метод Ляпунова, изложен ный в § 10.2. Для этого необходимо составить соответствующие уравнения в вариациях и исследовать устойчивость определяемой ими линейной системы.
Для приближенной оценки устойчивости автоколебаний можно также воспользоваться приближенными способами [35, 49], осно ванными на следующих соображениях. Движение системы, близ кое к найденному периодическому, можно приближенно считать синусоидальным с медленно изменяющейся амплитудой и, прибли жающейся к амплитуде автоколебаний ау в случае устойчивых автоколебаний и удаляющейся от ау в случае неустойчивых авто колебаний. Если автоколебания в системе устойчивы и имеют амплитуду ау, то при замене этой амплитуды в уравнении (10.6.10) величиной и > аѵ пара чисто мнимых корней ± ш 0 должна заме ниться парой комплексных сопряженных корней с отрицательной действительной частью, а при замене ау величиной и <; ау корни
±ісо0 должны замениться парой комплексных сопряженных кор ней с положительной действительной частью. Для проверки характера изменения корней ±го)0 ПРИ замене в уравнении (10.6.10) величины ау величиной и удобнее всего пользоваться критерием Найквиста. Так как уравнение (10.6.10) имеет чисто мнимые корни ± ію 0 при и = ау, то амплитудно-фазовая характе ристика разомкнутой системы
Фр (ш , и, у*) = Ф (гео) Фн (и, у*) |
(10.6.22) |
при и = ау проходит через точку —1 плоскости комплексной переменной (кривая 1 на рис. 10.6.6). Если автоколебания системы устойчивы, то при замене величины ау близкой к ней величиной и ~>ау кривая Фр (гсо, и, у*) должна сместиться в сторону умень
