Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

симметрична. Если симметричные относительно главной диагонали элементы отличаются друг от друга знаком (ûft/ — — alk),a элементы главной диагонали равны нулю, то матрица называется антисим­ метричной. Такова, например, матрица

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матри­ цей. Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали

вой и обозначается (0). Приведем в качестве примеров диагональную, скалярную, единичную и нулевую матрицы третьего порядка:

Для всякой квадратной матрицы можно рассчитать по извест­ ным правилам определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется особенной, если он не равен нулю — неосо­ бенной.

2. Действия над матрицами. Две матрицы называются равными, если у них один и тот же порядок и если все соответствующие их

умножение элементов которого на m ведет за собой умножение определителя на тп, где п — порядок определителя.

Наиболее важным для дальнейшего является умножение двух матриц. Это действие возможно только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Пусть первая матрица

(А) имеет порядок m х п, вторая матрица (В) — порядок n X р. Умножение возможно, и произведение (С) = (А)(В) является мат­ рицей порядка m X р. Каждый элемент сік матрицы (С) получается путем почленного перемножения элементов і-й строки матрицы (А) на элементы А-го столбца матрицы (В) и суммирования всех произ­ ведений:

546

Умножение матриц, как правило, не переместителыю, т. е.

(А)(В)Ф(В)(А).

Пусть, например, дана зависимость между у н х в виде уравне­

а также зависимость между Z и у в виде уравнений с матрицей коэффициентов (В):

Zj = &иУі -\- ö1 2 t/2 ,

Видно, что матрица коэффициентов последних четырех уравне­ ний является произведением матриц (В)(А). Следует заметить, что умножение (А) на (В) невозможно, так как число столбцов (А) равно трем, а число строк (В) — четырем. Приведенные выше урав­ нения можно написать проще, вводя матрицы-столбцы

Далее заметим, что вследствие некоммутативности умножения матриц необходимо строго придерживаться порядка перемножения. Например,

{(А) + (В)] [(А) - (В)] = (Л)2 - (А)(В) + (В)(А) - (Bf.

547

3. Транспонированная, присоединенная и обратная матрицы. Особое действие, которое можно применять в матричном исчисле­ нии, — транспонирование матрицы. Транспонировать матрицу — значит заменить у нее строки столбцами, а столбцы строками. Для матрицы (Л) транспонированная матрица обозначается (А)'. Напри­ мер,

Транспонирование симметричной квадратной матрицы оставляет ее неизменной.

Если в неособенной квадратной матрице заменить все элементы их алгебраическими дополнениями и транспонировать ее, то полу­

Найдем произведение матрицы (А) на ее присоединенную мат­ рицу: (С) = (A)(Ä). Каждый элемент этого произведения

і, и поэтому равна величине определителя А. Если же і ф k, то сумма также является разложением определителя, который отли­

зывается скалярной матрицей. Все элементы ее главной диагонали равны А, все остальные равны нулю:

(С) = (Л)(Л) = ( и а ••• и ] = Д|

Итак,

(Л) (Л) = А(1).

548

Матрицы (Л) и д (Л) дают в произведении единичную матрицу. Матрица

(ЛГ=4(Л)

называется матрицей, обратной матрице (А). Ясно, что ( Л ) ( Л Г = ( Л Г (Л) = (1).

П Р И Л О Ж Е Н И Е I I I М А Т Р И Ц А Р А С С Е Я Н И Я

I . Нормировка напряжений и токов. Возможность введения коэф­ фициентов отражения показывает, что имеется аналогия при рас­ смотрении четырехполюсников с сосредоточенными и распределен­ ными параметрами (длинных линий). На входе четырехполюсника роль волнового сопротивления линии играет внутреннее сопротив­ ление генератора Z,, а роль нагрузки — входное сопротивление четырехполюсника ZB X . В дальнейшем будем считать, что внутрен­ нее сопротивление генератора активно (rL — Zj) и что коэффициент отражения определяется равенством (17.103). Можно считать, что на входе четырехполюсника имеется падающая и отраженная волны, причем

где знак «плюс» обозначает падающую, знак «минус» — отраженную волну. Поэтому

Коэффициент отражения равен отношению напряжений отражен­ ной и падающей волн:

ri

в соответствии с (17.103). Из (17.110) следует, что при отражении играет роль лишь отношение входного сопротивления к внутреннему сопротивлению генератора. Поэтому для упрощения следует ввести нормированное сопротивление:

где знак «Д» указывает на нормировку. Тогда коэффициент отра­ жения

549

После нормировки сопротивления естественно произвести также нормировку напряжений и токов, чтобы сопротивление согласно (17.111) было безразмерным:

логичные равенствам (17.114). Сопротивлением, относительно кото­ рого надо производить нормировку, является сопротивление на­

Интересными являются соотношения между отраженными и пада­ ющими «волнами». Такая трактовка процессов в многополюсниках (и, в частности, в четырехполюсниках) особенно важна при рас­ смотрении сверхвысокочастотных цепей (дециметровых и санти­ метровых волн). При этих частотах трудно пользоваться понятиями «напряжение» и «ток». Зато термины «падающая волна», «отраженная волна», а также «мощность» имеют вполне определенный смысл.

Вэтих случаях вполне целесообразна удобная нормировка на­

Явления в многополюсниках здесь не рассматриваются. Рас­ смотрим, как и раньше, четырехполюсники.

550