величине и противоположна по знаку мгновенному значению вы нужденной составляющей. В момент начала отсчета времени она как бы компенсирует вынужденный ток, «заставляя» ток переход ного режима начать свои изменения с нуля в соответствии с законом коммутации для цепи с нулевыми начальными значениями.
На рис. 10.6 изображены кривые приложенного напряжения, вынужденная и свободная составляющие тока и переходный ток.
Рис. 10.6
Из рисунка видно, что с течением времени по мере затухания сво бодной составляющей ток переходного режима стремится к своему предельному значению — току установившегося режима.
Если |
включение цепи произошло в тот момент, когда гр = ср, |
иначе говоря, когда вынужденная составляющая тока должна |
проходить через нуль, то, как следует из (10.9), свободная состав |
ляющая |
отсутствует. Ток переходного режима сразу принимает |
значение |
установившегося синусоидального тока, начиная свои |
изменения с нуля. В этом случае |
ток |
і — Іт |
sin со/. |
Это частный случай «удачного» включения. Наоборот, «неудач ное» включение имеет место, когда начальная фаза равна ір = ср ± у .
При этом вынужденная составляющая тока в момент включения должна иметь свое максимальное значение, и, следовательно, на чальное значение свободной составляющей будет также наиболь шим, равным =р / т , а длягр = ср + у переходный ток
і = I т cos со/ — / т е х .
Если постоянная времени цепи велика и, следовательно, сво бодная составляющая затухает медленно, то в первые полпериода процесса ток переходного режима может достигнуть значения почти удвоенной амплитуды установившегося тока.
Определим значение напряжения иа индуктивности
uL=L~t= |
aLIm |
cos (at + гр — ср) — LIm ^ — ^ sin (гр — ф) е Г ' = |
= |
с 7 і т 8 І п ^ |
+ г р - ф + £) + { / £ m J l s i n ( i | > - c p ) e Т . (10.10) |
Из (10.10) следует, что начальное значение свободной состав ляющей ui с в (0) может превосходить UL т и вызвать на индуктив ности перенапряжение.
в. Н а п р я ж е н и е и с т о ч н и к а л и н е й н о в о з р а с т а е т . При воздействии на цепь линейно-возрастающего напря жения и = kt ток в цепи не приобретает установившегося значения даже через бесконечно большое время, только напряжение на ин дуктивности окажется постоянным.
Уравнение Кирхгофа для цепи, содержащей г и L в последова тельном соединении,
kt.
Свободная составляющая тока не зависит от формы напряжения источника. Для последовательного контура, содержащего г и L , она определяется выражением
Частное решение уравнения будем искать в форме линейной зависимости
iB — m + nt.
Подставив это выражение в уравнение Кирхгофа, получим mr - f art 4- /iL = kt,
k |
и /« = |
Ln |
= _ |
kL |
, |
|
откуда n = T |
_ _ |
_ |
|
|
|
r |
|
r 2 |
' |
|
|
|
. |
_ |
kL |
kt |
И
Так как при t = 0 ток i = 0,
A = kLr 2 *
Следовательно,
(10.11)
2. Цепь er и L при коротком замыкании. В цепи рис. 10.7, рабо тающей в установившемся режиме от источника постоянного или переменного напряжения, замыкается ключ К. К моменту замыкания ключа (t = 0) в магнитном поле индук
тивности запасена энергия
w |
_LP(0) |
|
|
|
|
w (t-o) |
g — * |
|
|
|
|
В контуре с г и L образовавшемся |
puc_ |
|
после замыкания |
ключа К, |
возникнет |
JQ7 |
переходный процесс. В короткозамкну- |
|
|
той цепи он является свободным и протекает за счет |
внутренних |
запасов энергии магнитного |
поля. Вынуждающей причины нет, и |
нет вынужденного |
тока. Это пример |
режима цепи, в котором сво |
бодная составляющая тока |
является |
не |
формальной |
математиче- |
Рис. 10.8
ской величиной, обусловленной методом решения дифференциаль ного уравнения, а действительным, наблюдаемым переходным то ком.
• Уравнение Кирхгофа для короткозамкнутого контура будет
однородным: |
|
|
Так как іъ = |
0, то |
|
|
_ L |
|
|
і — ісп = AQ Т . |
условий: і (0) = А, |
Постоянная А определяется из начальных |
а переходный ток |
|
|
t_ |
|
|
* = г'(0)е |
(10.12) |
Напряжение |
на индуктивности |
|
|
— L |
|
|
uL = L=T = — ri(0)e |
(10.13) |
На рис. 10.8 изображен ток I и напряжение uL в предположе нии, что за положительные направления напряжения на индуктив ности и тока в контуре принято одно и то же направление.
§ 10.3. Переходные процессы в цепях, содержащих г » С
Расчеты переходных процессов в цепях, содержащих сопротив ления и емкости, удобнее вести, если выбрать в качестве основной переменной напряжение на емкости. В разветвленных цепях, содержащих несколько емкостей, таким напряжением может быть выбрано напряжение на любой из емкостей.
1. Разряд емкости на сопротивление. Емкость предварительно заряжена до напряжения U0 и обладает запасом энергии W = — j 2 - . Ключом К она переключается к сопротивлению г (рис. 10.9). Рас-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- с з - |
|
сматриваемая |
задача отно- |
Г |
|
сится |
к |
задачам |
с ненуле- |
|
, . |
Ф и0 |
|
выми начальными |
условия- |
|
уисШ~"о |
м и _ в |
ц е |
п и |
возникает пере |
|
|
|
ходный |
процесс, |
емкость |
|
рис |
jgg |
разряжается. |
Процесс бу- |
|
дет протекать |
до тех пор, |
|
|
|
пока |
вся энергия |
электри |
ческого поля не |
преобразуется в тепловую, |
и емкость полностью |
не разрядится. |
За положительные |
направления |
тока |
и напря |
жения на емкости, как и прежде, выбраны одинаковые направле ния.
Тогда |
. |
duc ^ dq |
|
|
l - L n r ^ d t - |
При этом ток положителен, когда заряды на обкладках конден сатора увеличиваются по абсолютной величине. Уравнение Кирх гофа для контура
Так как в цепи нет источника электрической энергии, то нет и вынужденного напряжения
»с = « с с в .
Свободная составляющая в данном примере является не вспо могательной, расчетной, а реальной величиной — переходным напряжением. Решение (10.14) ищем в виде
|
Из характеристического уравнения Сгрх + 1 = 0 найдем рѵ — |
= |
Тс и П 0 С Т 0 Я Н Н У Ю времени т = гС. |
Произвольная постоянная А определяется из начальных усло вий на основании формулы (10.3). При t = 0
ис (0) = U0 = A.
Запишем в окончательной форме напряжение на емкости:
|
uc = Uue |
7 ё = с / 0 е _ т _ . |
(10.15) |
|
Ток в цепи |
|
|
|
duc |
|
(10.16) |
|
•C~dT |
= |
|
|
Знак минус в выражении (10.16) означает, что ток разряда через конденсатор протекает в сторону, противоположную выбранному положительному направлению тока в контуре.
Графики изменения напряжения на емкости и тока приведены на рис. 10.10.
Uc,i
Uo
гL
|
|
1 |
N |
•=! |
- |
|
о |
t |
гх |
и |
|
|
|
Рис. |
10.10 |
|
Рис. 10.11 |
В |
момент коммутации ток скачкообразно изменяется от нуля до |
величины |
у - . Изменение напряжения на емкости и тока в переход |
ном |
режиме происходит |
по экспоненциальному закону. |
С увеличением г и С постоянная времени возрастает, и процесс протекает медленнее.
Вся энергия емкости расходуется на тепло:
2. Включение цепи с г и С. Электрическая цепь с последова тельно соединенными г я С при нулевых начальных условиях замы
канием ключа К подключается |
к источнику с напряжением и |
(рис. 10.11). Емкость заряжается. |
Процесс будет протекать до тех |
пор, пока напряжение на емкости «с не станет равным установив шемуся значению.
Положительные направления тока и напряжения на емкости выбраны одинаковыми.
