Первая скобка правой части согласно (16.46) — удвоенная сумма средних магнитных энергий, связанных со всеми индуктивностями контуров:
W„ с р |
= I [LXI\ + LJI + L i s I h - |
U 18]. |
(16.54) |
Вторая скобка |
согласно (16.47) — сумма |
средних |
электриче |
ских энергий, связанных со всеми емкостями системы, умноженная на 2со2, а именно:
w э сР — 2 ш 2 т^- /ï + -?=•- +~г— ! А - • Д (16.55) Поэтому после подстановки средних значений энергии из (16.54)
и(16.55) в равенство (16.53) получается основная формула (16.48).
3.Многоконтурная схема. Рассмотрим интересующий нас реак тивный двухполюсник, состоящий из п контуров, ко входу кото рого приложено напряжение U'. Так как в реактивном двухполюс нике все активные сопротивления равны нулю, то уравнения для контурных токов после деления на / примут такой вид:
(16.56)
Для того чтобы определить полную мощность системы, умножим
первое уравнение |
на /*, второе на / | и т. д. и сложим их: |
п |
п |
п |
п |
* = і |
і=і |
k=i |
i = i |
где k — номер строки характеристического определителя, / — номер столбца, причем знак «плюс» имеет место в тех членах двойных сумм, для которых k = /, если же k ф I, надо принимать во внима ние знак «минус». Так как полная мощность в комплексной форме
S = Üi? = P + jQ, то |
-jÜl^Q-jP. |
Из равенства (16.57) следует, что активная мощность Р равна нулю, как и должно быть для реактивного двухполюсника, и левая часть равенства — реактивная мощность Q. Первый член левой части ра-
венства (16.57) — средняя |
магнитная энергия системы, |
умножен |
ная на 2со, второй член — |
средняя электрическая энергия |
системы, |
умноженная на 2со, что доказывается совершенно аналогично тому, как были выведены равенства (16.54) и (16.55). Поэтому равенство' (16.57) совпадает с формулой (16.48).
4. Теорема Фостера. Установив основные энергетические соот
ношения, переходим к доказательству теоремы Фостера. |
|
Для этого |
продифференцируем |
|
все |
уравнения |
(16.56) |
по со. |
Так как напряжение U задано и не зависит от со, то после переноса |
всех членов, не содержащих производных от тока, |
в правую |
часть |
получается |
следующая |
|
система |
уравнений: |
|
|
coLi |
l |
|
dlx |
|
coL12 " coCV |
dl, |
|
|
|
|
(йСцІ |
dw |
|
da> |
|
/1 + |
|
|
coLl |
|
1 |
|
1 |
|
dr |
|
|
- |
L' i |
l |
i |
|
|
|
шСы |
J dû) |
|
|
|
n |
~ |
|
û ) 2 C r |
|
|
+ |
|
\ L l 2 + c o C 1 2 |
/ e + . . . + L 1 л _ Г |
с о 2 С 1 л |
|
|
|
|
|
1 |
\ |
|
dli |
, |
, |
, |
|
|
1 |
\ d/2 |
|
|
— ! coL21 ' û ) C 2 1 |
|
d û T + f ^ 2 2 |
|
Û)C22 |
/ dû) |
|
|
|
|
coL2 n |
- |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
- |
|
|
|
|
û ) C 2 n / |
dco |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
œ 2 C 2 1 |
|
|
|
|
L 22 " |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Û)2C, |
/2 |
+ ...+ |
|
L 2 |
n +CD2C2/t |
|
|
coL„i |
1 |
|
\d/i |
— |
i |
r |
• |
|
1 |
\d/ 2 |
|
|
|
|
|
- H |
( coL„2 |
o ) C „ 2 |
/ dw |
|
|
|
|
û)Cr a 1 |
/ dû) |
|
din |
|
|
|
- . . . + ( coL„„ |
- |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CÛ2C„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Л2 ' û)2 C„1 |
/2 +... |
|
|
|
c o 2 C „ |
|
|
Для производных оттоков по угловой частоте получилась система уравнений с такой же матрицей коэффициентов, как в системе (16.56), но в правой части для т - й строчки стоят выражения
- 2 |
-•ml ' со2 С;ml |
і - |
і |
где, как и ранее, знак «плюс» берется при m = I, знак «минус» — при m =£ I . Согласно § 11.7 найдем решение для ~ - :
|
|
Lml • со2 С1 |
|
dlj |
ml |
|
(16.58) |
|
d û 7 |
|
|
Но решениями |
|
уравнений (16.56) |
являются |
|
|
|
|
|
|
/ = — |
iff - l |
m |
|
поэтому, принимая |
во внимание, |
что А1т — Ат1, равенство (16.58) |
можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
ri |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2±{L^+-Àm7)h'" |
|
|
|
|
|
. _т = 1 / = 1 |
|
|
|
|
du> |
' |
|
(j |
|
|
|
Согласно тому, что было сказано |
при обсуждении |
равенства |
(16.57), |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 ± L |
^ e |
2 |
w r - c p . |
2 Ъ ± ^ к ; 1 * т І і = ш * ^ |
Так как двухполюсник реактивен, то по отношению к напряже |
нию |
все токи |
реактивны |
и І * т |
= — |
І т , Поэтому |
производная от |
тока |
в первом |
контуре |
|
|
|
|
|
|
|
|
dH_ |
2 ( Ц 7 м с р + Г э с р ) |
|
|
|
|
|
^ 7 = 7 |
V |
|
<16-59) |
С другой стороны, обозначив мнимую часть входного сопроти вления двухполюсника
X = J m { Z ( / c o ) } = ^ ,
получим
у і - i x -
Следовательно,
Так как
X—-~ — • мі ML fh ~ J ül* ~ Q
и согласно формуле (16.48)
2со ( W u e 9 - V t e v y
то после подстановки этого значения в равенство (16.60) получается
dk _ , 4 c û 4 U 7 M C p - H 7 3 C P ) 3 dX dco 1 t/з 'da'
Сравнивая это равенство с равенством (16.59), получаем окон чательно
|
dim {Z (/со)} _ dX _ |
U2 (WM c p + W3 cp) |
(16.61) |
|
dco dco |
2^(Wacp-W3cpr |
|
|
В правой части этого равенства все величины положительны. Следовательно,
J m j Z ( / c o ) } > Q - |
( 1 6 6 2 ) |
При построении частотной характеристики с увеличением угло вой частоты мнимая часть входного сопротивления Jm {Z} после нуля увеличивается, стремясь к бесконечности, т. е. после нуля следует полюс. При значении to, соответствующем полюсу, проис ходит скачок от + С О до —оо, далее Jm {Z} опять растет и доходит до нуля. Таким образом, нули и полюса чередуются. Теорема Фостера для входных сопротивлений доказана. Перейдем к вход ным проводимостям. Так как
т /л/ч |
|
Y |
1 |
|
1 |
j m ( y ) = T |
= |
_ = |
= |
_ 1 _ l |
то |
|
|
|
|
|
dim |
(Y) |
_ |
1 |
|
d Jm (Z) |
rfcù |
~ ' |
[Jm (Z)]2 |
' |
dco |
и согласно неравенству |
(16.62) |
|
0- Следовательно, и для |
частотной характеристики входной проводимости теорема Фостера доказана.
