Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Зависимость модуля входного сопротивления от угловой частоты называется амплитудно-частотной характеристикой, зависимость

2. Двухполюсник в виде многоконтурной схемы. Для упрощения задачи определения входного сопротивления двухполюсника вво­ дим ограничение: считаем, что двухполюсник состоит из конечного

всегда можно считать контур, в котором находится генератор, пер­ вым контуром (рис. 16.6). В остальных контурах генераторов нет:

Согласно (11.28) входное сопротивление двухполюсника

472

причем n «S 2s, m < 2s— 1, где s — число контуров. Кроме того, тип равны друг другу или отличаются на единицу. Все коэффи­ циенты а я b вещественны. Вещественный коэффициент Я , не зави­

щийся в числителе уравнения (16.9), имеет п корней и может быть представлен в виде произведения п двучленов:

(Р - Роі) (р - Рог) • • • (Р - Роя),

где р 0 1 , р 0 2 , ... Роя — корни полинома, причем некоторые из них могут совпадать (кратные корни). Точно так же можно записать по­ лином, находящийся в знаменателе той же формулы:

входное сопротивление обращается в нуль. Они называются нулями

бражено распределение нулей и полюсов для двухполюсника в виде

4. Условия физической реализуемости. Можно показать, что полюса функции входного сопротивления должны удовлетворять определенным условиям. Действительно, как показано в гл. X I , выражение (16.10) для входного сопротивления, являющееся отно­ шением двух полиномов, может быть представлено, если все полюса простые, в виде суммы простых дробей:

« W - ^ + ^ + ï é f c H - . + î é j ; . ' (16-11)

473

Если же есть и кратные корни, то появляются дроби типа - у ,

где q — кратность корня. Там же был указан способ определения коэффициентов Ак.

Если через зажимы двухполюсника протекает ток, изображение которого по Лапласу / (р), то изображение напряжения на зажимах двухполюсника имеет вид U (p) = I (p)Z (р). В этом выражении, кроме полюсов функции / (р), есть также все полюса функции вход­ ного сопротивления. Так как напряжение и (t) не может становиться бесконечным, все полюса pk функции входного сопротивления должны быть такими, чтобы дроби в формуле (16.11) при нахожде­ нии оригинала по изображению не давали функций, устремляющихся в бесконечность. Полюса функции входного сопротивления, как корни алгебраического уравнения

Pm + blPm-l + ... + bm_lP + bm = 0,

могут быть вещественными или комплексными (в частности, мни­ мыми), причем комплексные корни должны быть сопряженными, т. е. кроме корня a - f /coft должен быть корень а — /cofe.

стремится к бесконечности. Поэтому значение а должно быть отри­

и в этом случае а должна быть отрицательной. Получено первое

Если корень мнимый (pk = /wf t ), то он не может быть кратным, так как в разложении на простые дроби при кратности q появляется

слагаемое что соответствует оригиналу Л й ^ - 1 е / '" Ѵ, ко­ торый при увеличении t стремится к бесконечности. Второе пра­

и так же может быть представлена, как отношение двух полино­ мов:

Поэтому условия, полученные для входного сопротивления, справедливы и для входной проводимости. Итак, полюсы функции

Надо иметь в виду, что полюсы функции входной проводимости являются нулями функции входного сопротивления и наоборот.

474

Отсюда следует, что ограничения, введенные для полюсов функции входного сопротивления, должны соблюдаться и для Нулей этой функции. Сходство функций входного сопротивления и входной проводимости позволяет их объединить. Говорят в этом случае об иммитансе двухполюсника, объединяя в этом термине входное сопротивление и входную проводимость.

Итак, окончательно формулируются три правила: 1) нули и полюсы функций входного сопротивления и входной проводимости (иммитанса) не могут лежать в правой полуплоскости, 2) нули и полюсы на мнимой оси не могут быть кратными, 3) комплексные нули и полюсы должны быть сопряженными, т. е. должны лежать в комплексной плоскости симметрично относительно вещественной оси.

Эти правила обычно называются условиями физической реали­ зуемости, так как, если они не выполняются, то нет такого линей­ ного пассивного двухполюсника с сосредоточенными параметрами, входное сопротивление (или проводимость) которого удовлетворяло бы заданной функции; синтез двухполюсника в этом случае невоз­ можен. Они являются необходимыми, но могут быть и недостаточ­ ными.

5. Входное сопротивление при гармонических колебаниях.

Во многих случаях нас интересует поведение двухполюсника при воздействии на него гармонических напряжения или тока. Вход­ ное сопротивление и проводимость определяются равенствами (16.4) и (16.5), которые получаются из (16.2) и (16.3) заменой р на

Так как коэффициенты ak и bk — вещественные числа, то члены полиномов в числителе и в знаменателе с четными степенями имеют вид Ak (со2), с нечетными степенями /coß/ e (со2). Поэтому входное сопротивление может быть представлено в таком виде:

w ' С (co2) + /coD (ш2) '

где полиномы А, В, С и D зависят только от квадрата угловой ча­ стоты со и поэтому не изменяются при замене со на (—со). Они яв­ ляются четными функциями 0. Умножим числитель и знаменатель на комплексную величину, сопряженную со знаменателем. Тогда

(16.14)

Из этой формулы ясно, что входное сопротивление состоит из активного и реактивного сопротивлений. Активное сопротивление является четной функцией со, в то время как реактивное сопротив-

475

ление — нечетной функцией со. Модуль входного сопротивления ока­ зывается четной функцией со; аргумент, определяемый равенством

является нечетной функцией со. Эти обстоятельства также надо принимать во внимание при задании функции входного сопроти­ вления.

§16.3. Реактивные двухполюсники

1.Частотные характеристики реактивных двухполюсников. При построении электрических схем в большинстве случаев желательно, чтобы в них терялось возможно меньше энергии. При современном состоянии техники это оказывается возможным. Добротность ка­ тушек обычно удается сделать равной 100 и более, применяемые диэлектрики имеют весьма малый угол потерь, добротность коле­ бательного контура такова, что активное сопротивление г соста­ вляет при резонансной частоте 1—2% от реактивных сопротивле­ ний XL И ХС- Поэтому разумной идеализацией является предположе­ ние о существовании двухполюсников, в которых можно пренебречь потерями, т. е. считать, что активные сопротивления равны нулю.

Двухполюсники, состоящие лишь из индуктивностей (а также

Входное сопротивление реактивного двухполюсника не может иметь активной составляющей (вещественной части), так как в этих двухполюсниках не рассеивается энергия. Остается лишь мнимая часть входного сопротивления: Jm (Z) = Z//. Она, как это следует из (16.14), является отношением двух полиномов и нечетной функцией со. Следовательно, один из полиномов должен иметь степень на еди­ ницу больше степени другого. Все это относится и к входной про­ водимости.

2. Одноэлементные и двухэлементные реактивные двухполюс­ ники. Раньше чем установить общие положения о частотных харак­

476