ПрИ |
(О' |
0, S i l l Où' t -> (ü't |
ток |
Зная ток, можно определить напряжение на индуктивности:
uL = LdJt- = UQe-at ( С С / - 1 ) .
Напряжение на емкости проще всего найти из основного урав нения:
«a + |
"L + |
u C = 0, |
|
UC== |
— UA — |
UL='— |
ІГ — UL, |
|
ис |
= Uог |
te~at |
- U0e~at |
(at - |
1). |
Принимая |
во внимание, |
что а = ~ , |
получим |
|
|
ыс |
= |
£ / 0 е - а '(1+а*) . |
|
Если построить |
график и с , |
* и «/. в функции времени по най |
денным значениям, то он окажется аналогичным графику рис. 10.16. Все переменные будут только быстрее нарастать и быстрее убывать, чем в первом случае; емкость будет непрерывно разряжаться, а напряжение на емкости будет монотонно убывать, не меняя своего знака. Таким образом и в данном случае имеет место апериодический разряд. Этот разряд называется критическим.
Значение г — 2 р, при котором наблюдается критический случай
апериодического |
разряда, называется критическим сопротивле |
нием |
последовательного контура. |
2. |
Включение |
цепи с г, L и С на постоянное напряжение. Цепь |
рис. 10.1 включается на постоянное напряжение и = U0 = const.
Предположим, что |
емкость не заряжена: и с |
(0) = 0 (нулевые |
начальные условия). |
|
При включении |
на постоянное напряжение |
в установившемся |
режиме емкость зарядится до напряжения источника, т. е. ыС в = U0. Значение свободной составляющей определяется формулой
(10.24).
Переходное напряжение на емкости
"с = «св + "с св = U0 + Ліе"'' + Л 2 ер 2 '.
Для определения двух произвольных постоянных найдем
dur
і = С - ~ = С ( Р і А ^ + р2 Л2 е'°9- Так как начальные условия нулевые, имеем
|
|
|
|
|
|
ис (0) = с/0 + Лі + Л 2 |
= 0 |
или |
Лі + Л 2 = — Ü 0, |
і(0) = С(р1А1-\-р2А2) |
= 0 |
или |
РіЛі + р 2 Л 2 = 0, |
откуда |
|
|
|
= — Р і ^ о |
д _ |
РгУр |
|
д |
1 |
Рі — Рг ' |
2 |
Pi — Pi * |
Сравнивая |
значения постоянных |
Ах и Л 2 с ранее найденными |
при разряде |
емкости (см. формулы |
10.26), можно установить, что |
величины постоянных в обоих случаях соответственно равны друг другу, но противоположны по знаку.
Зтот вывод позволяет сделать следующее заключение — свобод ная составляющая напряжения на емкости « с с в при включении цепи с нулевыми начальными условиями на постоянное напряже ние, т. е. в режиме заряда емкости, равна, но противоположна по знаку переходному напряжению на емкости ис при разряде. На этом основании можно сразу записать переходное напряжение на емкости:
м С з а р — U0 ^ с р а з р .
Таким образом, свободные составляющие, имея противополож ные знаки, изменяются по одному и тому же закону. Далее легко найти значения и других физических переменных. Ток
Ток в цепи и напряжение на индуктивности в режиме заряда конденсатора изменяются так же, как и при разряде конденсатора, но направления их противоположны. Сказанное и найденные соотношения справедливы при всех значениях корней характери стического уравнения рх и р2 , т - е - П Р И апериодическом и колеба тельном зарядах конденсатора.
Для апериодического контура
"с = — Pi — PÜ
|
U0 |
(ер*' — e " ' 0 , |
\ |
(10.35) |
|
L(Pi-Pê |
|
|
|
|
|
P1 — P2 |
|
|
|
|
На рис. 10.19 изображены кривые заряда |
конденсатора |
в цепи |
с г и L , построенные по формулам 10.35.
Аналогично можно получить законы изменения всех перемен
ных и для других |
случаев. |
Например, в |
случае колебательного |
заряда |
емкости |
|
|
|
|
|
|
U C : |
|
|
|
sin (co7 + ip), |
|
|
co'L |
е - 0 ' sin a't, |
|
(10.36) |
|
|
|
|
|
|
|
UL |
= — I/O-?- e~a/ sin |
(<ù't - |
ip). |
График |
изменения |
uc и i изображен |
на рис. 10.20. |
3. Включение цепи с г, L |
и С на синусоидальное напряжение. |
Контур |
высокой добротности, |
изображенный на рис. 10.1, замыка- |
нием ключа К подключается к источнику синусоидального напря жения:
U — Uт Sin (со/ + 1р).
Начальные условия предполагаются нулевыми. |
|
|
|
Изучение процесса в контуре начнем с определения |
переходного |
напряжения |
на |
емкости и с . |
Напряжение |
на емкости в об |
щем виде состоит из вынуж |
денной |
и свободной |
состав |
ляющих. |
|
|
|
Вынужденная |
составляю |
щая |
равна |
и с в = |
U cm X |
X sin (iû/+ipc), где ярс =і|)—ф—
Рис. 10.20
Таким образом,
— у—начальная фаза вынуж денной составляющей. Сво бодная составляющая на осно
вании |
(10.30) будет |
ис св |
= |
= Ae'at |
sin |
(со'/ + Ѳ), |
где |
А |
и ѳ — н о в ы е |
постоянные, под |
лежащие определению. |
|
Uc = UCms'm |
(<о/ + |
г|)С) + |
Ле~а' |
sin (co7 + ö). |
|
|
Зная Uc, можно найти ток: |
|
|
|
|
|
І = С-duWc |
(àCUcm |
COS (fùî-f-\pc)-f- |
|
|
+ CAzat-at [ ( - a) sin (со 7 + Ѳ) + |
со' cos (co7 + |
Ѳ)]. |
(10.37) |
Заметим, что aCUcm |
— h, |
Для |
контуров высокой |
добротности |
можно считать: a |
со |
со0. Тогда |
в выражении |
тока |
(10.37) |
первым слагаемым в квадратных скобках по сравнению со вторым можно пренебречь.
Выражение |
тока упрощается: |
і ^ |
Іт cos (iùt -т-чрс) + w0CAe'at cos (со0/ -f- Ѳ). |
Для определения постоянных А и 9 используем начальные
нулевые |
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
«с (0) = U cm sin г|)С + |
A |
sin Ѳ = 0, |
|
|
/ (0) = |
lùCUcm |
cos |
lj)c |
+ |
СщА |
cos Ѳ = |
0. |
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A sin Ѳ = — |
(Уcw sintpc, |
|
|
|
Л COS Ѳ = — U cm |
|
COS І|>с, |
|
|
Л = |
t / C m ] / s |
in2 |
V c |
+ |
( ^ - ) 2 cos2 г|>с |
, |
tge = ^ t g i p c .
Подставляя найденные значения, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"с = |
£/С о т s in (со/ + |
^с) + |
|
|
|
|
+ ^cm l A i n 2 Фс + |
(^)2 |
cos2 |
г[>с е-«г |
sin (со0/ + Ѳ), |
|
|
г = / т cos |
|
|
\ . |
|
|
f |
v( 1 0 - 3 8 ); |
|
(со/-f г|)С )+ |
|
|
|
|
+ /m |
s i " 2 ^ c + C O s 2 ^ c e ~ a t C 0 S ( & V |
+ Ѳ ) - |
|
|
Перенапряжения на емкости возможны за счет больших значе |
ний свободной |
составляющей |
« с . Как |
видно |
из (10.38), |
амплитуда |
свободной составляющей |
напряжения |
имеет |
величину, |
во |
много |
раз превосходящую U c т, |
если |
со ^> ю0 и % |
к , 0, т. е. при пере |
ходе вынужденного напряжения на емкости через нуль. |
|
Анализируя |
выражение |
тока, |
можно |
установить, |
что при |
со0 J> со и -фс ~ |
л/2 значение тока в отдельные моменты |
может во |
много раз превосходить величину Іт, |
т. е. в цепи возможен сверхток. |
В случае изохронизма, |
когда |
со = со0, т . е . |
угловая • частота |
собственных колебаний равна угловой частоте приложенного
воздействия, |
напряжение |
|
|
|
|
|
ис |
= Ucm sin (<o0t + |
г|5С) + |
Uс,mz~at |
sin (со0/ + |
Ѳ). |
Из начальных условий |
следует, |
что при |
со — со0 |
|
|
sintpc = |
— sine, |
і|)С = Ѳ-|-я. |
|
Преобразуя, получим |
|
|
|
|
|
|
ис = U cm (1 - |
е-°0 |
sin (<a0* + i|>c). |
(10.39) |
