Выражение для Ф (17.96) можно представить следующим обра
зом: |
|
z, |
z |
|
Ф = |
|
eec + |
|
VXK+Z |
|
m- |
|
|
|
|
V Z c Z c , |
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
Ф = |
Z2 ZC l |
-\- ZCjZc. + ZiZ2 -f- ZxZCi ) -f- |
2 2 2 y Z c Z C ! |
|
|
|
|
+ (Z2 ZC , - |
ZCl ZC2 - |
Z^Z, + ZxZCt) |
|
е - |
Окончательно |
|
|
|
|
e S c ( Z 1 + Z C , ) ( Z 2 + ^ )
( Z i + Z c ) ( Z 2 + Z C s )
Введем в это выражение коэффициенты отражения на входе и выходе четырехполюсника согласно (17.68) и (17.69). Тогда
Ф
2Z*VZcZc,
Согласно (17.97)
Принимая |
во внимание, что gc |
- Ос + /Ь |
с , окончательно |
полу- |
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
«p = |
ac + In |
Z ! + Z c |
+ |
In |
+ lnj l-plP2e-2go\. |
(17.98) |
|
Равенство (17.98) является общей формулой для рабочего за |
тухания. Если четырехполюсник |
полностью |
согласован |
(Z2 |
= Zc 2 , |
Zx = Z c l ), то три члена правой части равенства (17.98) равны |
нулю, |
и рабочее затухание равно собственному |
(характеристическому) |
затуханию четырехполюсника. Второй член |
правой части обязан |
своим |
существованием |
|
рассогласованности |
на входе, |
третий — |
тому, что нет согласования на выходе, и четвертый появляется |
лишь |
тогда, |
когда |
не согласованы и вход* и выход, т. е. когда |
оба коэф |
фициента отражения не равны нулю. Надо отметить, что послед ний член правой части (17.98) обычно мал и практически им часто можно пренебречь. Итак, для пассивного четырехполюсника ра бочее затухание, как правило, больше собственного затухания вследствие рассогласования на входе и выходе. Но иногда рабочее затухание в определенной полосе частот может быть меньше собственного. Это происходит благодаря резонансным явлениям.
Пусть, |
например, |
Zc2 = |
rc2 + jXc2, |
Z2 |
= r2 |
4- jX2. |
Третий |
член |
правой |
части равенства |
(17.98) равен |
|
|
|
|
|
|
|
гС + Г2 + П Х с , + Х2) |
|
|
|
При |
резонансе, |
когда |
Хс,~\-Х2 |
= 0, |
или |
около |
резонанса |
ве |
личина под знаком логарифма может быть меньше единицы, и тогда
третий член отрицателен. |
|
|
|
|
Вместо рабочего затухания, которое согласно |
(17.91) зависит |
от |
соотношения |
полных |
мощностей, |
можно было |
бы применить |
для |
расчетов действующее |
затухание, |
которое определяется отно |
шением активных |
мощностей |
|
|
но этот рабочий параметр не применяется, так как он, во-первых,
не |
дает никаких сведений о фазовых соотношениях, а во-вторых, |
не |
может являться основой |
для |
синтеза четырехполюсников. |
|
6. Вносимое затухание. |
Вместо рабочего затухания нередко |
применяется другой рабочий |
параметр — вносимое затухание. |
В этом случае полная мощность, поступающая в нагрузку, сравни вается с той полной мощностью, которую генератор отдавал бы в на
грузку при их прямом соединении |
(без четырехполюсника). Таким |
образом, вносимое затухание |
|
|
|
|
|
1 |
= — In |
s |
^ |
(17.99) |
•*вн |
2 |
|
> |
где |
uszt |
|
|
'12 : |
|
(17.100) |
Очевидно, что вносимое затухание можно связать с рабочим, формула для которого (17.98) известна. Действительно,
2 Ш S12
Но согласно (17.92) и (17.100)
2 1 П SU |
Zi + Z?. |
1 2 VZXZ2 |
Поэтому вносимое затухание определяется так:
т. е. из рабочего - затухания исключается затухание, вызванное несогласованностью генератора с нагрузкой.
По аналогии с предыдущим можно говорить о вносимой постоян ной передачи:
_І_ £ |
1 j n |
Щ?А |
= In VtVi + Zt) |
(17.102) |
|
|
|
равной логарифму отношения комплексных действующих значений
токов в нагрузке при включенном четырехполюснике |
и при прямом |
|
|
соединении |
генератора с нагруз |
|
|
кой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Затухание эхо. Рассмотрим |
|
|
реактивный |
|
четырехполюсник, |
|
|
включенный, |
как |
это |
часто бы |
|
|
вает, |
между |
двумя |
активными |
|
|
сопротивлениями |
(рис. 17.24). |
|
Рис. 17.24 |
Генератор |
создает |
напряжение |
тивным сопротивлением гх. |
U0 и обладает внутренним |
ак |
Нагрузкой |
является |
|
активное |
сопротив |
ление г2. Коэффициентом |
отражения |
на входе |
четырехполюсника |
можно |
считать величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р=¥^Т> |
|
|
|
|
(17.103) |
|
где ZB X |
— входное сопротивление четырехполюсника. |
Напомним, |
что оно равно первому характеристическому |
|
сопротивлению |
Z c l |
только тогда, когда г2 = |
Zc2. |
|
|
|
|
|
|
|
Последним рассматриваемым рабочим параметром является |
затухание эхо или затухание несогласованности: |
|
|
|
|
|
In т - ! — = In |
Z - г Г |
|
|
|
( 1 7 Л 0 4 > |
|
|
I P I |
^вх |
M I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем связь между затуханием эхо и рабочим затуханием ре активного четырехполюсника. Так как активная мощность, отда ваемая генератором в четырехполюсник, в нем не расходуется, а целиком отдается в нагрузку, то
|
Щ ( Z „ + * B * x ) |
(17.105) |
|
2 C I + Z B X ) ( ' i + 2 S x ) |
|
|
В этом равенстве, как обычно, звездочка указывает на комплексно
сопряженную величину, |
UI |
Z B |
-f- z* |
" |
= І\, а "х |
в х — |
V I " 1 |
''вх/ У Г Г ^вх) |
|
<• |
активная составляющая входного сопротивления. Согласно (17.92) рабочее затухание для этого случая
1 , ир.г
р2 4Uirt
После подстановки в эту формулу значения і!\ из (17.105)
1 |
, „ С і + ^ С - і + ^ х ) |
- |
2 MZ BX + ZB*X) |
; 17.106) |
ЙР = 2 |
In |
*1 (ZBX + ZB*X) |
|
CI + ZBX) K |
+ Z* x ) |
Но |
|
|
|
|
2 MZ BX + ZB*X) |
2 MZ BX + ZB*X) |
|
|
|
|
|
|
C-I+Z BX) i'l+zu)
(Z BX-/"l) ( Z B W I )
(ZBX + ''1 )(^X + ' ' I ) *
Согласно (17.106)
|
A x - ' - i ) ( Z ^ - r , ) |
p |
|
(X.x + 'i) |
C ^ x + 'i) |
|
|
или
Согласно (17.104)
^ВХ +'f = e
Поэтому
Это равенство показывает связь между затуханием эхо (затуха нием несогласованности) и рабочим затуханием. Затухание эхо широко применяется при практическом расчете фильтров.
П Р И Л О Ж Е Н И Е I I
О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я Т Е О Р И И М А Т Р И Ц
1. Определение матрицы. Матрицей называется таблица коэффи циентов (чисел, алгебраических величин, функций, операторов и т. п.), которые могут быть не связаны друг с другом, но расположены в определенном порядке в виде строк и столбцов. Матрица
иноком .. . аХп
|
amiam4ßm3 |
• • • О, |
|
|
•тп |
называется прямоугольной |
матрицей |
порядка m х п, так как у нее m |
строк и п столбцов. Если |
m — п, матрица называется квадратной |
порядка п. Коэффициенты akl — элементы матрицы, причем первый индекс показывает номер строки, второй — номер столбца. Частными
случаями |
прямоугольной |
матрицы |
являются |
матрица-строка, |
состоящая |
из |
одной |
строки |
(т = 1), |
и матрица-столбец (п — 1), |
состоящая |
из |
одного |
столбца. |
|
|
В квадратной матрице диагональ, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему аи, а2 2 , о3 3 , апп, Называется главной диагональю. Если элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу, т. е. если аиі — atk, то матрица назы вается симметричной. Например, матрица
