ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
|
|
|
Гл. 5. Группы |
|
|
37 |
Индекс представления RQ указывается |
с помощью левого верхнего |
|||||
индекса квазиспиновой мультиплетности (2Q+1), стоящего |
при |
|||||
индексах представлений группы Spu+i- |
|
|
|
|||
4. Из операторов X(0 *F T > |
мы можем |
теперь |
отобрать операторы |
|||
Х ( 0 1 ° ) и |
Х(°0 Й > |
нечетное). |
Снова получаем |
произведение |
групп |
|
RfXRzM- |
Таким |
образом, |
|
|
|
|
Соответствующие правила ветвления мы приводим в табл. IV для частного случая 1 = 2; обобщение на большие значения / самооче видно.
Таблица IV
Правила ветвления при сужении
|
RS3XR5 |
|
|
(00000) |
•(00) |
|
|
(10000) |
2(10) |
|
|
'(11000) |
3(11)+ 1(20) |
|
|
(11100) |
' i ( H ) + 2 (21) |
|
|
(11110) |
5(10)+3(21) |
+ |
i(22) |
( H i l l ) |
6(10)+i(20) |
+ |
2(22) |
5. Из операторов X<0 0 Ä > (k нечетное) можно отобрать операторы Х(ООІ) и т е м самым перейти к группе R^, группе вращений обыч ного трехмерного пространства:
-*-^?з.
Какого-либо общего описания соответствующих этому переходу правил ветвления не существует, однако подробно протабулированы все случаи / ^ 4 для всех представлений группы Spu+z, со стоящих из нулей и единиц [6, 13, 14].
6. При / = 3 имеем случайное упрощение, ибо операторы Х ( 0 0 ; > и Х(° 0 5 ) замкнуты относительно операции коммутации. Получается исключительная группа Gz Картана.
7. Если наш атом находится в поле кристалла, можно рас смотреть конечные точечные группы, являющиеся подгруппами
38 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
группы Щ; так, например, для октаэдрического поля с тригональным искажением имеем
8. Если на наш атом действует внешнее поле, имеющее ось симметрии, то можно записать
однако иногда до этого приведения выгоднее связать S и L в резуль тирующее J.
Чтобы резюмировать ситуацию, скажем, для атома с f элек тронами, находящегося в магнитном поле, приведем полную це почку вложенных друг в друга групп:
U i e m |
=> R.2ÇS гэ R,s => Яг X |
tyu =э R$ XRlXRj=> |
R$ X Ri X |
|
||
|
XG2ZD |
R§ XRÎXRs |
R$XRi=>R$XRi |
. |
||
Это, |
конечно, лишь одна |
из многих возможных цепочек вложен |
||||
ных подгрупп группы ІУіб384; вместе с тем |
эта |
цепочка |
одна из |
са |
||
мых полезных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. |
Операторы |
|
Коммутирующие друг с другом операторы Hi данной группы могут использоваться при отыскании представления, которому при надлежат операторы Oh. Для этого нужно лишь составить линей ные комбинации Ор из операторов Ou, для которых
\НІ> o ß ] = ß A ;
при этом различные веса ß, будут задавать искомое представление, которое, конечно, может быть приводимым.
Не все операторы имеют ненулевые матричные элементы. Чтобы это условие выполнялось, если (фі, О и |я|/) принадлежат непри водимым представлениям І\, Го и Гз некоторой группы, нужно, чтобы произведение ГіХГгХГз содержало в своем разложении тождественное представление. Другими словами, чтобы произве
дение Г і Х Г 3 имело в своем |
разложении представление |
Г*, сопря |
|||||||
женное представлению Гг. |
|
|
|
|
|
|
|||
Мы |
установили, что |
состояния |
| /jVo|)) |
при |
четном j V преобразу |
||||
ются |
по представлению |
(V2V2...V2) группы |
RSM. |
Наибольший вес |
|||||
будет |
у |
полностью заполненного |
состояния |
\lu+2iS), |
которое яв |
||||
ляется |
однодетерминантным |
состоянием. |
Сопряженное |
состояние |
|||||
{/4 ! +2 і 5| |
просто получается из него при операции комплексного со |
||||||||
пряжения. Однако, поскольку |
|
|
|
|
|
г ; І В = ( - і ) я г і _
|
|
Гл. 5. Группы |
|
39 |
новый детерминант будет в точности совпадать |
со |
старым и его |
||
вес поэтому |
тоже будет (Уз 'А>... Уг). Кронекеровское |
произведение, |
||
которое мы должны рассмотреть, имеет, таким образом, вид |
||||
|
С/272 |
. . . 7 2 ) Х ( 7 2 72 . . . У2 ). |
|
|
Теперь мы |
отметим два |
факта. Теорема Вейля |
[15] утверждает, |
что наибольший вес представления, встречающийся в разбиении,— это сумма обоих наибольших весов представлений, которые мы перемножаем, причем это представление встречается один раз. Для выписанного выше кронекеровского произведения мы полу чаем, таким образом, представление (11...1). Далее, поскольку имеем соотношение ( І 5 | 1 5 ) = 1 , тождественное представление (00.. .0) тоже должно появляться в разложении. Все остальные представления'в рассматриваемом разложении должны иметь вид
(11 . . . 10 . .. 0).
Для малых значений / можно использовать соображения размер ности, чтобы доказать, что
(7о72 |
. . . 7 2 ) Х ( У 2 7 2 . . . |
72 ) |
= |
|
|
|
|
|
|
= (00 . . . 0) + (110 |
. . . |
0) |
+ (11110 |
. . . 0 ) + |
. . . + ( і і |
. . . |
1), |
в то время как для нечетных N |
|
|
|
|
|
|||
(7 2 7 2 |
7 2 ) X ( Y 2 72 |
|
72 ) = |
|
|
|
|
|
|
= (00 . . . 0) + |
(110 . . . |
0 ) + . . . |
+ ( 1 1 . . . |
1 |
- 1 ) . |
Если известно, что наши матричные элементы не исчезают, то все операторы О должны преобразовываться по одному из пред ставлений, появляющемуся в правых частях приведенных формул. Это означает, что правила ветвления именно этих представлений особенно интересны; некоторые из них приводятся в табл. V.
Таблица V
Правила ветвления при сужении Rsl^^—<• R§ X Sp4[_i_2
(0 . . . 0) |
1(0. |
. |
. 0) |
|
|
|
|
|
(ПО . . . 0) |
1(20 . |
. |
. 0) |
|
|
|
|
|
|
3(0. |
. |
. 0) |
(ПО . . |
. 0) |
|
|
|
( Ш 1 0 . . . 0) |
4 0 . |
. |
. 0) |
(ПО . . |
. 0) |
(220 . . |
. 0) |
|
|
3(110 |
. |
. . 0) (20 . |
. . 0) (2110 . |
. |
. 0) |
||
|
5 (0 . |
. |
. 0) (ПО . . |
. 0) |
(НПО . |
. |
. 0) |
40 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
Задачи
5.1. Докажите, что генераторы
для которых ij) и г|/— состояния конфигурации с фиксированным числом электронов, соответствуют некоторой подгруппе G унитар ной группы U размерности 24 г + 2 . Идентифицируйте эту группу. По стройте правила ветвления для сужения £/-»- G.
5.2 *1 \ Соотношение между группами
|
|
U163S4 ^ Ръ |
X |
X R7 |
|
показывает, что идентичные представления |
группы Ri для разных |
||||
конфигураций |
можно снабжать |
индексами |
5, Ms, Q и MQ. По |
||
стройте группу X (отличную от R®XRf), |
для которой |
||||
Указание (возможно, неправильное) : оператор |
|||||
|
|
( a W ) ( , / * 0 ) |
|
|
|
является скаляром |
по группе G2 (автор обязан этим замечанием |
||||
А. Р. Эдмондсу). |
|
|
|
|
|
5.3*. Проанализируйте правила ветвления при сужении Ry+t-*- |
|||||
-+-R^ и докажите, |
что число 5-состояний, |
возникающих при раз |
|||
ложении представления (11110. ..0) группы R21+1, дается интегра |
|||||
лом |
|
|
|
|
|
|
2- |
|
|
|
|
_1_ |
Г s i n ' 2 6 s i n (/ + 1)0 |
slr.2 (/ |
-j- i / 2 ) 6 s i n /6 • |
||
я J |
s l n 2 e s i n 3 / , e |
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
Этот интеграл должен быть равным 1 при / = |
4 и |
5 и равным 2 |
при |
1 = 6, как это следует из результатов Шудемана |
[16]. Продолжите |
||
рассмотрение на более высокие / и выведите |
общую формулу. |
|
ч Звездочка означает, что решение задачи не известно автору; см. замечания автора в конце первой части.
6
П О С Т Р О Е Н И Е
с о с т о я н и и
6.1. Вводные замечания
Группы, рассматриваемые в разд. 5.3, нужны для исключения неопределенностей, которые возникают, если в исследуемой конфи гурации появляются два пли больше термов с одними и теми же значениями 5 и L . Например, имеются два терма W для конфи гурации d3, которые легко различаются, если использовать группу Rs- один терм ZD принадлежит неприводимому представлению (10) > другой — представлению (21). Фактически достаточно вводить в рассмотрение только группу /?5 для получения однозначной клас сификации состояний всех конфигураций dH. Для f-оболочки, од нако, часто появляются повторяющиеся термы, если использовать для классификации только представления W группы Rn\ при разде лении этих повторяющихся термов очень большую помощь ока зывает группа Gi. Тем не менее неоднозначность все-таки остается. Для конфигураций gN, hN и т. д. правила ветвлений для R2i+i-*-RL3 содержат по очень большому числу повторяющихся термов и не обходимо искать какие-то другие схемы для классификации тер мов. Что же можно сделать в этом направлении?
Прежде всего заметим, что альтернативная схема классифика ции получится, если мы будем раздельно рассматривать элек троны, соответствующие разным ориентациям спинов, т. е. разным значениям квантового числа ms. Мы можем объединить все элек троны со спином, направленным вверх (т3 = \І2), в Л-пространство,
и все электроны со |
спином, направленным вниз |
(ms = Ѵг),— |
в B-пространство. Эти пространства будем называть также «спин- |
||
вверх-пространством» |
и «сппн-вниз-пространством» |
соответственно.— |
Идея такого разделения электронов была предложена много лет
назад Шудеманом |
[16]. В этой схеме |
классификации |
состояния |
||
представляются символами |
|
|
|
|
|
|
\lN\ïALA\XhBLB\LMLMsy, |
|
|
|
|
здесь L — момент, |
получаемый при связывании орбитальных |
мо |
|||
ментов L . 4 и L B для электронов обоих |
рассматриваемых |
прост |
|||
ранств А и В. Конечно, мы теряем квантовое число 5; |
зато |
если |
|||
мы можем классифицировать состояния |
в пространствах |
А |
и В, |
то мы получаем классификацию состояний в полном пространстве.
Далее, так как все спины |
в |
каждом пространстве |
направлены |
в одну и ту же сторону, то проблема классификации |
состояний |
||
каждого пространства А и |
В |
в точности совпадает с |
проблемой |