Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Число степеней свободы го лономной механической си стемы равно числу обобщен ных координат

обобщенных координат и, возможно, времени. Так, если положение системы п точек определяется s обобщенными координатами (qu q2, . . ., qs), то эти уравнения в параметрической форме имеют вид:

xlt

= xk{q1,

q2,

qs,

t), yk=yk(qlt

q2,

qs, t);

где k=\,

2,

z* =

zA(</1,

qt,

qs, t),

(258)

n.

 

 

 

 

Если на систему наложены только голономные связи, то число обобщенных ко­ ординат системы равно числу ее степеней свободы. Заметим, что к неголономным си­ стемам это правило не относится. В при­

кладной механике большое значение имеют полносвязные системы, т. е. механические системы с одной степенью свободы. К числу таких систем относится большинство механизмов. Чтобы определить положе­ ние полносвязной системы, достаточно одной обобщенной координаты.

П р и м е р ы .

Тело с двумя

неподвижными точками имеет одну степень

сво­

боды: оно может

поворачиваться

вокруг неподвижной оси, проходящей через

эти

закрепленные точки. Для определения положения тела, занимаемого им в данное

мгновение,

нужна

лишь

одна

 

 

 

 

 

 

 

обобщенная

координата,

напри­

 

 

 

 

 

 

 

мер угол

поворота

ср.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело

с

одной

неподвижной

 

 

 

 

 

 

 

точкой

имеет

три

степени

сво­

 

 

 

 

 

 

 

боды

и

его

положение

опреде­

 

 

 

 

 

 

 

ляют

тремя

обобщенными

коор­

 

 

 

 

 

 

 

динатами,

например тремя

 

уг­

 

 

 

 

 

 

 

лами

Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривошипно-ползунный

ме­

 

 

 

 

 

 

 

ханизм

(рис.

238) — система

с

 

 

 

 

 

 

 

одной

степенью свободы. Чтобы

 

 

 

 

 

 

 

задать положение всех точек ме­

 

 

 

 

 

 

 

ханизма,

нет

надобности

зада­

 

 

 

 

 

 

 

вать

декартовы координаты

всех

 

 

 

Рис.

238

 

точек,

достаточно

одной

обо­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бщенной

координаты,

 

напри­

 

 

 

 

 

 

 

мер

угла

ср

или

дуги

А0А.

Одной

обобщенной координатой и

уравнениями

связи

[х\

+

у\

= г2;

(хА

— * в ) 2

+ (УА—Ув)г~ї2і

</В = 0]

положение

механизма,

занимаемое им в данное мгновение, определяется вполне и однозначно.

Регулятор

Уатта

имеет

 

две

степени

свободы

и для

определения

его положе­

ния нужно задать две независимые друг

от друга

величины,

т. е. две

обобщенные

координаты,

например

угол

 

(см. рис. 236) отклонения ручек от вертикали и угол

поворота

плоскости

АО В

вокруг

оси

Оу.

 

 

 

 

Обобщенные координаты, как и всякие координаты, характери­ зуют положение неподвижной системы или положение движущейся системы, занимаемое ею в данное мгновение. Чтобы охарактеризо­ вать движение системы, надо выразить обобщенные координаты как непрерывные однозначные функции времени. Изменение каждой обоб­ щенной координаты характеризует соответствующее изменение в по­ ложении системы. Так, в последнем из разобранных примеров (регулятор Уатта) изменение одной обобщенной координаты означает поворот системы вокруг вертикальной оси, а изменение другой обоб­ щенной координаты выражает изменение наклона ручек к вертикаль­ ной оси.

Обобщенная скорость выра­ жается первой производной от обобщенной координаты по времени

Обобщенная скорость. Для характеристики движения системы, определяемого обоб­ щенной координатой qi~Qi(t) не только в пространстве, но и во времени, возьмем первую производную от этой координаты по времени

Яі=Цг-

(259)

Полученная величина является пространственно-временной

ха­

рактеристикой изменения одной из обобщенных

координат. Ее

на­

зывают обобщенной скоростью, соответствующей

данной координате.

Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная скорость, поэтому число обобщенных скоростей в системе равно числу обобщенных координат.

Обобщенная координата обычно выражается длиной или углом, соответственно этому обобщенная скорость может иметь размерность либо скорости точки, либо угловой скорости тела.

 

 

 

Обобщенная сила. Пусть положение меха­

Обобщенной силой называют

нической системы в данное мгновение t

скалярную

величину, равную

определяется

обобщенными координатами

отношению

суммы виртуаль­

qv

<?2, • . •, qs.

Дадим одной из коорди­

ных работ всех сил системы

нат

qt мысленно бесконечно малое изме­

при изменении

только одной

из обобщенных

координат к

нение 6<7,-, сохранив для всех остальных

вариации

этой

координаты

обобщенных координат то значение, кото­

 

 

 

рое

они в данное мгновение имеют. Вслед­

ствие изменения одной из обобщенных координат материальные точки системы получат мысленные бесконечно мальге перемещения, а при­

ложенные к этим точкам силы произведут виртуальную

работу:

2?

+ У^Уь + Zkbzk).

(221)

fe=i

 

 

Сумма работ всех реакций на данном виртуальном перемещении равна нулю (так как связи предполагаем идеальными), поэтому написан­ ная сумма выражает работу всех активных сил системы. Из урав­ нений (258) найдем вариации декартовых координат точек системы, соответствующих приращению bqt обобщенной координаты qt при фиксированном (неизменном) значении других обобщенных координат:

Эти вариации подставим в предыдущее выражение:

£ (Xkbxk + Yk6yk+Zkbzk)^X

(

X ^

+ y

^

+

Zkd^)bq,

k=i

k-1 4

4

1

4

1

4 1 '

Эту сумму виртуальных работ всех активных сил), приложенных к системе, из обобщенных координат qt мы можем

сил (или, что то же, всех при изменении только одной записать как произведение

вариации 6c7, этой координаты на скалярную величину

ь=%{х$+ъ%+г*Ш)- (260)

называемую обобщенной силой, соответствующей координате qt. Если мы дадим воображаемое приращение какой-либо другой из

обобщенных координат этой

системы при фиксированном значении

всех остальных обобщенных

координат, то совершенно аналогично

получим выражение обобщенной силы, соответствующей этой второй

обобщенной координате. Таким образом,

в системе столько же обоб­

щенных сил, сколько в ней обобщенных

координат.

Размерность обобщенной силы равна

размерности работы, поде­

ленной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщен­ ная сила может иметь размерность силы или же размерность момента

силы в зависимости от размерности

соответствующей обобщенной

координаты.

 

Задача № 191. Определить обобщенную

силу в регуляторе Уатта (рис. 236

на стр. 424), соответствующую обобщенной координате а. Точечные грузы А и В

имеют

одинаковый

вес Р кГ,

вес муфты С равен

Рг

кГ,

а стержни

имеют

одина­

ковую

длину

/ мм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Декартовы

координаты

точек

приложения

силы, как функции

 

обоб­

щенной координаты (параметра а) ,

их вариации

и виртуальные

работы

всех

активных

и инерционных сил определены

при решении

задачи №

188. Д л я вы­

числения обобщенной силы воспользуемся некоторыми полученными

при решении

задачи

№ 188 данными

и составим

сумму

виртуальных

работ только

активных

сил при вариации

6а :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

дА<* = — 2Р1 sin а Ьа—2РХ1

 

sin а 6а .

 

 

 

 

 

Разделив эту сумму виртуальных работ

активных сил системы

на 6а , полу­

чим ответ.

 

— 21 ( Р + Pj) sin а

 

кГ-мм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т .

Q =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения

 

Лагранжа

в обобщенных

коор-

Разность

производной

по

динатах. Выразим в обобщенных

коорди-

времени от обобщенного им-

натах

проекции

скоростей точек

системы

пульса

и

частной

произвол-

н а

о с

и д е к а р т о в ы х

координат. Для этого

НОИ О Т КИНеТИЧеСКОИ ЭНерГИИ

 

 

ї

ї

 

 

 

 

 

 

соотноше-

системы

по обобщенной

ко-

продифференцируем по времени

ординате

равна обобщенной

ния

(258). Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

с и

л е :

 

 

 

'

 

dxk

•

, дхи • .

. дхь

•

 

, дхь

 

 

 

 

 

 

 

tJk~

 

d g i

q

^ d q 2 ^ ^

• - + ' d q s

q

* +

dt

'

Возьмем

теперь

частные

производные

этих

проекций

 

скоростей

**> Ук' zk п о

какой-либо одной

обобщенной

скорости <?,-:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E^K.~dlh

 

Ік_ = ^

 

 

 

_ £ J £ *

 

 

 

(26!)

 

 

 

 

dqt

dqi

'

dqi

dqt

'

dq{

dqt '

 

 

 

 

 

Эти соотношения справедливы только для голономных систем, И

мы

воспользуемся

ими для вывода

дифференциальных уравнений

движения

таких систем

в обобщенных

координатах. Возьмем

част­

ные производные от (215') кинетической

энергии

Т' = Y 2 / " a

+

+

у\ + zl)

системы

по обобщенной

координате

q(

и по обобщенной

скорости <?,•:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dg~-Z*mk\Xk

d q . І

Ук

д д

. і Ч

d q .

)

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производную от кинетической энергии по обобщенной скорости называемую обобщенным импульсом, мы представим в другом виде, для чего воспользуемся соотношениями (261):

Продифференцируем обобщенный импульс по времени:

Преобразуем первую

сумму

правой

части этого равенства, при­

няв во внимание

дифференциальные

уравнения движения системы

в форме (130): mkxk

= Xk,

mkyk

= Yk,

tnkzk

= Zk,

вторую сумму, рав-

дТ

 

 

 

 

 

 

 

ную g— , перенесем влево:

 

 

 

 

 

dt d q .

dqt -

2- V * dqt

~Г ї

к

dq~ + L k

Wi) -

В правой части имеем обобщенную силу системы, соответствую­ щую координате qt. Обозначая, согласно (260), правую часть этого равенства через Qb мы получим уравнения движения материальной системы в обобщенных координатах, называемые иначе уравнениями (второго рода) Лагранжа:

 

Щ-Ъ%

= ^

г д е * - 1 , 2 ,

. . . ) S

.

(262)

1

При дифференцировании

учтено,

что операции

полного

дифференцирования

І

4 , 4 .

 

 

 

Л dxk

dxk.

по t

и частного дифференцирования по <?,- переместительны,

т. е. ^ 7 " ^ Т =

^ ^ '

Смотрите также файлы