Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

довательно, будет уменьшаться и падение напряжения Ас/ = /г,-. Напряжение между зажимами генератора будет возрастать и при г = оо, т. е. при / = 0 (режим холостого хода), напряжение между зажимами генератора окажется равным его э. д. с. (U — Е). Если же внешнее сопротивление г уменьшать, то напряжение между зажимами генератора будет падать, так как возрастает AU. В пределе, когда сопротивление г станет равным нулю, падение напряжения внутри генератора окажется равным его э. д. с , а напряжение генератора упадет до нуля, так как ток будет ограничен только внутренним сопротивлением генератора rt:

ÏК. 3

Такой граничный режим работы генератора называется режимом короткого замыкания. Для генераторов обычно режим короткого замыкания недопустим, так как он грозит аварией генератора из-за чрезмерного тока.

График зависимости напряжения генератора от тока через гене­ ратор, т. е. вольтамперная характеристика генератора, изображена на рис. 2.6. Этот график построен согласно уравнению

Ток через приемник при работе реального генератора тока на на­ грузку несколько меньше задающего тока источника. Схема заме­ щения реального генератора может быть представлена в виде источ­ ника тока, создающего задающий ток, и подключенного к его зажи­ мам сопротивления.

На рис. 2.7 дана схема замещения генератора тока с подключен­ ным к генератору приемником. Согласно этой схеме сумма токов через приемник и шунт должна равняться задающему току источ­ ника тока:

І0 = і0 + І,

где / — ток нагрузки; і0 — ток через шунт *.

* Шунтом, или шунтирующим двухполюсником, называют пассивный двух­ полюсник, создающий дополнительный путь току параллельно одному из основ­ ных элементов цепи.

41

Сумма этих двух токов постоянна, и увеличение тока в нагрузке связано с уменьшением тока в шунте. Вольтамперная характеристика генератора тока (рис. 2.8) может быть по­

строена по уравнению

это обычно не совсем соответствует действительности, особенно в граничных режимах холостого хода и короткого замыкания.

Дальнейшие рассуждения будем относить к идеализированным

щения реального генератора электромагнитной энергии, как следует

Эквивалентность генераторов при этом устанавливается только с точки зрения создаваемых ими режимов работы приемников. А для того чтобы при подключении одинаковых приемников токи в них были бы одинаковыми, вольтамперные характеристики генераторов должны совпадать. Эти характеристики генераторов напряжения (см. рис. 2.6) и генераторов тока (см. рис. 2.8) представляют собой прямые линии, поэтому, чтобы они совпадали, необходимо, чтобы совпали какие-либо их две точки, т. е. два режима. Будем считать совпадающими режимы короткого замыкания и режимы холостого хода.

В режиме короткого замыкания ток во внешней цепи при гене­

тт

раторе напряжения / к 3 = —, а при генераторе тока / к 3 = / 0 .

42

ратора тока, и сопротивление, последовательное с источником на­ пряжения в схеме замещения генератора напряжения, одинаковы в случае эквивалентности этих генераторов. Следует отметить, что идеальный источник напряжения, лишенный внутреннего сопротив­ ления, не может быть эквивалентен источнику тока, так как одно­

Большой класс цепей состоит из последовательно и параллельно соединенных двухполюсников, питаемых одним источником элект­ ромагнитной энергии. Примером такой цепи может служить цепь, изображенная на рис. 2.4.

Если известны сопротивления всех резисторов и э. д. с. генера­ тора, то токи во всех ветвях находятся достаточно просто. Для их определения можно, заменяя каждую группу последовательно сое­ диненных резисторов одним эквивалентным и каждую группу па­ раллельно соединенных резисторов одним эквивалентным, упро­ стить всю цепь, представив ее, после всех эквивалентных замен, в виде одного контура, содержащего генератор и приемник. Сопро­ тивление этого приемника должно быть равно сопротивлению всей внешней цепи.

43

Теперь можно найти токи / 6 и /-:

где

= hr 6-7-

§ 2.4. Расчет сложной цепи

Назовем сложной электрической цепью такую, которая содержит пассивные двухполюсники, не образующие последовательных или параллельных соединений. Примером такой цепи может служить цепь рис. 2.9. Расчет такой цепи может быть произведен с помощью уравнений Кирхгофа или рядом специальных методов. Ниже изло­

жены основные методы расчета сложных линейных электрических цепей. Эти мето­ ды можно разбить на две группы.

Первая группа содержит ряд общих методов, заключающихся в составлении си­ стем уравнений, описывающих состояние заданной цепи, и в совместном решении этих уравнений. Основным методом расче­ та данной группы является метод непосред­ ственного использования уравнений Кирх­ гофа (метод токов ветвей). Этот метод рас­ чета связан обычно с решениями большого числа уравнений, так как число неизвестных в уравнениях Кирхгофа в общем случае рав­

но числу ветвей заданной цепи. Остальные два метода этой группы — метод контурных токов и метод узловых напряжений — заключа­ ются во введении в расчеты вспомогательных неизвестных, число которых существенно меньше числа ветвей в цепи. Уравнения Кирх­ гофа составляются и решаются относительно этих новых вспомога­ тельных неизвестных. Определив эти неизвестные, можно найти искомые величины с помощью простых соотношений между ними и вспомогательными неизвестными. Методами первой группы мо­ жет быть рассчитана любая линейная электрическая цепь независимо от ее сложности.

Вторая группа содержит методы, с помощью которых расчет некоторых сложных цепей, после соответствующих преобразований этих цепей, сводится к расчету простых цепей. К этой группе ме­ тодов расчета относятся метод наложения, метод взаимности, метод эквивалентного генератора и метод преобразования треугольника в эквивалентную звезду.

Расчеты цепей любым из методов этой группы целесообразно осуществлять только в том случае, если преобразования цепи, предусмотренные выбранным методом, приводят сложную цепь к простой. Если же после преобразования цепь остается сложной, выбранный метод должен быть заменен другим.

44

1. Расчет сложной цепи непосредственным применением уравне­ ний Кирхгофа (метод токов ветвей). Расчет сложной электрической цепи обычно заключается в определении токов в ветвях цепи при заданных сопротивлениях всех элементов цепи и известных э. д. с. или задающих токов источников энергии. Общее число неиз­ вестных не может превышать числа ветвей цепи.

Поэтому, например, для расчета токов в цепи граф, которой изо­ бражен на рис. 2.10, при заданных сопротивлениях ветвей и э. д. с. источников следует составить 20 уравнений, т. е. столько, сколько ветвей содержит эта цепь. Графом цепи называют ее схему, в кото­ рой каждая ветвь, содержащая элементы любого типа, изображается одной линией.

Для решения системы, содержащей п неизвестных, должно быть

в одно уравнение как ток, вытекающий из узла, другой раз со зна­ ком минус в другое уравнение как ток, притекающий к другому узлу той же пары узлов, связанных одной ветвью. Поэтому одно уравнение из общего числа уравнений, составленных для всех узлов цепи, окажется лишним. Оно может быть получено как след­ ствие того, что сумма всех уравнений для всех узлов любой цепи представляет собой тождество, в правой и в левой части которого суммы всех слагаемых равны нулю.

Число уравнений, которое следует составить по второму закону Кирхгофа, теперь ясно. Так как число неизвестных равно числу ветвей тв, а число уравнений, уже составленных по первому за­ кону, на единицу меньше числа узлов т у цепи, то число уравнений для контуров тк, составленных по второму закону, должно быть равно

тк = тъ — (Шу — 1).

Выбор контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа относительно произволен. Однако все уравнения для кон­ туров должны быть также независимыми.

Д/гя схемы, изображенной на рис. 2.11, можно, например, напи­ сать уравнения Кирхгофа для трех контуров acdf, abef и bcde, но здесь независимых только два любым образом выбранных контура. Если сложить, например, уравнения, написанные для контуров abef и bcde, то получится уравнение для контура acdf. Это уравне-

45