Рассматривая рис. 10.16, иллюстрирующий апериодический разряд конденсатора, можно сделать ряд выводов об энергетиче ском балансе цепи в переходном режиме. Следует обратить внима ние на то, что рс = Uci < 0, т. е. мгновенная мощность р с всегда отрицательна и, следовательно, емкость в течение всего переходного процесса отдает свою энергию. Энергия емкости непрерывно расхо дуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении цепи, но, кроме того, в интервале времени от 0 до tlt когда pL = ud > 0, емкость расходует энергию и на создание магнитного поля, т. е. часть энергии, запасенной в электрическом поле емкости, переходит в энергию магнитного поля индуктивности. От момента іх и до конца процесса тепловые потери покрываются не только за счет
и, с |
|
|
|
|
«И |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
- — |
|
ко |
1 у |
t |
/ С ! |
ъ ^ ~ г |
— |
|
|
|
|
1 |
_ |
|
|
|
|
Рис. 10.16
энергии электрического поля, но и за счет энергии магнитного поля, запас которой создан в интервале времени от 0 до tx. Когда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вся энергия |
заряженного |
конденсатора |
W — —~- |
превратится |
в тепло, процесс в цепи закончится. |
|
|
|
|
|
|
|
Случай второй, |
г < 2 р . |
Корни |
характеристического уравне |
ния — комплексные сопряженные: |
|
|
|
|
|
|
|
Рі, -«= = ~~ І |
; ± І ' |
V Іс |
~ |
(гт)2 =— a ± / K « § - a 2 |
= — a ± / e > \ |
где а = = 2 Г _ |
коэффициент затухания; |
со0 |
— угловая |
частота |
неза |
тухающих |
колебаний |
и |
со' = 1/cojj — а2 — |
угловая |
частота |
соб |
ственных |
затухающих |
колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся (10.26) и подставим значения корней, соответст |
вующих рассматриваемому |
случаю: |
|
|
|
|
|
|
|
«с = |
2^7 [(— а + /©') е<-а-/<•>'>' - |
(— а - |
/со')е |
- ( - « + /»')']. |
Проделав |
простые преобразования, |
получим |
|
|
|
|
uc = |
rfe«[a |
g] |
+ й |
|
^ |
J . |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ис |
= - г e~ai |
(a sin со 7 + со' cos «7) . |
|
(10.29) |
|
В скобках стоит сумма двух синусоидальных функций одной |
|
частоты с разными амплитудами и фазами. Как известно, |
сложение |
|
таких синусоидальных функций дает также |
|
|
|
синусоидальную функцию той же частоты. |
|
|
|
Амплитуду и фазу |
результирующей |
сину |
|
|
|
соидальной функции можно найти графи |
|
|
|
ческим |
путем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
этого |
отложим по оси абсцисс век |
|
|
|
тор, |
равный |
амплитуде |
составляющей |
|
|
|
a sin со 7 (начальная фаза |
равна |
нулю), а |
Рис. 10.17 |
|
вектор, |
равный |
амплитуде |
составляю |
|
|
|
|
щей |
со' cos со' t (начальная |
фаза |
равна |
|
|
|
~ ) , — по оси ординат (рис. 10.17). Тогда результирующая |
синусои |
|
дальная |
функция |
будет |
иметь |
амплитуду со0 = j / a 2 - f ( c ö ' ) a и |
|
фазу |
= arclg —. Из рис. 10.17 следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
со'= со0 |
sin яр, |
a = co0cosip. |
|
|
|
Используя |
найденные величины, |
можно записать |
|
a sin со7-}-со' cos со'/ = со0 sin (со7 +яр)
и, подставляя в (10.29), получим в окончательном виде
|
U c = |
L / 0 ^ e - a ' s i n (со7-{-яр). |
(10.30) |
|
du. |
найдем ток. Подставляя ис |
из (10.30), |
По формуле i — C-^j- |
получим |
J e'at |
|
|
CU0 |
[a sin (со7 + яр) - со' cos (со7 + |
яр)] = |
= - C l / 0 ^ - e - a r s i n c o 7 .
Так как ю о = ^ " , окончательное |
выражение тока |
|
г = |
— 4и,г |
е - а < s i n со7. |
(10.31) |
Напряжение на индуктивности ui вычисляется по |
формуле |
(10.28): |
|
|
|
и і = |
£ / 0 ^ е - а ' 8 і п ( с о 7 - я р ) . |
(10.32) |
Выражения «с, і место колебательный
за счет собственной
иU L показывают, что в данном случае имеет
разряд емкости. Так как процесс протекает энергии цепи, то его называют собственными
или свободными колебаниями контура. Периодом этих колебаний
2я
следует считать Т' = -^-, где со' — угловая частота собственных затухающих колебаний, зависящая только от параметров цепи. Вообще говоря, Т' является условным периодом, так как затухаю щие колебания не являются периодическим процессом.
График изменения ис, і и ui приведен на рис. 10.18.
Сущность переходного процесса при колебательном разряде емкости сводится к следующему.
При разряде емкости энергия ее электрического поля расхо дуется, во-первых, на покрытие тепловых потерь, а, во-вторых, большей своей частью переходит в энергию магнитного поля индук тивности.
Рис. 10.18
Поэтому, когда и с проходит через нуль, и емкость полностью разрядится, в магнитном поле индуктивности накопится энергия, достаточная для поддержания тока прежнего направления, покры тия тепловых потерь и перезарядки емкости.
Емкость не может перезарядиться до прежнего по абсолютной величине напряжения, так как вследствие тепловых потерь общая энергия электромагнитного поля, связанная с контуром, непре рывно убывает.
Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оце
нивать декрементом |
или еще чаще логарифмическим декрементом |
колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Декрементом |
колебаний |
называется отношение двух |
мгновенных |
значений (напряжении или токов) |
в моменты времени |
t и t |
+ 7" |
(где 7" — период затухающих колебаний напряжения |
или тока), |
а логарифмическим |
декрементом |
колебаний — натуральный |
лога |
рифм этого |
отношения. |
|
|
|
|
Декремент |
колебаний |
|
|
|
|
А = |
с |
' ; |
= |
— |
° |
= е « г ' | |
(10.33) |
а логарифмический декремент |
|
6 = 1пА = с с Г = г ш |
(10.34) |
|
Г' |
Р 2 — |
V |
Из (10.33) и (10.34) следует, что декремент зависит только от параметров цепи. На декремент колебательного процесса большое влияние оказывает сопротивление цепи г. С увеличением г затуха ние увеличивается, а при г = 2р колебания прекращаются. На оборот, при уменьшении г затухание уменьшается и при г — 0 (контур без потерь) становится равным нулю. При г = 0 в контуре имели бы место незатухающие колебания с угловой частотой со0 =
|
1 |
с периодом Тй = |
|
2п\гЬС. |
|
|
|
VLC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
такого идеального |
контура |
(а = |
0, со' — со0) и из (10,30), |
(10.31) |
и (10.32) следует |
|
/ |
я1 |
|
|
U C = |
L/ |
|
|
0 Sin[cO0 ? + -2 |
|
|
|
|
і — — / 0 sin со0/, |
|
|
|
uL = U0 |
sin (a0t |
— |
jj, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
co0L |
р ' |
|
|
Энергия попеременно через каждые четверть периода переходит |
из |
электрического поля |
емкости в магнитное поле индуктивности, |
и |
обратно. |
|
|
|
|
|
|
В контуре высокой |
добротности |
а ^ |
со'. |
|
Угловая частота затухающих колебаний практически не отли |
чается |
от угловой частоты |
незатухающих |
колебаний: |
со' = ~[/~(ùl — а 2 5=« со0.
Поэтому равенства (10.30) и (10.31) принимают такой вид: ис я» с70е~а'' cos a0t,
/— -Щ- e~at sin (o0t.
Логарифмический декремент колебаний согласно (10.34)
g ІІГ |
IX |
Случай третий, г = 2 р. Законы |
изменения ис, і и Ui можно |
найти, перейдя к предельному случаю колебательного разряда, когда со' ->- 0. Воспользуемся формулой (10.31);
/ = — - % - е " а ' sin со' t.
CÜ'L
