Г л а в а с е м н а д ц а т а я ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
§ 17.1. Введение
1. Определение четырехполюсника. Для передачи электромагнит ной энергии, а также связанной с ней информации из одного места в другое с помощью электрических систем или от одной части си стемы к другой применяются самые разнообразные устройства, имеющие два входных (первичных) зажима, через которые энер гия поступает в систему, и два выходных (вторичных), через кото рые она передается далее. Поэтому все эти устройства называются четырехполюсниками (рис. 17.1) и изображаются в виде прямо угольника с двумя парами зажимов — входными (первичными) и выходными (вторичными).
Четырёхполюсник — наиболее общее обозначение самых раз нообразных простых и сложных схем, служащих для передачи энергии на расстояние, для преобразования спектра передаваемых
|
|
|
|
|
|
|
|
частот, |
усиления или |
|
ослабления |
тех |
|
|
или иных колебаний и т. п. |
|
|
|
Четырёхполюсниками |
являются |
|
|
фильтр, |
трансформатор, |
усилитель, |
кас |
|
|
кад радиопередатчика |
или радиоприём |
р |
и с JJ ; |
ника, длинная |
линия |
и т. д. Часто |
при- |
меняющимися |
четырёхполюсниками |
яв |
|
|
ляются |
фильтры — устройства, пропускающие |
без |
существенного |
ослабления колебания определенной полосы частот и значительно ослабляющие все остальные колебания. Типичным примером весьма сложного четырехполюсника является телефонная линия дальней связи, включающая ряд трансляционных (усилительных) пунктов, если в качестве входных рассматривать зажимы микрофона одного
абонента, а в |
качестве выходных — зажимы телефона другого. |
Этот сложный четырёхполюсник можно разбить на ряд |
более |
про |
стых: отрезок |
кабеля, воздушная линия, усилитель и |
т. д. |
Выяс |
нение общих свойств четырехполюсников является важной задачей и может быть использовано для анализа большого числа устройства связи.
2. Классификация четырехполюсников. Вследствие большой общности понятия «четырехполюсник» необходимо провести клас сификацию. Прежде всего четырехполюсники бывают активные и
пассивные. В активном четырехполюснике есть источники энергии, в пассивном'— источника энергии нет. Примерами активных четырех полюсников являются усилители, каскады радиопередатчика, ра диоприемника и др.; примерами пассивных—кабельная или воздушная линия связи, фильтр и др.
Далее четырёхполюсники делятся на линейные и нелинейные. Линейный четырехполюсник отличается тем, что напряжение и ток на его выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырёхполюсников являются линия связи, фильтр, примерами нелинейного — транс форматор со стальным сердечником, выпрямитель, детектор или преобразователь частоты в радиоприёмнике. Усилитель хотя и содержит нелинейные элементы, может считаться линейным (точнее квазилинейным) активным четырёхполюсником, если его работа происходит на линейной части характеристик транзисторов или электронных ламп, входящих в схему, так как в этом случае вы ходное напряжение усилителя линейно зависит от его входного
Рис. 17.2
напряжения. Трансформатор со стальным сердечником, если его работа происходит без насыщения стали, также часто может счи таться линейным четырехполюсником.
Четырёхполюсники могут быть симметричными и несимметрич ными. Симметричные четырехполюсники отличаются тем, что за мена вторичных зажимов на первичные и первичных на вторичные не меняет свойств четырехполюсника, т. е. четырехполюсник имеет одни и те же свойства, независимо от того, передается ли энергия справа налево или слева направо. Часто симметричность четырёх полюсника определяется структурной симметрией. На рис. 17.2 показаны весьма распространенные простые четырехполюсники: Т-образный и П-образный. Они, вообще говоря, — несимметричны,
но, если сопротивление Z 3 сделать |
равным |
сопротивлению |
Zx |
и |
соответственно |
сопротивление Zm |
равным |
Z\, то эти четырёхпо |
люсники станут |
симметричными. |
|
уравновешенные |
|
не |
Наконец, четырёхполюсники делятся на |
и |
уравновешенные. |
Если симметричность и несимметричность четырех |
полюсников определяется, как правило, симметрией относительно поперечной (вертикальной) оси AB (рис. 17.3), то уравновешенность зависит от симметрии относительно продольной (горизонтальной) оси CD. Так, Т- и П-образные четырёхполюсники на рис. 17.2 —
неуравновешенные, на рис. 17.3 изображены такие же, но уравно вешенные четырехполюсники. Практически важность этого разли чия определяется тем, что неуравновешенные четырёхполюсники имеют различные паразитные ёмкости верхних и нижних зажимов относительно земли, что часто нарушает правильную работу че тырёхполюсника (например, при подключении к нему воздушной линии) и может привести к тому, что ток, входящий в верхний за жим, не равен току, выходящему из нижнего зажима. Наоборот, у уравновешенного четырёхполюсника можно заземлить средние точки, как это сделано на рис. 17.3, и тогда верхние и нижние за жимы оказываются симметричными относительно земли (имеют равные и противоположные друг другу потенциалы). Часто нет необходимости в такой симметрии. Тогда применяются более про стые неуравновешенные четырёхполюсники, причем, если это воз можно, нижние зажимы заземляются.
В дальнейшем будут рассматриваться только линейные пассив ные четырехполюсники.
Рис. 17.3
3. Положительные направления напряжений и токов. При рас смотрении четырёхполюсников важно, как и для всех схем, зара нее условиться о положительном направлении напряжений и токов. Будем считать напряжения на входных и выходных зажимах по ложительными, если потенциал верхнего зажима выше потенциала нижнего зажима. На рис. 17.1 стрелками показаны положительные направления напряжений Ux и (У2 и токов Іг и / 2 . Очень важно, что ток, притекающий к верхнему зажиму, должен равняться току, вытекающему из нижнего зажима. Положительные направления на- • пряжений и токов выбраны так, чтобы по закону Ома положительное
напряжение |
Ux создавало положительный ток Іи |
а |
положительное |
напряжение |
U2 — положительный ток / 2 . |
Надо |
подчеркнуть, |
что |
этот выбор |
наиболее |
удобен, но совершенно |
не обязателен. Можно |
было бы, например, |
положительные направления |
U2 или / 2 |
или |
того и другого взять противоположными, как это иногда и делается. Целесообразность принятого здесь выбора будет видна из даль нейшего.
§ 17.2. Уравнения передачи и параметры четырехполюсников
1. Уравнения передачи. Матрица проводимостей. При рассмо трении четырехполюсников следует найти уравнения, которые свя зывают четыре величины: напряжение и ток на входе, а также на пряжение и ток на выходе. Как и для двухполюсников, предпочти тельно иметь дело не с мгновенными значениями, а с изображе ниями по Лапласу напряжений и токов или с их комплексными дей ствующими значениями (или комплексными амплитудами). В тео рии четырехполюсников чаще приходится иметь дело с комплекс ными амплитудами или комплексными действующими значениями. В этой главе будут написаны уравнения для действующих значе
ний, для комплексных амплитуд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft |
|
г |
~ — |
|
|
I h |
|
они остаются такими |
же. Если бы |
« |
= |
Г Г |
~ |
Л |
|
|
понадобились |
соотношения |
меж- |
Ф |
|
7^ |
П |
П (Т |
ІСТ) |
Д У изображениями |
напряжений |
и |
t |
jj |
U |
U \ £ _ |
I Y |
|
токов, |
то |
в |
коэффициентах |
надо |
|
|
|
— - |
|
1 |
лишь заменить /со на р. Уравнения, |
|
|
|
|
— ' |
|
дающие |
зависимость |
между |
на |
|
|
|
Рис. |
17.4 |
|
|
|
пряжениями |
и токами Ûlt |
h, |
Û2 |
|
|
|
|
|
|
и / 2 , |
называются |
уравнениями |
пе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
редачи |
(основными |
уравнениями |
четырехполюсника). |
Проще |
|
всего получить |
зависимости токов |
/ х |
и / 2 о т |
напряжений |
Ох |
и 02- |
Так же, как и в гл. X V I , введем огра |
ничение; допустим, что четырехполюсник является многоконтур ной схемой, состоящей из сосредоточенных элементов. Таким об разом, отказываемся от рассмотрения систем с распределенными па раметрами. В конце этой главы ограничение будет снято.
Если пассивный четырехполюсник является многоконтурной схемой, то всегда можно считать, что в первый контур входит иде альный источник напряжения Üx, соединенный с входными зажи мами, а во второй контур — идеальный источник напряжения [72 , соединенный с выходными зажимами (рис. 17.4). Для определения
токов Іх |
и / 2 |
можно написать |
равенства (см. § 11.7): |
|
|
|
li |
|
(17.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lt- |
|
|
где А — характеристический |
(главный) определитель системы урав- |
нений, |
Aki = |
(—\)ШАМ |
— алгебраическое |
дополнение. Обозна- |
чив |
1« |
|
|
|
|
Y и • А |
|
|
|
|
F i |
^ 1 2 |
Y 24 — |
|
A ' |
окончательно |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.2) |
12 = ^ 2 1 ^ 1 "~Ь Y22^2-
508
Заметим, что если для схемы действительна теорема обрати мости (или взаимности) и определитель А симметричен, то
Ya=Ya. (17.3)
Четырехполюсник в 'этом случае называется обратимым. Все пассивные четырехполюсники, которые рассматриваются в этой главе, обратимы. Легко видеть, что коэффициент Yn — входная проводимость четырехполюсника, если выходные зажимы замкнуты накоротко (Ù2 = 0); Y22 — входная проводимость четырехполюс ника со стороны выхода, если входные зажимы замкнуты накоротко
Фі = 0):
|
|
У, |
и2 |
Uі = 0 |
Коэффициенты |
|
и 2=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о |
|
У12 = |
|
|
|
к |
|
Ut |
= 0 |
У2 1 = - ^ - |
и, = о |
&2 |
|
Ùi |
взаимные проводимости |
короткого |
замыкания. |
Поэтому матрица * |
коэффициентов |
|
|
|
|
11 |
У, |
|
(17.4) |
|
|
(У) = |
22, |
|
|
|
|
|
|
называется матрицей проводимостей короткого замыкания или матрицей проводимостей, а также матрицей Y.
2. Матрица сопротивлений. Уравнения (17.2) дают зависимость токов от напряжений. Из них можно получить зависимости напря жений от токов. Для этого необходимо решить эти уравнения от носительно напряжений:
|
|
|
Vi- |
^ 2 2 T |
i Уі |
h, |
|
|
|
|
|
•M |
|
Y |
(17.5) |
|
|
|
и2 = --Y,Y -h- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y\ |
|
|
где |
|
|
Y\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 1 1 ^ 22 — |
|
^12^21 |
|
|
определитель |
матрицы проводимостей. |
- |
|
|
Уравнения |
(17.5) |
можно |
написать так: |
|
|
|
|
|
Û\ — ^ціі |
-f- |
Z i 2 |
/ 2 , |
(17.6) |
|
|
|
U2 = Z2XIi -f- |
Z22I2. |
|
|
|
|
|
Легко видеть, |
что коэффициент |
|
Z n |
— входное |
сопротивление |
четырехполюсника |
при открытых |
выходных зажимах (холостой |
ход), когда / 2 |
•= 0, |
коэффициент |
Z 2 2 |
— входное сопротивление |
со |
стороны выхода при открытых |
входных зажимах, |
когда / х = |
0: |
|
7 |
|
_ил |
|
Z 2 2 — 4 |
|
|
|
|
|
|
=о |
|
|
* Основные положения о матрицах изложены в приложении II к этой главе.