Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

u = Um sin

at,

то

Ct/2

CU-

-cos2to/).

(3.11)

ws = ^^sm2(ùt

= -~-(ï

в форме

и = U m sin со/, ток через

емкость

i = Imsm

(ûtf+g - j .

Тогда

мгновенная мощность

поступающая в емкость за период,

равна

нулю.

§ 3.5. Последовательное

соединение г, L и С

при синусоидальном

токе

рим цепь,

содержащую

активное сопротивление, индуктивность

и емкость в

последовательном

соединении.

На основании второго уравнения Кирхгофа для цепи, содержа­

щей г, L и С в последовательном соединении

(рис. 3.16),

можно за­

писать

и =

I

*

I

I т di

,

1

^ idt,

(3.12)

« а + " £ +

« С =

ІГ + L -dj

+

-Q

где

іг

мгновенное

значение

напряжения

на

активном

j

di

сопротивлении;

мгновенное значение напряжения на индуктив­

ности;

uc-

idt

- мгновенное

значение

напряжения

на емкости;

Второе уравнение Кирхгофа в виде уравнения (3.12) справед­

ливо при токе

любой формы

и, в частности, при синусоидальном

~

токе. В этом случае напряжения на актив-

?

J

ном

сопротивлении,

индуктивности и ем-

I

г

^->£у>

Il

кости, как было показано, также будут

^

1

Iff

синусоидальными

функциями

времени. А

Рис.

3.16

так как алгебраическая сумма синусои­

дальных функций одинаковой частоты есть

синусоидальная

функция той

же частоты (см. § 3. 2), следует за­

ключить, что синусоидальный

ток в линейной цепи, содержащей г,

L а С, может быть в том случае,

если к цепи приложено синусои­

дальное

напряжение.

і

=

Полагая

ток

в

цепи

=

I m sin со/,

найдем

амплитуду

Um

и

начальную

фазу ср прило­

женного

к

цепи

напряжения

и = Um

sin (со/ +

ф). Для

этого

можно построить синусоиду тока

в цепи

и синусоиды

напряжения

на

отдельных

приемниках.

На рис. 3.17 построены сину­

Рис. 3.17

соида тока в рассматриваемой це­

пи і =

I

m

sin со/, синусоида

напряжения

на

активном

сопротивле­

нии иа

=

іг = Imr

sin со/, синусоида напряжения на индуктивности

uL

= L ~

= I m coL sin fco/ - f у

и синусоида напряжения на емкости

uc = -£ jj idt = lm

~

sin (^со/ — ~

времени

равны алгебраической сумме ординат и а +

Ui +

«с.

будет кривой приложенного

напряжения.

Так как напряжение на индуктивности опережает

ток

по

фазе

на 774,

а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 774,

на­

пряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты

между собой

на полпериода и находятся

в противофазе. Суммарное

напряжение

называется

реактивным

напряжением

и обозначается

ир\

«р =

Ui - f «с =

sin (u>t +

Ц-)

+

I m ~ -

sin fco/

2

2/

1

'mcoC

=

/mcoL sin ^

+

-

/ m

~c - sin fco/ + I

или

Ир = Ли [«>L -

~j

Sill ^

+ у )

= An* Sin foj/ +

jj •

Таким

образом,

/ m x

есть

амплитуда

реактивного

напряжения,

а

X

=

CÖL —

; — реактивное

сопротивление

цепи,

содержащей

L

и

С

в

последовательном

соеди­

нении.

На рис. 3.18 построены кривые

ч^— 1

тока

/,

активного

«а ,

реактивного

и р

и

приложенного

ко

всей

цепи

напряжений

и =

иа

+

ир .

t

Задачу

определения

Um

и

<р

проще

решить

графическим

путем

и

с

помощью

векторной

диаграммы.

Для

получения

мгновенного

Рис. 3.18

значения

приложенного

к

цепи

одной из

синусоидальных

функций времени — тока,

напряжения

или э. д. с. — можно выбрать произволь­

hm

но. При этом начальные

фазы остальных

синусоидальных

функций

будут

опреде­

ляться фазовым

сдвигом

этих функций

— , — о т н о с и т е л ь н о

первой.

Уравнение

тока

а

написано с начальной фазой тока, рав-

D

'

t]3^—

~т*~

ной нулю,

поэтому вектор

тока

Іт

от-

uam

m

кладываем

в направлении

горизонталь­

ной оси. Напомним, что

мгновенное

зна­

J. ,

чение синусоидальных функций времени

условились определять как проекции вра-

Ст

р

и с ß ig

щающихся векторов на ось ординат.

Уже указывалось,

что

при

построе­

нии векторных

диаграмм

отсчет углов в

щения

часовой

стрелки.

Вектор

Uam

=

Imr,

изображающий

напряжение

на

активном

сопротивлении, должен совпадать по направлению с

вектором

тока.

Вектор

Uim

=

ImxL,

изображающий

на-

ц

пряжение

на индуктивности, строим

из

начала

координат (точки 0) вертикально вверх, так как

напряжение

на

индуктивности

опережает ток по

фазе на я/2. Вектор, равный напряжению на

емкости

Uст. =

ІщХс,

строим

также

из

начала

координат,

но

вертикально вниз. Он отстает от ц

Уст

вектора тока

на

я/2,

так

как

на этот угол на-

цат

|

j

пряжение

на

емкости

отстает

по фазе

от

тока

v

через емкость. Таким образом,

вектор Uim

и век­

тор

U cm оказались сдвинутыми

между собой

на

угол

в

180°. Уже

отмечалось,

что

напряжения

на

индуктивности

и на емкости при

последова-

^

тельном

их

включении

находятся

в противо-

С т

фазе.

Рис- 3.20

Вектор суммарного напряжения на индук­

тивности

и емкости может быть найден

как

геометрическая

сумма

векторов:

Upm —

Uim-r-Ucm-

При построении диаграммы амплитуда напряжения на индук­

тивности ÖLm выбрана большей, чем амплитуда напряжения

на

емкости Ucm- Это соответствует тому, что в исследуемой цепи xL

>

>

XQ.

С Л О Ж И В

геометрически вектор

U&m

с

вектором

і!рт,

получим

ния. Получившийся прямоугольный

треугольник

с катетами Uam

и Upm получил название треугольника

напряжений.

Для исключе­

этом каждая

точка

диаграммы

отображает оп­

ределенную

точку

схемы.

Рассматривая снова

треугольник

напряжений,

находим

амплитуду

напряжения, приложенного ко всей цепи:

Здесь

t/am — амплитуда

активной

составляю­

щей напряжения,

или

активного напряжения;

Upm — амплитуда

реактивной составляющей напряжения, или реак­

тивного

напряжения.

Подставляя в последнее равенство значения Uam и Upm,

получим

Um =

V

Ulm + {Ul.m-UcmY

= V ( / m r ) a + (IMXL

- 1mXCf

=

=

Im

У''2

+

{Xl -

XcY = ІтУ~Г* +

X * ,

где X =

XL

— Xc — реактивное

сопротивление

цепи.

Полное сопротивление цепи, определяемое как UmIIm

или Uli,

обозначается

буквой

г:

'm

1

tg<P = 7 =

Slliq> = --,

COSq> = -- .

(3.14)

Из этих формул очевидно, что угол сдвига

между

напряжением

на зажимах последовательной

цепи и током в этой

цепи

зависит