Коэффициенты
7 _ ^ i |
y |
7--Ù* |
T |
'2 |
^ 2 1 — |
Л = 0 ' |
|
/і |
взаимные сопротивления при холостом ходе. Матрица коэффициентов
\Z,21 ^-22/
называется матрицей сопротивлений холостого хода или матрицей сопротивлений, а также матрицей Z.
Из сравнения систем уравнений (17.5) и (17.6) получаются за висимости между элементами матриц сопротивлений и проводимостей:
7 |
^22 |
7 |
^12 |
7 |
Уаі |
7 |
_ У ц |
/17 |
ft\ |
|
-—j y |
j ' |
1 2 — |
) y j |
' |
2 1 — I У I ' |
2 2 |
— j Y I ' |
\ |
' |
Согласно |
(17.3) |
для |
обратимого |
четырехполюсника |
|
|
|
|
|
|
|
Z 1 2 = Z2 1 . |
|
|
(17.9) |
3. Система параметров холостого хода и короткого замыкания.
Параметры Yn и Y22 легко измеряются, как входные проводимости двухполюсника, в который обращается четырехполюсник, если для определения Yn замкнуть накоротко выходные зажимы, а для опре деления У2 2 — входные зажимы. Точно так же измеряются пара метры Z n и Z 2 2 , но не при коротком замыкании, а при открытых зажимах. Систему параметров Zn, Z22, Yn, Y22 называют системой параметров холостого хода и короткого замыкания. Между ними согласно уравнениям (17.8) существует соотношение
^11 |
^22 |
|
|
22 2 |
Y и |
|
|
Кроме того, если принять во внимание равенство |
(17.3), то со |
гласно первому уравнению (17.8) |
|
|
|
|
7'2 |
^22 |
|
|
12 — "7 ' |
|
Из этого уравнения можно определить Y12 = Y21. |
Итак, доста |
точно измерить три из четырех параметров холостого хода и корот кого замыкания, чтобы иметь возможность определить все восемь параметров четырехполюсника. Для симметричного четырехпо
люсника уравнения не должны меняться при замене |
индекса «1» |
на индекс «2» и на обратно. Это возможно, если У 2 2 = |
У"п и соот |
ветственно Z u = Z2 2 . Поэтому симметричный обратимый четырех полюсник определяется лишь двумя параметрами. Полученные выше равенства оправдывают сделанный в начале параграфа выбор положительных направлений напряжений и токов. При других направлениях напряжений и токов такие простые равенства не могут
быть получены. Если, например, принять противоположное поло
жительное направление тока / 2 , то Z 1 2 |
= |
— Z 2 1 |
и для |
симметричного |
четырехполюсника Z 2 2 = |
— Z n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Обобщенная матрица. Очень часто для определения напря |
жения и тока на входе |
четырехполюсника при |
заданной |
нагрузке |
желательно иметь зависимость входных величин Ох |
и tx |
от выход |
ных напряжений |
Ù2 |
и тока / 2 . Согласно второму уравнению (17.2) |
|
|
|
|
^22 |
' |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'21 |
|
|
'21 |
|
|
|
|
Если подставить |
это |
выражение в |
первое |
уравнение. (17.2), то |
|
|
/ |
|
^и^22 — Y X i Y i X , - , |
|
. Yn |
} |
|
|
|
|
|
1 1 — |
Y |
|
U |
2 |
"Г Ѵ~ |
12- |
|
|
|
Уравнения |
|
|
|
Г |
21 |
|
|
|
'21 |
|
|
|
|
можно переписать |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
# і = |
^ці/а - |
Л 1 2 / 2 |
= |
Ахх02 |
|
+ |
АХ2 (- |
/ 2 ) , |
|
|
|
/ 1 = л 2 1 с 7 2 - л 2 2 / 2 = л 2 А + л 2 2 ( - / 2 ) . f |
( І 7 , 1 0 ) |
Здесь |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
Y22 |
|
д |
J _ |
|
л |
— |
IYI |
|
л |
__ |
Y11 |
ЛХХ— |
v~> |
п12— |
V |
> |
л 2 1 — |
|
V |
' |
л 2 2 |
|
\ ? • |
Выбор |
'21 |
«минус» |
'21 |
|
|
|
|
'21 |
|
|
|
'21 |
знака |
перед вторыми |
слагаемыми |
(17.10) будет |
объяснен далее. Заметим, что между этими коэффициентами для
обратимого |
четырехполюсника ( F 1 2 = |
У2 1 ) существует, |
как легко |
проверить, |
зависимость |
|
|
|
Л щ 4 2 2 - Л 1 2 Л 2 1 = 1 . |
(17.11) |
Матрица |
коэффициентов уравнения |
(17.10) |
|
называется обобщенной или каскадной матрицей, а также матри цей Л, а ее элементы — обобщенными или каскадными парамет рами четырехполюсника *.
Из уравнений (17.10) легко получить зависимости выходных напряжений и тока от напряжения и тока на входе. Решая эти
уравнения относительно |
Û2 |
и / 2 и принимая |
во внимание (17.11), |
получаем |
|
|
|
|
U2 = A22ÙX - Ajx |
= A22ÙX + Л 1 2 ( - Іх), ] |
|
h = A2XÜx-Axxix=A2XÜx |
+ Axx(-!x). |
j |
( 1 7 ' l d ) |
Для симметричного |
четырехполюсника не |
имеет |
значения, ка |
кие зажимы считать входными, а какие выходными. Поэтому коэф-
А, |
* |
Коэффициенты Ахъ |
А12, А2Х и А22 часто в литературе |
обозначаются |
В, |
С, D. |
Приведенные |
выше обозначения приняты для единообразия. Эти |
коэффициенты |
не надо путать с алгебраическими дополнениями, |
примененными |
в |
равенствах |
(17.1). |
|
|
фициенты уравнений (17.10) и (17.13) для симметричного четырех полюсника должны быть одинаковыми. Это возможно, если Л п —
— Л 2 2 . Для матрицы проводимостей это, как указывалось, соответ ствует равенству У и = Y22, для матрицы сопротивлений Z u = Z2 2 .
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
всякий |
линейный |
обра |
|
|
|
|
|
|
тимый |
четырехполюсник |
опреде |
|
|
|
|
|
|
ляется |
тремя |
параметрами. |
Если |
|
|
|
|
|
|
он симметричен, то лишь двумя. |
|
|
|
|
|
|
Для |
несимметричного |
четырехпо |
|
|
|
|
|
|
люсника |
такими |
параметрами яв |
|
|
|
|
|
|
ляются |
Yu, |
Y22 и Y12 |
= |
Уai |
или |
|
|
|
|
|
|
Z u |
, Z 2 2 и Z 1 2 = Z 2 1 или обобщенные |
|
|
|
|
|
|
параметры |
Ап, |
Л 1 2 , |
А21 |
и |
А22, |
|
|
|
|
|
|
связанные |
между |
собой равенством |
|
Рис. |
17.5 |
|
|
(17.11). Для |
симметричного |
четы |
|
|
|
рехполюсника |
достаточно двух па |
|
|
|
|
|
|
раметров: |
Yn |
= Y22 |
и |
Yl2 |
— Угі |
для |
матрицы |
проводимостей, |
Z n = Z 2 2 |
и Z 1 2 = |
Z 2 1 |
для |
матрицы |
сопротивлений и |
Ап |
= |
А22, |
Л и и Л 2 1 |
для обобщенной матрицы, причем согласно (17.11) должно |
существовать |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А]г-А12А21=1. |
|
|
|
|
|
|
(17.14) |
5. Соединения |
четырехполюсников. Вводя |
матрицы-столбцы |
|
|
|
|
|
|
# 1 |
(/) |
= |
|
|
|
|
|
(17.15) |
|
|
|
|
|
|
Ü, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (17.6) |
можно |
записать |
наиболее просто: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V) = |
(Z)(I). |
|
|
|
|
|
(17.16) |
Матрица сопротивлений очень удобна при рассмотрении после довательного соединения двух (или большего числа) четырехпо люсников (рис. 17.5), когда последовательно соединяются входные, а также выходные зажимы. Так как матрица токов (/) для этих четырехполюсников одинакова, а напряжения складываются, для эквивалентного четырехполюсника можно написать:
(l/) = '(l/') + (t/") = (Z')(/) + (Z") (/).
Таким образом,
(t/) = [(Z') + (Z")](/),
т. е. при последовательном соединении матрица сопротивлении эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц сопротив лений соединенных четырехполюсников. При параллельном сое динении четырехполюсников, т. е. когда входные, а также выход ные зажимы соединяются параллельно (рис. 17.6), целесообразно
применять матрицы проводимостей *. Уравнение (17.2) в матрич ных обозначениях, согласно (17.4) и (17.5), имеет вид
При параллельном соединении четырехполюсников напряжения на обоих одинаковы, а токи складываются. Таким образом, для эквивалентного четырехполюсника
(/) = (/') + |
(/") = |
( Г ) |
(U) + (Y") (U) |
или |
= [(Y') |
+ |
(Y")](U)- |
(I) |
При параллельном соединении матрица проводимостей эквива лентного четырехполюсника равна сумме матриц проводимостей
|
I |
-0 . |
il |
U А |
|
0- |
|
-0 |
\Ù'z |
0- |
|
0- |
U,
соединенных четырехполюсников. Существуют и другие соедине ния четырехполюсников. Так, если входные зажимы двух четырех полюсников соединяются параллельно, а выходные — последова тельно (рис. 17.7), то целесообразно применять уравнения
|
|
|
/ і = |
К і |
А + |
К і Л |
|
(17.18) |
|
|
|
U г = |
KziU |
i |
+ |
Кю' |
г, |
|
|
|
|
или в матричном |
обозначении |
|
|
|
|
|
|
|
|
О, |
К 21 |
К 2,2,1 |
\І2 |
|
и, |
следовательно, |
матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
= |
Kll |
|
^ 1 2 |
|
(17.19) |
|
|
|
Kol |
|
К 22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наоборот, |
если входные зажимы |
соединяются |
последовательно, |
а |
выходные |
зажимы — параллельно |
(рис. 17.8), |
то применяются |
* Сложение матриц сопротивлений при последовательном и матриц проводи мостей при параллельном соединении четырехполюсников возможно лишь тогда, когда соединения регулярны, т. е. когда после соединения для каждого из четы рехполюсников сохраняется условие равенства токов, притекающего к верхнему зажиму и вытекающего из нижнего зажима. Методы проверки регулярности соединений здесь не рассматриваются.
