ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 290
Скачиваний: 1
лентным емкостным.Поэтому участок цепи рис.8.12 может быть в ре жиме резонанса токов для &-й гармоники и в режиме резонанса напряжений на частоте р-й гармоники. Следовательно, эта цепь может обладать очень большим сопротивлением для k-й гармоники и очень малым для р-й.
§ 8.5. Действующие значения несинусоидальных напряжений и токов
При расчетах и измерениях в электрических цепях, питаемых периодическими напряжениями и токами любой формы, в качестве количественных характеристик напряжений и токов используются их действующие значения. Эти характеристики удобны тем, что до пускают количественные сравнения различных режимов работы цепей при синусоидальных и несинусоидальных напряжениях. Кроме того, они удобны потому, что вольтметры и амперметры пе ременного тока технических частот в соответствии с принципом их работы измеряют действующие значения этих величин. При изме рениях на высоких частотах наряду с ламповыми вольтметрами, непосредственно измеряющими действующие значения, исполь зуются ламповые вольтметры, измеряющие средние или амплитуд ные значения напряжений. Однако и эти вольтметры обычно от- , градуированы на действующие значения. Точность измерений с по мощью ламповых вольтметров последнего типа при несинусоидаль ных напряжениях зависит от степени близости измеряемых кривых к синусоиде.
При расчетах энергетического характера, когда они не требуют высокой точности, кривые, не очень отличающиеся от синусоид, заменяют эквивалентными синусоидами. Эквивалентными называ ются синусоиды, действующие значения которых равны действую щим значениям соответствующих несинусоидальных кривых. Сле дует напомнить также, что под активными сопротивлениями двух полюсников понимается отношение мощностей, расходуемых в этих двухполюсниках, к квадратам действующих значений токов в них:
г = Р / / 2 .
Таким образом, знание действующих значений несинусоидаль ных функций времени является необходимым при анализе цепей, питаемых несинусоидальными напряжениями и токами.
Согласно определению действующим значением любой периоди ческой функции называется среднее квадратичное из всех ее мгно венных значений за период:
В соответствии с этим выражением определим действующее зна чение несинусоидального напряжения.
218
Допустим, что заданное несинусоидальное напряжение разло жено в ряд Фурье:
и = Uо + Ulm sin (со/ + %) + t72 m sin (2со/ - f я|з2) + + t73 m sin (Зсо/+ %) + ... .
Полученный ряд следует возвести в квадрат и подставить в вы ражение действующего значения. Сумма под знаком интеграла в выражении действующего значения, или, что то же самое, сумма интегралов, будет содержать интегралы четырех типов.
Напишем эти интегралы и найдем их значения:
т
1) |
I J |
щш=иі, |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
2) |
1 |
J l / J U s i n « ( ^ + |
fc)Ä |
= ^ |
. ^ ' - c |
o s 2 ( f W |
dt= |
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
"Г |
г |
|
|
|
|
|
|
X \dt— |
\ cos 2 (£©/ + % ) Ä |
= U% |
|
||
|
|
-0 |
0 |
|
|
|
k-й гар |
(где U% — квадрат действующего |
значения |
напряжения |
|||||
моники), |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
у |
^ U0Ukmsm{ka,t+^k)dt |
= Q, |
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2 |
с |
|
|
|
|
|
4)оJ UkmUpmsin(k(dt
при кфр
Т
+ yk)sm(pait + %)dt =
т
Г
jj cos [(Ä - , p) Со/ + % - fy,] —
Т
jjcos [(k + р) со/ + у„ + %]dt = 0.
О
Следовательно, действующее значение несинусоидального на
пряжения |
|
U = VUl + Ul + U\ + .... |
(8.8) |
Аналогично, действующее значение несинусоидального тока
/ = !/•/! + /! + /? + . . . . |
(8.9) |
§ 8.6. Средняя мощность несинусоидального переменного тока
1. Мгновенная мощность переменного тока равна произведению мгновенных значений напряжения и тока независимо от форм обеих кривых:
р = иі.
219
Предположим, что периодические напряжения и ток несинусои дальны, и представим каждое из них в виде ряда: .
u = U0+Ulm |
sin (со/ + 4>і) + |
Um |
s i n (2со/ + |
+ |
|
+ |
t/ 3 m sin (Зсо/ + |
^з) + |
. . . , |
|
|
І = / 0 + hm Sin (СО/ + |
% — фі) + |
hm Sin (2со/ +l)>2 - |
ф2) + |
||
+ 1Ш |
sin |
(Зсо/ + г|53 -фз) + . . . . |
|
||
Средняя мощность или среднее значение мгновенной мощности за период изобразится в виде суммы интегралов четырех различ ных типов:
Т Т оо Т
Р = Y |
jj uidt |
= Y § U0I0dt |
+ 2 |
Y |
\ UohmSin [Ш + % - |
фй ) d/ + |
||
|
5 |
|
о |
4 = i |
о |
|
|
|
|
со |
оо |
T |
|
|
|
|
|
+ |
2 |
2 |
Г Ü Ukms™(k®t-\-%) |
|
I p m sin (pat+ |
\!pp-wp)dt |
+ |
|
|
При ÄTtp |
|
|
|
|
|
||
|
|
со |
T |
|
|
|
|
|
|
+ |
^ |
У § L/Ä m Sin |
(^Cö/ + |
T})Ä) / f t m S i n (^СО/ + |
% - ф / е ) |
u?/. |
|
|
|
4 = 1 |
О |
|
|
|
|
|
В этом выражении первый и четвертый интегралы не равны нулю,
а второй и третий равны |
нулю (см. § 3.2). Следовательно, |
||
оо |
|
Т |
5 [ ^ ^ С 0 8 ф А - ^ | ^ X |
P = t 7 0 / 0 |
+ 2 |
||
4 = |
1 О |
2tyk — 2фй ) d/. |
|
X cos |
(2&со/ + |
||
Так как интеграл второго слагаемого в прямоугольных скобках в последнем выражении равен нулю, выражение мощности приоб ретает вид
P = U0I0+ Ulli cos ф! + І72 /2 cos ф 2 + . . . . |
(8.10) |
Заметим, что средняя (активная) мощность несинусоидального тока оказалась равной арифметической сумме мощностей каждой из составляющих разложения в отдельности. Произошло это вслед ствие ортогональности * гармонических составляющих различных частот напряжения и тока в пределах периода.
Выражению активной мощности, поглощаемой любой из ветвей электрической цепи, можно придать и другой вид, заменяя для каж дой гармоники со8фА = ^- и Uk = Ikzk:
P = /§r + / î r + / J r + . . . .
* sin |
k(ùt, |
sin |
p<ùt |
ортогональны в промежутке 0 — Т, так как |
г |
|
|
|
|
lj sin Ш |
sin pwt |
dt = |
0 при |
k ф р. |
о • |
|
|
|
|
220
Если считать активное сопротивление ветви г одинаковым для всех составляющих ряда, то выражение активной мощности полу чит вид
Р = І2г, |
(8.11) |
где / — действующее значение несинусоидального тока. |
|
Мощность, поглощаемая приемником при |
несинусоидальном |
токе в том случае, когда кривые напряжения и тока заменены эк вивалентными синусоидами, определяется по формуле активной мощности:
Р= UI cos ср.
С помощью этой формулы можно найти фазовый угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока:
_ |
U1l1 cos фх + Цг1г cos ф2 + Ц3Із |
cos ф3 |
LUS Ц)э— |
; jj-j |
. |
Следует заметить, что определение фазового сдвига между экви валентными синусоидами, как и введение эквивалентных синусоид, может иметь смысл в том случае, если обе кривые не содержат по стоянных составляющих.
§ 8.7. Коэффициенты, характеризующие неси нусоидальные периодические функции
В различного рода расчетах электрических цепей при несинусои дальных токах, для оценки кривых с точки зрения их формы и в частности для оценки влияния элементов цепей на формы кривых
вводится ряд |
коэффициентов. |
|
|
В теории |
электрических цепей и в радиотехнике часто исполь |
||
зуются коэффициент формы кривой &ф и коэффициент |
нелинейных |
||
искажений, или коэффициент гармоник, kT. |
|
||
Коэффициентом |
формы кривой называется отношение действую |
||
щего значения тока |
или напряжения к его среднему |
значению: |
|
|
|
кф = і-, £ф = # ~ . |
(8.12) |
Под средним значением переменного тока понимается среднее арифметическое значение из всех мгновенных значений переменного тока за положительный полупериод. Например, среднее значение синусоидального переменного напряжения:
L |
L |
|
2 |
2 |
T |
с/Ср = у § udt = Y |
$ Umsinatdt = -~^\coswt\J |
= ^Um. (8.13) |
о6
Вэтом случае коэффициент формы кривой напряжения
кф |
= — |
=^=: |
- |
Um = -^= = 1,11. |
ф |
(Ус р |
У 2 |
л |
2 / 2 |
|
|
|
|
221
