являющаяся пятым двухполюсником, может быть заменена экви валентным седьмым двухполюсником. Далее, индуктивности L t и L 2 , включенные параллельно, могут быть заменены эквивалентной
индуктивностью L 3 K B = г ^ г Ѵ - Таким образом получается седь-
L l ~Г L-t
мой двухполюсник, полностью заменяющий исходный. Конечно, седьмой двухполюсник можно заменить эквивалентным пятым двух полюсником. Итак, схема из четырех элементов заменяется без из менения частотной характеристики схемой из трех элементов.
Описанная операция называется приведением, а эквивалентная схема, содержащая наименьшее возможное число элементов, назы вается приведенной схемой. Приведение схем имеет большое прак тическое значение.
Далее необходимо рассмотреть другой практически важный вопрос о дуальных схемах. Принципы построения дуальных схем были изложены в § 3.7.
Рис. 16.16
Очевидно, что дуальные двухполюсники должны быть потен циально обратными, но, как будет видно далее, не всякие обратные двухполюсники дуальны. Первый и второй двухполюсники — ду альны и'обратны. Напряжение, приложенное к первому двухпо люснику, определяется производной от тока по времени. Прило женный ко второму двухполюснику ток пропорционален произ водной по времени от напряжения. Итак, емкость и индуктивность — дуальны. Третий и четвертый двухполюсники также дуальны. При подборе величин индуктивностей и емкостей они обратны. Если в третьем двухполюснике складываются напряжения на ин дуктивности и емкости, то в четвертом складываются токи. При построении дуальных схем последовательное соединение заменяется параллельным и наоборот; последовательный контур заменяется параллельным и наоборот. Дуальной схемой для пятого двухпо люсника является восьмой двухполюсник. Параллельный контур LXCX в дуальной схеме заменен последовательным, последовательно соединенная с ним индуктивность заменена емкостью, подключен ной параллельно. Для шестого двухполюсника дуальной схемой является седьмой двухполюсник. Здесь параллельный контур L 2 C 2 заменяется последовательным контуром, последовательно вклю ченная емкость — параллельно подключенной индуктивностью. Необходимо обратить внимание на то, что пятый и шестой двухпо люсники могут быть обратными, но не являются дуальными, так как условия о замене напряжений на токи и наоборот не выпол няются.
5. Общие положения о входных сопротивлениях и проводимостях реактивных двухполюсников. При рассмотрении реактивных двухполюсников были установлены следующие положения:
а) входные сопротивление и проводимость реактивны; мнимые части входного сопротивления и входной проводимости Jm (Z) и Jm (Y) — нечетные функции угловой частоты со;
б) мнимая часть входного сопротивления (и проводимости) является отношением двух полиномов от со, причем степень одного полинома больше степени другого на единицу.
Из рассмотрения частотных характеристик простых реактивных двухполюсников, приведенных выше, можно установить некоторые дополнительные положения;
в) частотная характеристика определяется чередованием про
стых |
(т. е. некратных) нулей |
и полюсов; |
с увеличением |
угловой |
частоты за нулем следует полюс, за полюсом — нуль; |
|
|
г) |
крутизна |
частотных характеристик |
- ^ [ J m ( Z ) ] ; |
^ " [ ^ т ( Ю ] |
всегда |
положительна. |
|
теоремой |
Фостера. Ее |
Последние |
два положения |
называются |
доказательство |
для любого |
реактивного |
двухполюсника |
дается |
в приложении I . |
|
|
|
|
§ 16.4. Канонические схемы реактивных двухполюсников
Ï. Четыре класса реактивных двухполюсников. Входное сопро тивление двухполюсника определяется формулой (16.10). Если рассматривать только гармонические колебания с угловой часто той со, то р = /со. Все нули и полюса должны быть мнимыми и по парно сопряженными: если есть нуль или полюс при +/cof t , то нуль или полюс должен быть и при —jcak. Поэтому в формуле входного сопротивления скобки объединяются попарно и
(Р - Рк) (р — рк + \) = (/© - /©*) (/<» + /©ft) = col - со2-
Так как входное сопротивление должно быть нечетной функ цией со и степени полиномов в числителе и знаменателе должны от личаться на единицу, для реактивных двухполюсников равенство (16.10) может существовать лишь в четырех модификациях. Прежде всего оно может иметь такой вид:
„ ч „ /со (со? — со2) К - с о 2 ) . . . («?„ — со2) |
|
*і (/") = Я (юД;2)(4Ц2),,у^_м2;. |
(16.15) |
Здесь п двучленов в числителе и знаменателе. Так как общее число двучленов в формуле (16.15) четное, каждый из них можно умножить на (—1) и общий знак не изменится. Поэтому фор мула (16.15) может быть написана так:
7 <ш) - |
/соЯ |
fo2-*>i) |
K-cûf)-K-co|„) |
|
Z x (/со) - |
/соЯ ( ш 2 |
_ т ? ) ( м 2 _ |
( м 2 _ |
_ j , |
(16.16) |
Первый нуль получается при со = |
О, затем следует полюс при |
© = |
щ, нуль при со = |
со2 и т. д. Так как число двучленов в числи |
|
|
|
|
|
теле и знаменателе |
одина |
|
|
|
|
|
ково, то при |
со = о о вход |
|
|
|
|
|
ное |
сопротивление |
обра |
|
|
|
|
~Ъ |
щается |
в |
бесконечность |
|
|
|
|
(точнее, |
в / о о ) . Реактивные |
|
|
|
|
|
двухполюсники, |
входное |
|
|
|
|
|
сопротивление |
которых оп |
|
Рис. |
16.17 |
|
|
ределяется |
|
формулой |
|
|
|
(16.15), |
называются двух |
|
|
|
|
|
полюсниками первого клас |
са. Частотная характеристика |
такого |
двухполюсника |
показана на |
рис. |
16.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При одинаковом числе двучленов в числителе и знаменателе |
функция входного сопротивления может иметь такой вид: |
|
|
Z2(/co) = tf- |
2 |
) ( ' |
|
2 л - |
-ш2 ) |
|
|
(16.17) |
|
|
|
|
|
|
/Cû(û |
|
|
|
|
|
|
В |
этом случае |
при |
со = 0 |
получается |
полюс, за |
|
ним |
следует |
нуль |
при со = сох, полюс при со = со2 |
и т. д. При со = |
о о входное |
сопротивление равно нулю. Входное сопротивление, определяемое
формулой типа (16.17), характерно для двухполюсников |
второго |
класса. Формулу |
(16.17) можно написать и таким образом: |
Z 2 (/со) |
' — /соЯ ( ( о « - ( о ; ) ( ( а » - < о ; ) . . . ( а ) » - ( о | п _ 1 ) |
(16.18) |
|
с о 2 ( ш 2 - ш . 2) ( Ш » - Ш » ) . . . ( а ) » - а ) | „ ) |
|
Далее число двучленов в числителе и знаменателе может быть разным — отличаться на единицу. Для двухполюсников третьего класса
|
/СО (Ю| - |
СО2) (Со| - |
0)2) . . . (<й|„ _ |
2 - СО2) |
(16.19) |
|
(cof-co2 ) (со| —са^)... ( c o | n _ i _ c o 2 ) |
|
|
|
Первый нуль получается |
при со = |
0, далее |
следует полюс при |
со = CÖJ, нуль при со = со2 и т. д. Так как число двучленов в зна менателе больше на единицу числа двучленов в числителе, при со =
= о о входное сопротивление |
обращается в нуль. |
Формулу |
(16.19) |
можно написать |
и так: |
|
|
|
|
|
|
-Со|) |
— t D » ) ... (<ri» |
— € D | „ _ a ) - |
(16.20) |
Z3 (/») |
= — /'<*># ( û ^ - f f l » |
) ^ - © » ) . . . ^ |
- ^ , , . , ) • |
Знак «минус» объясняется |
тем, что в формуле |
(16.19) в отличие |
от (16.17) общее число двучленов нечетное (2п— 1). |
|
Для двухполюсников четвертого |
класса |
|
|
|
/со (ш« - |
со2) (ш| - |
со2) ... (©«„ _ 2 |
- со2) |
(16.21) |
|
|
В этом случае число двучленов в знаменателе на единицу меньше числа двучленов в числителе. При со = 0 получается первый полюс,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
далее |
следует нуль при |
со = |
соъ |
полюс при |
со = |
со2 и т. д. При |
|
со = |
оо входное сопротивление |
становится |
бесконечно |
большим |
|
(/оо). Формула (16.21) может быть переписана в таком виде: |
|
|
|
Z4 (/со) =/со// |
/со2 - |
и?) /со2 |
—и!)... /со2 |
- CÖ!„ |
, ) |
(16.22) |
|
|
\ . . |
' ; , |
, . |
\ |
\ . |
'2пГ'\ |
. |
' |
|
|
ш2 (to2 — cu-j) (CO2 — co|)... (to2 — |
to|n_2) |
v |
Этими четырьмя классами |
реактивных |
двухполюсников |
исчер |
|
пываются все возможности. Графическое различие между ними
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хорошо |
определяется |
«ха |
1 |
)°0 и, и |
2 |
ь%~ь>ь |
|
— о |
со |
гп к0 0 w |
рактеристическими строка- |
|
|
' |
(Û2„-, |
|
ми», |
приведенными на рис. |
|
2)*—о—* |
|
|
|
|
|
|
|
16.18, где крестиками обо- |
|
|
о — * |
|
~,°~~^*~~~Sou |
значены полюса, а круж- |
|
0 |
Ч |
шг |
|
из |
Ч |
Чгм ^гп |
|
|
ками |
нули. |
Нетрудно |
по |
^ 0 |
к |
0 |
|
к |
- |
|
* — о — о |
аналогии с рис. 16.17, где |
|
о af |
и2 |
|
о3 |
0)4 |
tyn-i ^гп 0 0 |
( 0 |
изображена |
частотная |
ха- |
|
|
|
" |
^ |
|
|
" c J ^ ' C ^ |
рактеристика |
двухполюс- |
|
4 |
« |
|
|
ника первого класса, учи- |
|
|
' |
' |
0 |
* |
|
|
|
|
тывая |
характеристические |
|
|
|
|
|
Рис16.18 |
|
|
|
строки, |
построить |
частот |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные |
характеристики |
двухполюсников остальных |
классов. Все они |
будут отличаться лишь «внешними» нулями |
и полюсами, которые |
получаются при со = |
0 и с о = о о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что из рассмотренных |
в § 16.3 простых |
двухполюсни |
ков первый, пятый и седьмой относятся к первому классу, второй,
шестой и восьмой — ко второму, четвертый — к третьему, |
а тре |
тий — к четвертому классу. |
|
2. Первая каноническая схема. Канонической называется |
схема, |
которая при правильном задании, удовлетворяющем условия фи зической реализуемости, всегда дает возможность выполнить это задание. В разбираемом случае правильным заданием, обеспечиваю щим возможность реализации, является входное сопротивление в виде функций (16.16), (16.18), (16.20) или (16.22). Найдем канони ческую схему. Функцию входного сопротивления можно предста вить в виде суммы простых дробей. Начнем с наиболее сложного случая — с двухполюсника четвертого класса. В (16.22) степени числителя и знаменателя одинаковы. Поэтому функция входного сопротивления может быть записана в таком виде:
2Л/со) = /соЯ(і+4»- + ^ 4 ^ + ...+ ^ г +
+ •••+ со-"" )• |
О |
- |
) |
2 |
6 |
2 3 |
|
Очевидно, что первый член в скобке обеспечивает бесконечно большое входное сопротивление при со = оо, а второй член — бес-
