Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Уравнение, составленное на основании второго закона Кирх­ гофа, имеет вид

График изменения ис и і приведен на рис. 10.12. Начальная ордината тока при t = 0 имеет наибольшую величину. В первый момент напряжение источника падает на сопротивлении г. С фор­ мальной точки зрения можно считать, что при нулевых начальных

266

условиях емкость в момент включения (t — 0) не оказывает сопро­ тивления. Она как бы накоротко замкнута

Напряжение на емкости и ток асимптотически приближаются

ксвоим установившимся значениям ыс -> UQ, і -*• 0. Найдем выражения мгновенных мощностей:

В заключение рассчитаем энергетический баланс цепи за время переходного процесса.

Работа источника

со

W = \ pdt = CU%,

о

энергия, запасенная конденсатором,

оо

тепловые потери

оо

и

267

Полученные результаты позволяют сделать интересное заклю­ чение. Зарядить емкость непосредственным включением на постоян­

вольная постоянная А в этой формуле должна быть определена в соответствии с новыми условиями работы цепи.

Вынужденная составляющая одновременно является устано­ вившимся напряжением на емкости, равном

« С в = С 7 С т 8 і п ( и / + гр — ф —

График изменения напряжения на конденсаторе приведен на рис. 10.13. Начальное значение свободной составляющей напря­ жения на емкости равно и противоположно по знаку мгновенному значению вынужденной составляющей в момент включения. Сле-

268

довательно, начальное значение свободной составляющей зависит от момента включения, т. е. от фазы г|з. Влияние фазы включения г|з на характер изменения «с проявляется так же, как и на характере

21

изменения тока і в цепи из г и L . Например, при -ф == ср —|—в цепи сразу наступает установившийся режим и ис, начиная с нуля, изменяется по синусоидальному закону (см. § 10.2, п. б).

§ 10.4. Переходные процессы в цепях, содержащих r, L а С

В этом параграфе рассматриваются переходные процессы в элек­ трических цепях, содержащих r, L и С, т. е. в цепях, запасающих энергию и в магнитном и в электрическом полях. В таких цепях возникают новые явления. Наиболее существенным из них является способность электрической цепи к собственным колебаниям.

Запишем дифференциальное уравнение для цепи рис. 10.1, выбрав за основную переменную UQ:

Решение зависит от значений корней характеристического урав­ нения. Характеристическое уравнение согласно (10.22) имеет вид

а корни этого уравнения

Корни pL и р 2 зависят только от параметров цепи. Заметим, что какая бы переменная ни была выбрана в качестве искомой, напри­ мер ток і, напряжение ііс, или заряд конденсатора q, характери­ стическое уравнение, а следовательно, и его корни будут одни итеже.

В зависимости от соотношения параметров цепи корни могут

269

2) комплексными и сопряженными, если дискриминант меньше нуля, т. е.

3) вещественными и равными, если

Ш ~ іс = °> Г ^ 2 Р -

Стало быть, в зависимости от соотношения параметров цепи переходные процессы будут протекать различно. Рассмотрим все три случая порознь на наиболее простом примере — разряде емкости

Сна г и L .

1.Разряд емкости на г и L . В цепи рис. 10.14 емкость, заряженная до на­

Случай первый, г > 2 р. В этом случае общее решение однород­ ного дифференциального уравнения второго порядка определяется

привлечь еще одну переменную, для которой легко установить на основании законов коммутации начальное условие. Такой пере­ менной является ток і.

При выбранном положительном направлении тока (см. рис. 10.14)

Воспользовавшись начальными значениями UQ (0) и г* (0) и урав­ нениями (10.24) и (10.25), получим два уравнения для определения двух произвольных постоянных:

A1 + A2 = U0,

j M i + M a = 0.

270