ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 286
Скачиваний: 1
переносе начала координат в точку |
tn. |
Напишем разложение для |
/ (0 и / ( - *): |
|
|
со |
со |
|
f(t) = ^ Û£ cos/гсо/ -f |
2 |
/3Ä sin Ш, |
0 0 |
CO |
|
Сложив левые и правые части этих равенств, получим
/ ( О + / ( — 0 = 2 ^ûftcosfecû/.
/г=1
Так как левая часть равенства согласно условию симметрии равна нулю при любом значении /, равно нулю и каждое слагаемое правой части. Откуда
аі = 0, а3 = 0, а3 = 0, ... , ак = 0.
Разложение будет содержать только синусоидальные функции.
Это означает, что Л й |
= |
Ьк и ipft |
= 0. Все гармонические составляю |
щие такой кривой |
проходят |
через нуль в момент начала отсчета |
|
времени (см. рис. 8.4 |
и 8.5). |
|
|
Условие симметрии |
кривой относительно оси ординат: |
||
/(О = / ( - * ) .
Согласно этому условию, если из ряда, написанного для / (/), вычесть ряд, написанный для f (—t), то разность окажется равной нулю:
со со оо
2 |
b/(Sin£co/— 2 |
bu sin (— kat) = 2 ^ |
bksin |
kmt = 0. |
k=\ |
k=\ |
k=\ |
|
|
Откуда |
следует, что |
Ьу = 0, Ъ% = 0, |
bft = |
0, Ak = ak и |
= я/2. Все гармонические составляющие такой кривой в момент начала отсчета времени проходят через свои амплитудные значения.
Таким образом, кривая будет содержать только косинусы. Кривая 8.5 симметрична относительно оси ординат, если начало координат перенести в точку tx.
В заключение проведенного анализа особенностей форм кривых подчеркнем следующее: выбором или переносом начала отсчета нельзя изменить состава кривой. Нельзя, не изменяя формы кри вой, исключить из разложения постоянную составляющую или хотя бы одну из гармоник. Но при переносе начала отсчета кривая мо жет оказаться симметричной относительно начала координат или относительно оси ординат.
209
В этих случаях упростится задача разложения. При этом ампли
туды гармонических составляющих |
будут равны в первом случае |
|||||||
fit) |
|
г |
коэффициентам |
bk |
и во вто |
|||
|
ром |
ак. |
|
|
|
|
||
|
|
рис. |
8.6 |
изображена |
||||
|
|
На |
||||||
|
ѵ > / ~ л |
периодическая |
трапецеидаль |
|||||
|
ная кривая. Кривая содержит |
|||||||
|
|
|
постоянную |
|
составляющую, |
|||
|
|
|
равную в данном случае поло |
|||||
|
Рис. 8.6 |
|
вине высоты |
трапеции. Пере |
||||
|
|
несем ось времени на величи |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
ну |
постоянной |
составляющей |
|||
вверх. Кривая приобретет вид, изображенный на |
рис. 8.7. Кри |
|||||||
вая |
оказалась зеркальной. Четных |
гармонических |
составляющих |
|||||
она |
не содержит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если за начало отсчета принять точку tQ, |
кривая окажется сим |
||||||
метричной относительно начала координат и из разложения исчез нут косинусы. Если За начало
разложения принять точку tx, |
Ht) |
|
||
кривая окажется симметрич |
M |
|
||
ной относительно оси ординат |
|
|||
и из |
разложения исчезнут си |
|
|
|
нусы. Если же за начало от |
|
|
||
счета |
выбрать |
произвольную |
|
|
точку, например t2, разложе |
Рис. 8.7 |
|
||
ние будет содержать и коси |
|
|
||
нусы, и синусы. Во всех трех |
рассмотренных случаях выбора |
на |
||
чала |
отсчета |
(да и в любом другом) амплитуды гармонических |
со |
|
ставляющих будут одинаковы: ряд не будет содержать четных гармонических составляющих. Разница будет заключаться в том, что при выборе за начало отсчета tx
при t0
при 4
Ak = Va% + H
В табл. 8.1 приведены тригонометрические ряды некоторых периодических функций. Как ясно из графиков таблицы /, 2, 3 и 5 функции не содержат постоянных составляющих, так как площади их положительных и отрицательных полупериодов одинаковы. Ряды этих функций не содержат четных гармонических, так как функции зеркальны. При выбранных началах разложения первые четыре функции содержат только синусы. В четвертой функции это становится ясным после исключения постоянной составляющей из графика функции. Кривые 5, 6 и 7 оказались симметричными от-
210
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
8.1 |
|
Ye. |
|
|
|
|
|
Р я д Ф у р ь е |
периодической |
П р и м е ч а н и я |
||||||
п/п |
График |
функции |
f |
(О |
ф у н к ц и и |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
4Е |
V |
sin |
k(ùnt |
|
k=l, |
3, |
5 .. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 л |
||||||
|
|
|
|
I |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
M ) |
II 1 |
^ |
é = l , |
3, |
5 . |
||
|
|
|
|
|
|
/(o4f 2 |
|
|
|
2.1t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ir ^7\ |
г |
|
4E |
V i |
sin &ш0т sin é(û0< |
£ = 1 , |
3, |
5. |
|||
|
г |
-*f- о |
|
|
f (0 = ШпТЯ 2 |
|
|
|
|
|
2 л |
|||
|
\ '/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/ |
|
/ |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
k=\, |
2, |
3, |
|
|
|
|
|
2 |
, sin |
k(ù0t |
4, |
5 ... |
|||||
|
0 |
|
t |
|
|
|
2л |
|||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = I , |
3, |
5. |
|
ET ET / (0 = — ^ y s m |
" T ~ c o s |
0 |
|
2 я |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
AE |
|
|
X |
|
Ä = l , 2, |
3, |
||
|
|
|
|
|
|
fit)- |
|
|
+ 2 |
|
4,5 ... |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
4 = 1 |
|
|
2л |
||
|
|
|
i |
|
(— |
l ) f |
c + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ^ - Î T i C o s 2 t o o ' |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
E |
/(0 = £ |
|
|
|
|
|
k=\, |
2, |
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
5 ... |
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 я |
||
|
|
|
T |
|
|
X sm - — - cos ka>ut |
|
ш 0 |
= |
Y |
||||
211
носительно оси ординат, и поэтому ряды этих функций содержат только косинусы.
4. Амплитудно-модулированная кривая. Передача низкочастот ных колебаний в системах радиосвязи и дальней связи по проводам осуществляется, как указывалось во введении, с помощью управ ляемых высокочастотных колебаний.
Управление колебаниями заключается в том, что амплитуда, частота или фаза высокочастотных колебаний принудительно из меняются с передаваемой низкой частотой. Подобное управление высокочастотными колебаниями низкой частотой называется моду ляцией. В зависимости от того, какая из величин подвергается из менениям, модуляция называется соответственно амплитудной, час-
5)
Ht)
t О
|
|
|
|
|
|
Рис. |
8.8 |
|
|
|
тотной |
или |
фазовой. |
Напряжение |
высокочастотных |
колебаний |
|||||
и = |
Um |
sin at |
в случае амплитудной |
модуляции с низкой частотой |
||||||
Q приобретает |
вид |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
u = Um(l-\-m |
cos |
Qt) sin at. |
|
|
|
В |
этом |
выражении |
коэффициент |
m называется |
коэффициентом |
|||||
(глубиной) |
модуляции. |
При m = 0 |
нет передачи |
информации. |
||||||
При m = |
1 модуляция стопроцентная. Высокая частота |
называется |
||||||||
несущей. Низкая частота управления Q называется модулирующей. |
||||||||||
На рис. 8.8, |
а, б и в изображена синусоида высокочастотных ко |
|||||||||
лебаний, модулированных низкой частотой. Глубина модуляции соответственно m = 0, m = 0,5 и m == Î.
В общем случае модулированные колебания не являются перио дическими. Периодическими они становятся только в том случае, когда отношение a/Q — рациональная величина. Поэтому пред ставление модулированных колебаний в форме ряда Фурье обычно
212
