Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

ных токах и ничего принципиально нового не содержит. Этот рас­ чет при решении задачи приходится повторять столько раз, сколько членов ряда оказалось целесообразным сохранить для получения необходимой точности решения.

Третья часть является задачей гармонического синтеза в том случае, когда должна быть выяснена форма кривой тока или на­ пряжения на приемнике. К этой части задачи также относятся оп­ ределения действующих значений токов и напряжений в ветвях цепи и мощностей, расходуемых в этих ветвях.

2. Ряд Фурье. Напомним некоторые из свойств и определений,

ских ряда вовсе не обязательно. При разных формах несинусои­ дальной кривой в разложении могут отсутствовать те или иные высшие гармоники. Амплитуды гармоник зависят от формы кривой и может оказаться, что амплитуды нескольких высших гармониче­ ских окажутся большими, чем амплитуды гармоник меньших час­ тот. При расчете электрических цепей приходится ограничивать число слагаемых гармонического ряда. Степень укорочения ряда определяется скоростью убывания амцлитуд гармонических со­ ставляющих с частотой гармоник и требуемой точностью расчета.

Начальные фазы отдельных гармонических составляющих за­ висят от выбора начала координат при разложении кривой в ряд Фурье и от формы кривой. При переносе начала отсчета периоди­ ческой кривой на -f-А-ф так, чтобы новая начальная фаза первой гар­

то при смещении начала отсчета в сторону положительных значе­

204

Выражения в круглых скобках представляют собой новые на­ чальные фазы гармонических составляющих.

На рис. 8.1, а изображена периодическая кривая сложной формы, а на рис. 8.1,6 — три первые гармонические составляющие этой кривой. На отрезке, рав-

ров предназначены для анализа кривых реального напряжения между двумя зажимами. Гармонические анализаторы другого типа предназначены для определения амплитуд гармонических составляю­ щих по осциллограмме или рисунку кривой. Несмотря на большое совершенство таких приборов, инженеру надо уметь судить об ос­ новных составляющих кривой по форме напряжения или тока без помощи анализаторов.

§ 8.2. Анализ периодических кривых

Прежде чем перейти к анализу периодических несинусоидаль­ ных кривых, напомним, что ряд Фурье можно представить в форме,

Благодаря этому делению каждая из гармонических составляю­ щих, обладающая начальной фазой разложена на две гармоники

205

a Oftcos kat — через максимум. Постоянную составляющую за­ пишем в виде Л 0 = у . Теперь ряд Фурье перепишем так:

+ ^

2

Коэффициенты ряда (8.2) ak и öf t связаны с амплитудами и на­ чальными фазами гармонических составляющих ряда (8.1) следую­ щими очевидными соотношениями:

аА = ЛА sinя|>ь bk = Akcostyk, Ak = Va% + b*k, tgгрй = | j .

Таким образом, для разложения в ряд Фурье периодической кривой необходимо определить ak и Ьк или Ак и г|ѵ

1. Кривая, не содержащая постоянной составляющей. Постоян­ ная составляющая периодической несинусоидальной функции вре­ мени представляет собой среднее арифметическое из всех мгновен­ ных значений кривой, взятое за период:

т2

2

Геометрически этот интеграл равен площади, ограниченной кри­ вой / (t) и осью абсцисс. Следовательно, если площадь кривой в пре­ делах целого периода равна нулю, кривая не содержит постоянной составляющей. Иными словами, если площади кривой за положи­ тельный и отрицательный промежутки периода равны между собой, постоянная составляющая равна нулю.

На рис. 8.2 изображена кривая, не содержащая постоянной со­ ставляющей. Анализ кривой, содержащей постоянную составляю-

206

щую, удобно производить, исключив ее из разложения. Для этого достаточно поднять или опустить ось времени на величину А0 так, чтобы площади полуволн оказались одинаковыми.

2. Кривая, симметричная относительно оси абсцисс. На рис. 8.3 изображена периодическая несинусоидальная кривая, симметрич-

т

ная относительно оси абсцисс, или зеркальная кривая. Симметрич­ ной, или зеркальной, кривая называется потому, что отрицатель­ ная полуволна этой кривой является зеркальным отображением положительной полуволны, если любую из полуволн сместить вдоль оси времени на полпериода. Математическим условием сим­ метрии кривой относительно оси абсцисс является равенство

ІѴ) = -

Любое значение ординаты положительной полуволны равно по абсолютному значению ординате отрицательной полуволны, если между обеими ординатами сдвиг по времени равен половине пе­ риода.

Напишем суммы слагаемых ряда для моментов времени t и

т

Если к аргументам косинуса или синуса прибавить я нечетное число раз, знаки этих функций изменятся на обратные. Если же к аргументам этих функций прибавить величину я четное число раз,

207

знаки функций не изменятся. Поэтому, если сложить обе суммы, в правой части равенства взаимно уничтожатся все слагаемые с не­ четными значениями k:

Но так как, согласно условию зеркальной кривой, левая часть равенства равна нулю при всех значениях t, сумма всех четных ко­ синусов и синусов равна нулю при всех значениях t. Это возможно

даваемая генератором, отлична от синусоиды, однако конструк­

3. Кривая, симметричная относительно начала координат (от­ счета), и кривая, симметричная относительно оси ординат. Условие

Кривые рис. 8.4 и 8.5 являются симметричными относительно начала координат. Для этих кривых такая симметрия остается и при

208