Аналогично для тока |
|
I• = Іт (1 - е-а 0 cos К / + г|)С). |
(10.40) |
Выражения (10.39) и (10.40) говорят о том, что переходное напряжение и переходный ток при изохронизме являются синусои дальными функциями с изменяющимися во времени амплитудами.
Амплитуды нарастают по закону 1 — ё~а' и асимптотически приближаются к конечным значениям, равным амплитудам этих величин в установившемся режиме. Переходный процесс протекает без перенапряжения и сверхтока, но сами по себе установившиеся значения при малых г (а <^ со0) в резонансном режиме (со = со0) велики.
О
Рис. 10.21
Остановимся на случае, когда угловая частота со приложенного напряжения близка к угловой частоте со0. Тогда возникают биения. Покажем это для идеализированного контура, предположив, что г = 0 (а = 0). На основании (10.38) можно записать
«С = U cm [Sin (СО/ + tyc) — Sin ((ù0t + l | ) c ) ] =
=2 c / c r a s i n ^ - ^ c o s ( ^ + 1 p c ) ,
/ = l m |
[cos (<ot + ipc) - |
cos (ea0f - грс)] = |
|
= - |
21m sin «L=p t sin ( ° i ± ^ t + ifc). |
(10.41) |
Из (10.41) видно, что переходное |
напряжение на |
конденсаторе |
и переходный ток изменяются по синусоидальному закону с угловой частотой ""t, 0 3 * 1 ^ со0, амплитуда этой синусоиды также изме няется по закону синуса, но со значительно меньшей частотой:
^= Асо.
При г -ф 0 биения постепенно затухают, и переходный режим сменяется установившимся. Напряжение на емкости при биении колебаний изображено на рис. 10.21.
§ 10.5. Переходные процессы при воздействии на цепь импульса напряжения
Процессы, возникающие в цепи при воздействии на нее импульса напряжения, по своей сути всегда нестационарные. В данном пара графе рассматриваются два приема расчета этих процессов, непо средственно вытекающие из всего изложенного ранее.
Рассмотрим сначала воздействие на цепь прямоугольного им пульса. Пусть на известную цепь любой сложности подается оди
|
|
|
|
|
|
ночный прямоугольный импульс |
|
|
напряжения |
длительностью tx |
|
|
(рис. 10.22). Будем |
исследовать |
|
|
процесс в цепи отдельно для |
|
|
двух промежутков |
времени. |
|
|
В первом промежутке време |
|
|
ни от нуля |
до tx на цепь дейст |
|
|
вует постоянное напряжение, и |
|
|
любая переменная |
определяется |
|
|
так же, как и при включении |
|
|
той же цепи на постоянное на |
Рис. 10.22 |
|
пряжение. Во втором промежут |
|
|
|
ке времени |
при t ^= tx действующее в цепи напряжение равно |
нулю. В цепи возникает свободный переходный процесс с новыми,
но уже ненулевыми начальными |
условиями. Эти новые начальные |
|
|
|
условия |
определяются для |
|
|
|
t = |
tx из законов измене |
|
|
|
ния токов в индуктивно- |
Un |
|
|
стях |
и напряжений на ем |
É l i t |
|
костях в первом промежут |
|
|
ке |
времени. |
|
|
|
0 |
|
|
Проведем |
расчет |
для |
|
|
|
простого |
случая. |
Пусть |
|
Рис. |
10.23 |
цепь состоит |
из последова |
|
тельного соединения |
г и С. |
|
|
|
Во время действия импуль |
са, т. е. в промежутке времени от t = 0 до t= |
tx |
напряжение UQ |
опре |
деляется выражением (10.19). При t>tx |
в |
цепи наступает |
сво- |
|
|
_ г |
|
|
|
|
|
|
бодный режим, и |
«с = Ле т , где время Ï отсчитывается от момента |
окончания импульса. Постоянная |
А равна |
напряжению, до кото |
рого успела зарядиться емкость за время tu и определяется из уравнения (10.19) при подстановке вместо t значения tx.
При этом задача рассматривается, как новая задача с новым отсчетом времени. Подставляя полученное значение А в выраже
ние uc, |
получаем: |
|
|
|
и с |
= £ / 0 ( і - е ~ т ) е " , где |
У^tv |
На |
рис. 10.23 |
по найденным выражениям построен график. |
Предпочтительнее, |
однако, иметь решение с одним общим отсчетом |
времени. В этом случае, заменяя f на t— tu получим для второго
промежутка |
времени uc |
= U0\l— |
е |
т |
/ е |
т |
, |
где |
t ^ |
|
|
tx. |
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«c = t 7 0 ( l - e ~ |
|
0 ^ t ^ t x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ис |
= и0\е |
т |
— 1/ е |
т |
, |
tx ==S * «s оо. |
|
|
|
|
|
На этом же примере рассмотрим второй способ решения задачи, |
воспользовавшись |
принципом наложения. |
|
|
|
|
|
|
|
Прямоугольный |
импульс |
напряжения |
может |
быть |
представлен |
в виде суммы двух постоянных напряжений, |
равных |
по |
величине |
U0 |
и |
противоположных |
по |
направлению. Положительное |
напря |
жение |
+ U0 |
включается |
в |
момент |
t — 0 |
и |
действует |
бесконечно |
долго. Отрицательное напряжение —U0 включается с запаздыва |
нием на время tx, |
а затем также действует |
бесконечно долго. В ре |
зультате |
в |
цепи |
действует напряжение |
U0 в |
промежутке |
|
времени |
от нуля |
до |
tx, т. е. прямоугольный |
|
импульс |
напряжения |
длитель |
ностью |
tx |
(см. рис. |
10.22). В таком |
же порядке по методу наложе |
ния |
нужно |
искать |
решение: ис = ис |
( + ) |
+ «с (—). где |
ис |
(+) — |
напряжение |
на емкости от действия |
положительного |
напряжения, |
а«с (—) — от отрицательного. Используя (10.19), можно записать:
ис = ис(+) + ис(-) |
= и0[1-е |
V-U0{\ |
где второе слагаемое [«с (—)1 существует |
при t> tx. |
Используя метод наложения, можно сформировать импульсы
различного вида. Например, импульс |
напряжения в форме равно- |
|
|
|
|
|
|
бокой |
трапеции |
легко |
|
|
|
|
|
|
сформировать, |
|
исполь |
|
|
|
|
|
|
зуя |
линейно |
нарастаю |
|
|
|
|
|
|
щее напряжение |
и = kt |
|
|
|
|
|
|
по следующей |
схеме. |
|
|
|
|
|
|
|
В момент / = 0 |
вклю |
|
|
|
|
|
|
чается напряжение м0 = |
|
|
|
|
|
|
= kt и действует |
непре |
|
|
|
|
|
|
рывно долго. Спустя вре |
|
|
|
|
|
|
мя іх вступает напряже |
|
|
|
|
|
|
ние |
их |
= — k |
(t — tx) и |
|
|
|
|
|
|
тоже |
действует |
непре |
Рис. |
|
10.24 |
|
|
|
рывно |
долго |
^ s ^ ^ O O . |
|
|
|
|
По |
истечении времени 4 |
|
|
|
|
t2), |
|
включается напряжение u2 = |
k(t- |
которое действует в интер- |
вале времени t2 ^ |
t |
оо. Из |
рис |
10.24 |
видно, что к моменту вре- |
мени t3, когда включается напряжение и3, |
действие импульса закан |
чивается, так как |
все четыре напряжения в сумме равны нулю. |
Расчет воздействия такого импульса на |
цепь следует |
вести |
в том же порядке, как и его формирование. |
Вначале нужно |
опре |
делить искомую переменную (ток, напряжение на участке и др.)
при |
воздействии на |
цепь |
линейно |
возрастающего напряжения |
и = |
kt (см. формулу |
10.11), |
а далее |
суммируются составляющие, |
возникшие при воздействии последующих напряжений с учетом знаков и сдвигов.
§ 10.6. Включение цепи на напряжение любой формы (формула Дюамеля)
В данном параграфе рассматриваются методы расчета переходных процессов при воздействии на линейную цепь напряжения (тока) любой формы.
Метод наложения позволяет разложить заданное входное воз действие сложной формы на подобные друг другу слагаемые более
ПрОСТОЙ формы, ДЛЯ |
КОТОРЫХ |
aj |
jßj |
|
|
|
легко |
найти реакцию |
цепи. |
|
Г |
|
|
|
Определив |
реакцию |
цепи |
|
|
|
|
на каждую элементарную со |
|
|
|
|
|
ставляющую |
воздействия |
и |
|
|
|
|
|
суммируя эти |
реакции, |
нахо |
|
|
|
|
|
дим реакцию цепи на слож |
|
|
|
|
|
ное воздействие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отдельные |
составляющие |
|
|
1(t-tf) |
|
|
целесообразно выбирать таки |
|
1 |
ККККЛК |
ми, чтобы они были математи |
|
чески простыми, и расчет реак |
|
|
ций, ими вызываемых, был бы |
|
0 |
не сложен. Элементарные со |
|
|
|
t |
ставляющие воздействия и вы |
|
|
Рис. |
10.25 |
|
зываемые |
ими реакции |
выра |
|
|
|
жают с помощью двух функ |
|
|
|
|
|
ций: |
1) единичной функции (единичного скачка) |
и 2) |
импульсной |
функции |
(дельта функции). |
|
|
|
|
|
1. |
Единичная функция. Переходная характеристика. |
Единичную |
функцию |
определяют |
как |
функцию |
времени, равную |
нулю при |
/ < 0 |
и |
равную единице |
при |
/ > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
0 |
при |
t<0 |
|
(10.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
t>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид единичной функции изображен на рис. 10.25, а.
С помощью единичной функции напряжения любая функция
времени |
и = / (t) |
может быть представлена в форме |
произведения |
1 (t) f |
(t). Это произведение равно нулю при К О |
и равно / (f) |
при t |
> |
0. Если |
цепь в момент t — 0 включается |
на постоянное |
напряжение і/0 , то
и = Un\ (t).
Это выражение указывает на то, что напряжение скачкообразно возрастает до U0 в момент включения (t = 0) и дальше непрерывно действует, оставаясь постоянным.
Если воздействие подается на цепь не в момент / = 0, а с запаз дыванием на tlt его следует записать с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом:
|
при |
t<Zti |
|
(10.43) |
|
при |
t>tv |
|
|
|
|
График этой функции, поясняющий смысл параметра і ъ |
изобра |
жен на рис. 10.25, |
б. Постоянное напряжение |
U0, подаваемое на |
цепь, в этом случае |
записывается так: и = U0 |
1 (t — tx). |
|
Единичную функцию напряжения можно создать подключением |
к цепи в момент t = |
0 или t — tx источника с напряжением в один |
вольт. Реакция цепи на единичную функцию |
называется |
переход |
ной характеристикой |
цепи и обозначается h (t). |
|
Если воздействие запаздывает на время т, то на такое же время, очевидно, запаздывает и реакция цепи. Если воздействие увеличи вается в а раз, то во столько же раз возрастает ответная реакция цепи. Размерность переходной характеристики цепи равна отно шению размерностей выходной и входной величин. Если внешнее воздействие задано в виде единичной функции напряжения, а иско мой величиной является тоже напряжение на каком-либо элементе цепи, то переходная характеристика является безразмерной вели чиной, численно равной выходному напряжению. Если же опре деляется ток в цепи, то переходная характеристика имеет размер ность проводимости цепи. В этом случае переходную характеристику иногда называют переходной проводимостью. Переходная прово димость численно равна току в цепи при воздействии на цепь еди ничной функции напряжения. В дальнейшем любая реакция в виде тока или напряжения на участке цепи при воздействии на цепь единичной функции напряжения или тока будет называться пере ходной характеристикой.
Для определения переходной характеристики необходимо рас считать переходный процесс в цепи при нулевых начальных усло виях при включении на единичную функцию напряжения. Переход ная характеристика, таким образом, является функцией времени,
, зависящей от параметров и схемы цепи.
Например, для цепи с г и L ранее были вычислены переходный ток и напряжение на индуктивности:
