Файл: Основы автоматического управления..pdf

Оценим устойчивость найденного периодического режима. Для этого воспользуемся приближенным способом оценки изменения частотной харак­ теристики разомкнутой системы при изменении параметра ау. Частотная характеристика разомкнутой цепи при замене амплитуды ау величиной и определяется формулой (10.6.22), которая в данном случае имеет вид

и обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена с обрат­ ным знаком. На рис. 10.6.8 представлены эти кривые для числовых данных примера 10.5.1. Точка пересечения их определяет приближенные значения амплитуды и частоты автоколебаний в системе: ау « 0,165, со0 « 17,0. Сравнение этих результатов с данными вычислений точным способом в при­ мере 10.5.1 показывает хорошее их совпадение: значение амплитуды совпадает с точностью до 1%, а значение частоты — с точностью до 3%.

Устойчивость автоколебаний может быть проверена тем же способом, что и в предыдущем примере.

§ 10.7. Влияние случайных возмущений на параметры автоколебаний стационарных нелинейных систем

Изложенный в предыдущем параграфе метод определения пара­ метров автоколебаний нелинейных систем дает достаточную точ­ ность, если уровень случайных возмущений, действующих на систему, достаточно мал по сравнению с амплитудами колебаний

всех переменных, входящих в уравнения, описывающие поведение системы. Если это условие не соблюдено, то изложенный метод может привести к значительным ошибкам как при определении параметров автоколебаний, так и при решении вопроса о возмож­ ности автоколебаний в системе. Случайные возмущения в этом случае существенно влияют на поведение системы. Поэтому при значительном уровне случайных возмущений (шумов и помех) необходимо учитывать эти случайные возмущения при исследова­ нии нелинейной системы. В частности, параметры автоколебаний системы необходимо определять с учетом слу­ чайных возмущений. Это можно сделать, при­ меняя метод совместной гармонической и ста­

в уравнения стационарной системы, пред­ ставить в виде суммы неизвестной постоян­ ной составляющей, синусоидальной состав­

ляющей с неизвестными амплитудой, начальной фазой и частотой и центрированной случайной составляющей с неизвестной диспер­ сией. Выполняя совместную гармоническую и статистическую линеаризацию всех нелинейных звеньев системы и сравнивая постоянные составляющие, а также амплитуды и фазы синусоидаль­ ных составляющих в левых и правых частях всех уравнений систе­ мы, получим, как и в предыдущем параграфе, уравнения для определения неизвестных параметров регулярных составляющих всех входящих в уравнения системы переменных. Однако на осно­ вании изложенного в § 8.6 эти уравнения будут содержать еще неизвестные дисперсии входных сигналов нелинейных звеньев. Для составления необходимых дополнительных уравнений пред­ положим, что действующие на систему случайные возмущения являются стационарными случайными функциями времени. Тогда достаточно сравнить дисперсии левых и правых частей всех урав­ нений системы, пользуясь при этом известными формулами для дисперсий линейных функций случайных величин и формулой (7.4.4) для дисперсий выходных переменных стационарных линей­ ных систем. Решив полученные в результате уравнения, мы найдем частоту автоколебаний, постоянные составляющие, амплитуды и начальные фазы синусоидальных составляющих и дисперсии всех переменных, входящих в уравнения системы.

Покажем подробно применение изложенного общего метода на примере стационарной системы с одним нелинейным звеном с характеристикой ф и стационарной линейной частью с переда­

цепь, до или после линейной части. На систему действует помеха,

446 ГЛ. 10. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

представляющая собой стационарную случайную функцию вре­ мени X (t).

Предполагая в системе наличие смещенных автоколебаний, представим переменные Y и Z в виде сумм постоянных составляю­ щих, синусоидальных составляющих с неизвестными амплитуда­ ми, частотой и начальной фазой для одной из них, а также слу­ чайных центрированных составляющих:

У = у* + ауsin ю0і -f- У0,

(10.7.1)

Z = z* -f- az sin (co0<-f- i)jz) -f- Z°.

Применяя совместную статистическую и гармоническую лине­ аризацию к нелинейному звену, как изложено в § 8.6, получим приближенное равенство

2 ~ Ф * -Н 'Р н К , У*, ° у )\ау sin (ю0і -j- фн) -|- XjY0. (10.7.2)

Так как математическое ожидание входного сигнала линейной части системы X — Z в данном случае представляет собой разность постоянной и синусоидального сигнала, то для определения мате­ матического ожидания выходной переменной У линейной части системы можно применить формулу (7.3.26). В результате получим

ту = Ф (0) (тх — z*) — I Ф (ію0) | az sin [ю0і + ф2 + ф (ю0)].

(10.7.3)

Приравнивая математические ожидания правых частей формул (10.7.1) соответственно правой части формулы (10.7.3) и математи­ ческому ожиданию правой части формулы (10.7.2), получим

у* + а у sin ю0і= Ф (0) (тх—г*)— I Ф (іюо) | az sin [юо<+ ф2+ф(ю0)], (10.7.4)

2*+ azsin (ю0г + Фг) = Фо + | У н ( а у , У * , °Гу) I я«sin (ю0і + ф„). (10.7.5)

Сравнивая постоянные составляющие, амплитуды и фазы сину­ соидальных составляющих в формулах (10.7.4), (10.7.5), получим систему уравнений

Для составления четвертого уравнения заметим, что формула (10.7.2) заменяет нелинейное звено по отношению к случайной составляющей У0 линейным усилителем с коэффициентом усиле­ ния щ. Поэтому для нахождения установившейся дисперсии оу выходного сигнала системы У можно применить формулу (7.4.4).

Для этого находим сначала по формуле (4.5.7) передаточную функ­ цию полученной линейной системы (рис. 10.7.2):

Подставляя это выражение в (7.4.4), получим следующую формулу для дисперсии выходной переменной системы:

где s* (м) — спектральная плотность случайной функции X (t). Таким образом, мы получили четыре уравнения (10.7.6), (10.7.7) , (10.7.8) и (10.7.10) для определения четырех неизвестных у*, ау, со0, Оу. Если спектральная плотность $ж(со) представляет

собой дробно-рациональную функцию, то интеграл в формуле (10.7.10) может быть выражен в конечном виде (приложение 4). Заметим еще, что уравнения (10.7.7) и (10.7.8) можно записать в виде одного уравнения

ф (Шо) Ч'н (аѵ, у*, Оу) = - 1 . (10.7.11)

Для решения уравнений (10.7.6), (10.7.7), (10.7.8) и (10.7.10) можно применить сле­ дующий прием. Зададимся рядом значений

Оу и для каждого из этих значений оу решим уравнения (10.7.6), (10.7.7) и (10.7.8) любым из методов, изложенных в предыдущем параграфе. В результате получим у*, ау и со0 как функции оу (т. е. уровня шумов на входе нелинейного звена). После этого

По этим данным можно построить кривую зависимости правой части уравнения (10.7.10) от оу. Точка пересечения этой кривой с параболой, изображающей зависимость левой части уравнения (10.7.10) от Оу, определяет значение оу, при котором удовлетво­ ряются все уравнения (10.7.6), (10.7.7), (10.7.8) и (10.7.10). Соот­

Если не существует решения уравнений (10.7.6), (10.7.7), (10.7.8) и (10.7.10) с положительными значениями ау и со0> т0 автоколебания в системе невозможны.

Определив изложенным методом параметры автоколебаний с учетом помех, необходимо оценить их устойчивость, что может быть сделано, например, так, как показано в предыдущем параграфе.

уравнения (10.7.11) вытекает уравнение (10.6.20) для определения частоты автоколебаний. Таким образом, в случае однозначной характеристики нелинейного звена частота автоколебаний ш0 не зависит ни от параметров нелинейного звена, ни от уровня шумов в системе и определяется только свойствами линейной части системы. После нахождения ш0 величины у*, ау и ау опре­

вытекающего в этом случае из (10.7.11). Если, кроме того, тх = 0

В этом случае после нахождения (ö 0 и з уравнения (10.6.20) вели­

П р и м е р 10.7.1. Определить автоколебания и условия их существова­ ния в релейной системе, рассмотренной в примере 10.6.1 (рис. 10.6.7), при стационарном случайном возмущении X (t), имеющем равное нулю матема­ тическое ожидание и корреляционную функцию

кх (т) = De-«™.

В этом случае постоянная составляющая сигнала равна нулю и уравне­ ние (10.7.11) принимает вид

СГ„ 1/2

В приложении 6 приведена формула, определяющаяфункцию В0 (X):

■)■ <10'7Л5>

и график для определения ее значений. Отделяя в уравнении (10.7.13) дей­ ствительную и мнимую части, получим

Из уравнения (10.7.17) определяем частоту автоколебаний, которая опре­ деляется той же формулой (10.6.26), что и при отсутствии случайных