§ 10.7. В Л И Я Н И Е С Л У Ч А Й Н Ы Х ВО ЗМ У Щ ЕН И Й |
449 |
возмущений. Из уравнения (10.7.16), учитывая (10.6.26), получаем
Это уравнение содержит две неизвестные величины а0 и аѵ. Чтобы получить дополнительное уравнение, запишем выражение для дисперсии величины V на входе в нелинейный элемент:
Da |
_______гео (ТУоз-рІ) (7Ую + 1)_______ 2 |
da) |
(10.7.19) |
л |
гео (Т^го)-j~ 1) (Т2i(ü-j-1)-j- kx^ (яр, Op) |
ш2 + а2 ’ |
где коэффициент |
xt (аѵ, аѵ) для |
идеального реле |
равен |
|
|
|
Хі(аВ1 |
|
С о ( Я ) , |
|
|
|
|
|
|
Я |
а» |
|
|
(10.7.20) |
|
|
|
о„ У 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция Со (Я) приведена в приложении 6. Вычислив интеграл |
в форму |
ле (10.7.19) с помощью |
таблицы (приложение 4), получим |
|
|
__ jfa М — аіа4 + а2аз) — ао (а3&і -f- gi) |
|
(10.7.21) |
|
® |
а0 (a0ajj + |
afa4— а ^ з ) |
|
|
|
где а0 — ТіТ2, at |
— Гі + |
ТяЧ- Т\Т2а, |
а2 — (Гі |
Т2) а |
+ 1 ,я 3 = |
+ а, |
а4 = Асод, Ъ0 = —Т\Т\, |
Ъі — Т\ + |
Г|. В силу зависимости коэффициента Х\ |
от аѵи аѵравенство (10.7.21) является уравнением:, связывающим величины аѵ и сг„. Для определения амплитудѣ автоколебаний аѵ и среднего квадрати ческого отклонения случайного возмущения на входе нелинейного элемента надо совместно решить два уравнения (10.7.18), (10.7 21). Практически удобно воспользоваться графическим спосо бом решения этих уравнений. Для этого, еадаваясь значениями аѵ, по уравнению (10.7.18) определяем соответствующие значе ния аѵ. В результате на плоскости парамет ров ав, Стр можно построить кривую 1 (рис.
10.7.3). Далее для значений аѵи соответствую
щих значений а„, |
снятых с кривой 1 на рис. |
10.7.3, |
вычисляем |
правую часть уравнения |
(10.7.21): |
|
<-■> |
Гсс Ь° (~~ а іа4 + а2аз) — ао (азЬі+ ai) |
ь |
а о ( а оа з + а 1а 4 — а і а 2а з) |
|
|
(10.7.22) |
и строим кривую в координатах а0, сг0, от кладывая значение £ по оси а0 (кривая 2 на рис. 10.7.3). Точка пересечения полученных двух кривых определяет искомые значения ав,
Ор, так как эти значения ав, аѵ удовлетворяют обоим уравнениям (10.7.18) и (10.7.21). Амплитуда колебаний выходной переменной системы в данном случае, очевидно, равна ас: ау = ав. Результаты расчетов показывают, что амплитуда автоколебаний получается меньше, чем при отсутствии случай ных возмущений.92
29 п о д ред. В. С. Пугачева
450 |
Г Л , 10. УСТОЙЧИВОСТЬ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Формула (10.7.18) позволяет также определить значения величины сг„, при которых автоколебания в системе становятся невозможными. Можно также определить значения параметров системы, в частности коэффициента к, при которых автоколебания в системе в присутствии случайных возмущений определенного уровня становятся невозможными. Для решения этих вопросов заметим, что 5J,1’ (Я,) = В0 (Х)/Хявляется убывающей функцией, т. е. (Я)< < В'0и (0) при любом X > 0. Формулы (10.7.14) показывают, что вследствие этого имеет место неравенство
(10.7.23)
справедливое при любых значениях аѵ > 0.
Из (10.7.18) и (10.7.23) вытекает следующее необходимое условие воз можности автоколебаний в системе:
(10.7.24)
Г л а в а 11
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 11.1. Приближенное исследование точности нелинейных систем методами линеаризации
В настоящее время не существует общей точной статистической теории нелинейных систем, позволяющей находить вероятностные характеристики выходных переменных любых нелинейных систем. Точная статистическая теория существует лишь для некоторых частных видов нелинейных систем (см. [53], §§ 106, 107, а также [52], [55] и [56]). Поэтому для исследования точности нелинейных систем, имеющих заданные характеристики, обычно применяют различные приближенные методы. Наибольшее распространение получили методы, основанные на линеаризации уравнений нели нейных систем, как обычной, так и статистической. Другие при ближенные методы исследования точности нелинейных систем основаны на разложении выходных переменных систем в степен ные ряды относительно случайных коэффициентов канонического разложения входных случайных функций (см. [53], § 108). Одним из наиболее удобных таких методов является метод эквивалентных возмущений Б. Г. Доступова [20, 21] (см. также [53], § 108).
Ввиду того что нелинейные уравнения, не содержащие слу чайных функций, можно решать с помощью современных матема тических машин, как моделирующих, так и цифровых, для исследования точности нелинейных систем достаточно линеаризо вать их уравнения лишь относительно центрированных случайных функций, т. е. относительно случайных отклонений, входящих в уравнения переменных от их математических ожиданий. При этом уравнения системы останутся нелинейными относительно неслучайных полезных сигналов, представляющих собой матема тические ожидания входящих в уравнения системы переменных.
Как и в предыдущей главе, мы предположим, что нелинейная система состоит из линейных систем и безынерционных элементар ных нелинейных звеньев. Тогда для линеаризации уравнений системы достаточно будет линеаризовать зависимости между слу чайными составляющими входных и выходных сигналов всех элементарных нелинейных звеньев.
Рассмотрим элементарное нелинейное звено с характеристикой
452 г л . 11. ИССЛЕДО ВА Н И Е ТО ЧЙ О С ТИ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Если характеристика этого звена ср непрерывна и изображается кривой без угловых точек, то для линеаризации зависимости (11.1.1) относительно центрированных случайных функций доста точно заменить кривую у — ср (я) касательной к ней в точке х — = тх. Тогда получим следующую приближенную зависимость
между входным и выходным |
сигналами |
нелинейного звена |
(см. § 8.3): |
|
|
У « ф {тх) + |
<р' (тх) Х°. |
(11.1.2) |
Эта зависимость линейна только относительно центрированной случайной функции Х° и нелинейна относительно полезного вход ного сигнала тх.
Если характеристика нелинейного звена ф существенно нели нейна, например разрывна или имеет угловые точки, то для линеа ризации зависимости (11.1.1) относительно центрированных случайных функций придется применить метод статистической линеаризации (см. § 8.5). В результате получим следующую при ближенную зависимость между входным и выходным сигналами нелинейного звена:
У « фо (тх, ах) + /сі (тх, а ж) Х°. |
(11.1.3) |
Эта зависимость также линейна только относительно центрирован ной случайной функции Х° и нелинейна относительно тх. Ее
|
|
|
|
|
|
принципиальное отличие |
от |
зависимости |
(11.1.2) заключается |
в том, |
что коэффициенты фо и |
зависят не |
только от математи |
ческого |
ожидания тх |
входного |
сигнала |
нелинейного звена, |
но и от его дисперсии D x = ох, т. |
е. от уровня шумов на входе |
нелинейного звена.
Заменяя в уравнениях нелинейной системы для всех ее нели нейных звеньев нелинейные зависимости типа (11.1.1) прибли женными зависимостями вида (11.1.2) или (11.1.3), получим при ближенные уравнения системы, линейные относительно случайных функций. При этом, если система содержит только нелинейные звенья с непрерывными гладкими характеристиками, то коэффи циенты линеаризованных уравнений системы будут зависеть толь ко от математических ожиданий входных сигналов нелинейных звеньев. Если же система содержит существенно нелинейные элементарные звенья, то коэффициенты линеаризованных уравне ний системы будут зависеть еще от дисперсий входных сигналов нелинейных звеньев. Во всех случаях .линеаризация уравнений системы равноценна замене данной системы другой системой, линейной по отношению к передаче случайных возмущений (флук туаций) и нелинейной по отношению к передаче полезных сигналов. Линеаризация уравнений системы дает возможность применить для приближенного исследования ее точности статистическую теорию линейных систем, изложенную в главе 7.
§ 11.1. М ЕТО Д Ы Л И Н Е А РИ ЗА Ц И И |
453 |
Согласно изложенному в § 7.2 общему методу, уравнения для математических ожиданий выходных переменных системы, поведе ние которой описывается линейными относительно случайных функций уравнениями, получаются из уравнений данной системы путем замены всех случайных функций их математическими ожи даниями. Производя такую замену в (11.1.2), получим
Сравнивая эту формулу с (11.1.1), видим, что математические ожидания входных и выходных переменных элементарных нели нейных звеньев с непрерывными гладкими характеристиками связаны теми же уравнениями, что и сами переменные. На осно вании § 7.2 математические ожидания входных и выходных пере менных линейных систем, входящих в состав нелинейной системы, также связаны теми же уравнениями, что и сами переменные. Отсюда следует, что если система содержит только элементарные нелинейные звенья с непрерывными гладкими характеристиками, то математические ожидания ее выходных переменных определяют ся теми же уравнениями, которыми описывается поведение систе мы, с заменой в них всех случайных величин их математическими ожиданиями. В отношении начальных условий для математических ожиданий переменных остается в силе все сказанное по этому поводу в § 7.2.
Вычитая (11.1.4) из (11.1.2), получим линеаризованную зави симость между центрированными случайными функциями на входе
и выходе нелинейного звена: |
|
Y 0 « ф' (тх) Х°. |
(11.1.5) |
После интегрирования уравнений для математических ожиданий переменных все коэффициенты <р' (пгх) в зависимостях вида (11.1.5) будут известными функциями времени. Таким образом, для центри рованных случайных функций получатся линейные уравнения с известными коэффициентами. Поэтому для определения диспер сий выходных переменных системы можно будет применить изло женные в главе 7 методы исследования точности линейных систем.
Итак, исследование точности системы, содержащей только нелинейные звенья с непрерывными гладкими характеристиками, сводится к решению уравнений, описывающих поведение системы, для математических ожиданий выходных переменных, определе нию коэффициентов уравнений системы, линеаризованных отно сительно центрированных случайных функций, и применению теории точности линейных систем для нахождения дисперсий выходных переменных.
П р и м е р 11.1.1. Рассмотрим систему, представляющую собой аперио дическое звено, охваченное отрицательной обратной связью, в цепь которой включено нелинейное звено с кубической характеристикой. Из рис. 11.1.1
