Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 238

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вектора U на направление, перпендикулярное вектору /, — напря­ жению на индуктивности Up. Перейдем от треугольника напряжений к треугольнику сопротивлений. Параметры двухполюсника могут быть определены по следующим формулам:

 

z — •иI _'

JJ,

U cos ср

z cos ср,

 

 

I

7

 

 

(3.21)

 

 

и,

U sin

ф

 

 

 

 

 

= zsincp

или x — y z 2 — г2

 

 

 

x = —Ij- =

—j—

 

 

 

Предположив теперь, что двухполюсник состоит из параллель­

ного соединения г и х ь спроектируем вектор тока на вектор

напря­

жения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекция вектора тока на вектор напряжения в масштабе токов

будет представлять собой ток в ветви

с активной проводимостью / а ,

а

проекция

вектора

/ в том же масштабе на направление,

перпен­

дикулярное вектору

U, — ток в ветви с реактивной проводимостью

/ р

(рис. 3.30). Перейдем от треугольника токов к треугольнику прово-

димостей. Параметры двухполюсников могут быть определены по формулам:

1

 

I cos ф

 

У = и~

и

ѵ г = У COS у,

(3.22)

 

 

I sin ф

 

1?

 

 

г/ sin ф или b — Y У2 — g2

 

 

и

 

 

Таким образом, в зависимости от характера дальнейших расче­ тов можно считать двухполюсник последовательным или параллель­

ным соединением. Заданное после-

^

довательное соединение допустимо

 

заменить

эквивалентным

парал­

 

лельным соединением

и

наоборот.

 

Эквивалентными

двухполюсниками

 

называются

такие,

у

которых при

 

одинаковых

напряжениях

и часто­

 

тах

общие

токи также

одинако­

 

вы

и

по величине

и по

фазовому

 

сдвигу

относительно

напряжения.

 

Следовательно, для

расчета двух­

 

полюсника

характер

соединения

 

его элементов не играет роли. Дол­

Рис. з.зо

жны быть известны его параметры

 

г и X или g

и Ь. Сопротивления z, г, х

и проводимости у, g, b одного

и того же двухполюсника или двух эквивалентных двухполюсников должны быть связаны между собой. Формулы, связывающие сопро­

тивления

z, г,

X последовательного соединения с проводимостями

у,

g, b эквивалентного параллельного соединения называются пере­

ходными

формулами.

4

п/р. Кляцкина

97

Переходные формулы легко получить, сравнив между собой соот­ ношения (3.21) и (3.22) для последовательного и параллельного со­ единения.

Таким образом, переходными формулами называют следующие равенства:

1

-

я

1

.iß '

r

= ¥>

< 3 " 2 4 >

Из переходных формул ясно, что реактивное сопротивление двух­ полюсника и реактивная проводимость двухполюсника — величины

 

одного и того же

знака,

что в об­

 

щем случае активное сопротивление

 

двухполюсника и его активная про­

 

водимость не являются обратными

 

величинами. То же следует сказать

 

о реактивном сопротивлении и реак­

 

тивной проводимости.

 

 

Последовательное и параллель­

 

ное соединения,

эквивалентные

Р и с - 3 3 1

при одной частоте

питания, не эк­

 

вивалентны при

другой

частоте.

Если ветвь содержит г и х в последовательном соединении, то при увеличении х от 0 до оо проводимости g, b ну этой ветви, как следует из переходных формул, будут изменяться согласно кривым рис. 3.31. Аналогичные кривые можно построить для зависимостей z, г и х от g или Ь.

§ 3.9. Дуальные цепи

Назовем шесть уравнений, связывающих мгновенные значения напряжений и токов для трех элементов электрических цепей г, Lu С, исходными уравнениями. Запишем эти уравнения в левый столбец табл. 3.1. В правый столбец табл. 3.1 перепишем эти же уравнения,

предварительно заменив в них и на і, і на и,

г m g, g на г, L на С,

С на L. Полученные уравнения называются

дуальными.

Новые уравнения оказались совпадающими с исходными, но записанными в другом порядке.

Это свойство соотношений названо двойственностью или дуаль­ ностью, а величины, взаимнозаменяемые в этих уравнениях, назы­ ваются дуальными. Таким образом, напряжение и и ток і — дуаль­ ные физические понятия. Дуальными пассивными элементами элект­ рических цепей являются пары г, и g, L и С.

Напишем уравнения Кирхгофа для электрической цепи, состоя­ щей из одного контура (рис. 3.32, а):

98

Рис. 3.32

 

Т а б л и ц а 3.1

И с х о д н ы е у р а в н е н и я

Д у а л ь н ы е у р а в н е н и я

и ІГ, i = ug,

.

di

 

 

и =

1Ж'

l ~ L

dt •

u = - i - ^ idt,

i = -^- ^

 

i =

ug,

u =

ir

r

da

 

 

l ~ L

~dï-

 

 

Заменим в этом уравнении все величины и элементы дуальными, считая также дуальными э. д. с. е генератора напряжения и задаю­ щий ток і0 генератора тока. Получим уравнение, подобное исход­ ному:

du

иё + СЖ + -j- ^ udt = /0

Это уравнение оказалось первым уравнением Кирхгофа для цепи, изображенной на рис. 3.32, б. Схемы рис. 3.32, а и 3.32, б не экви­ валентны, и элементы одной из схем численно не связаны с элементами того же рода дру­ гой схемы. Эти схемы дуаль­ ны. Обобщая определение дуальных цепей для цепей большей сложности, чем рас­ смотренные, будем считать дуальными цепями такие, у которых уравнения баланса напряжений для независимых контуров одной цепи при за­ мене всех величин и элемен­ тов этой цепи дуальными пре­ образуются в уравнения ба­ ланса токов для независимых узлов другой цепи. В свою

очередь уравнения баланса/токов для независимых узлов исходной цепи при тех же заменах преобразуются в уравнения баланса на­ пряжений для независимых контуров дуальной цепи. Исходной це­ пью можно считать любую из двух дуальных цепей. Из подобия

4*

99

уравнений Кирхгофа для дуальных цепей вытекает подобие урав­ нений контурных токов для исходных цепей и узловых напряжений для дуальных цепей.

Сравнивая обе дуальные схемы и продолжая обобщения резуль­ татов сравнения, устанавливаем, что генератор напряжения и гене­ ратор тока являются дуальными активными элементами электриче­ ских цепей. На рис. 3.32 генераторы очерчены пунктирными лини­ ями. Последовательному соединению элементов в исходной цепи соответствует параллельное соединение дуальных элементов в дуаль­ ной цепи. Контуры и узлы дуальных цепей следует считать дуальными топологическими элементами, так как при построении дуальных

 

схем независимые контуры

 

исходной

цепи

преобра­

 

зуются в независимые

узлы

г'

дуальных

цепей.

Поэтому

 

общее число узлов в дуаль­

 

ной цепи на единицу

боль­

 

ше числа независимых

кон­

 

туров исходной цепи. Число

 

элементов,

составляющих

 

каждую из дуальных цепей,

 

одинаково.

 

уравнений

 

Из подобия

 

для токов в исходной цепи

 

и уравнений для

напряже­

 

ний в дуальной следует по­

Рис. 3.33

добие любых зависимостей

и характеристик

для токов

 

в одной и

напряжений в

другой из дуальных цепей. Это подобие справедливо при любых фор­ мах напряжений и токов питания в переходных и установившихся режимах работы дуальных цепей.

Очевидно,- что использование свойств дуальности позволит вдвое сократить общее число исследований линейных электрических цепей. Например, исследование цепи, питаемой источником синусо­ идального напряжения, содержащей g и С в параллельном соедине­ нии, можно заменить исследованием цепи, с г и L, соединенными последовательно и питаемыми генератором тока. Векторные и вре­ менные диаграммы обеих цепей будут подобны, если обозначения векторов и кривых заменить на дуальные. Эти замены ясны из срав­ нения векторных диаграмм, построенных для исходной и дуальной цепей (рис. 3.33, а, б). Частотные характеристики токов в исходной цепи и напряжений в дуальной должны быть также подобны. Инте­ ресно отметить, что емкостный характер нагрузки исходной цепи превращается в индуктивный характер нагрузки дуальной.

Построение цепи, дуальной по отношению к заданной сложной цепи, поясним с помощью примера. В качестве исходной задана цепь рис. 3.34, а; требуется построить дуальную цепь. Схема задан-

1UÜ

Смотрите также файлы