Следовательно, переходная характеристика тока в цепи
л(*)=4(і-е-£').
Переходная характеристика напряжения на индуктивности
Для простых часто встречающихся цепей можно заранее рас считать h (t) и составить картотеку — справочник*. Условимся, для конкретности, вести дальнейшие рассуждения в предположении, что определяется переходный ток. Очевидно, общность изучения вопроса этим не сужается. Действительно, в тех случаях, когда необходимо найти не ток, а напряжение на выбранном участке заданной цепи, взамен переходной характеристики для тока должна быть определена другая характеристика — для напряжения.
Если напряжение на цепь подается не только в момент включе
ния t — 0, а и дополнительными |
порциями с запозданием на неко |
торое время xlt т2 , |
xk, то и переходную характеристику для |
каждого включения необходимо записывать |
с запаздывающим аргу |
ментом соответственно |
на время |
хг, т2 |
xk, т. е. |
h (t — |
T i ) , h(t |
— x2)...h(t |
— xh). |
По сравнению с обычным понятием проводимости цепи при стационарном режиме введенное понятие о переходной проводи мости является более широким, так как оно полнее характеризует реакцию цепи при воздействии на цепь постоянного напряжения. При t -*~ оо переходная проводимость стремится к своему предель ному значению, равному проводимости цепи в установившемся режиме на постоянном токе.
2. Вывод формул интеграла Дюамеля. Пусть требуется опреде лить ток в линейном пассивном двухполюснике, переходная харак теристика которого известна, при включении двухполюсника на напряжение и. Кривая напряжения и изображена на рис. 10.26. Начальный запас энергии двухполюсника считаем равным нулю.
Выберем некоторый произвольно фиксированный момент наблю дения t и рассчитаем переходный ток к этому времени. Хотя момент выбирается произвольно, он фиксируется и становится постоянной величиной — параметром. В связи с этим введем новое обозначение
текущего времени через т, |
изменяющегося в пределах 0 < т < |
В дальнейшем будем различать и (t) и i (t), как функции момента |
наблюдения t и и(х) и і(х), |
как функции текущего времени т. |
Определим сначала ток в цепи при воздействии на цепь ступен чатого напряжения, приближенно заменяющего заданное плавное, как это изображено на рис. 10.26. Замена плавной кривой
* По такому принципу, например, составлен «Справочник по переходным электрическим процессам». И. И. Теумин. Связьиздат, 1952.
ступенчатой позволяет считать, что в момент времени х — 0 вклю чается постоянное начальное напряжение и(0) 1(т), воздействующее на цепь в течение всего интервала времени от нуля до оо. Затем через промежуток времени хх вступает в действие дополнительное постоян
ное напряжение величиной А иг, |
воздействующее на цепь, |
начиная |
|
|
с момента хх. Затем всту |
|
|
пает А ы2 в |
момент |
вре |
|
|
мени т2 и т. д. |
|
|
|
|
|
Заданное плавно из |
|
|
меняющееся напряжение |
|
|
приближенно |
представ |
|
|
ляется |
в |
виде |
и (0) и |
|
âu3 |
суммы |
большого |
числа |
|
âu, |
последовательно |
вклю |
m, |
чаемых |
элементарных |
|
|
скачков величиной A ult |
|
|
А ы2, |
|
А ик |
до А ип, |
|
|
каждый из которых пос |
|
|
ле включения |
действует |
At, At2 |
Atr |
в |
течение |
промежутка |
|
1k |
от |
хк |
до бесконечности. |
|
Под влиянием скачка на |
|
|
|
|
пряжения |
и (0) в |
цепи |
|
Рис. 10.26 |
возникает |
переходный |
|
процесс. До момента на |
|
|
блюдения переходный процесс будет продолжаться t секунд. Под
|
|
|
|
|
|
|
|
влиянием скачка напряжения А ии |
включаемого в момент хІ7 |
в со |
ответствии |
с принципом |
наложения возникает |
дополнительный |
переходный |
процесс. Продолжительность |
этого |
переходного |
про |
цесса к моменту наблюдения |
t будет |
равна |
t — тх . Продолжитель |
ность переходного процесса, |
возникшего под влиянием скачка |
А ик |
до момента наблюдения t, |
будет равна / — хк и т. д. Используя еди |
ничную функцию с запаздывающим аргументом, можно прибли
женно записать приложенное к цепи |
напряжение |
в виде суммы: |
и(*)я«и(0) 1 |
(f-тх) +Ди а 1 (t - т 2 ) + . . . + |
Au*l (t-xk) |
+ |
|
|
|
п |
|
|
|
+ ... + Aunl(t-xn) |
= u ( 0 ) 1 ( 0 + Ц ЬиьЦі-Ть). |
(10.44) |
|
|
|
* = і |
|
|
|
Реакция |
цепи (в рассматриваемом |
случае — ток) |
определится |
как алгебраическая сумма |
реакций цепи на воздействия |
начального |
напряжения |
и всех последующих скачков напряжения, |
включаемых |
друг за другом. Под влиянием составляющей напряжения и (0) 1 |
(/) |
в цепи появится составляющая тока і (т), которая к моменту наблю
дения |
приобретет |
значение і (t) = и (0)h (t). |
|
Спустя время |
т1 ( напряжение возрастает скачком |
на величину |
А их. |
Продолжительность воздействия этого скачка |
напряжения, |
как мы уже отметили, равна t — хи так как он включен с запазды-
ванием на тг. Поэтому отвечающая ему переходная |
характеристика |
|
будет h (t — тх ). В результате в цепи появится добавочная составляю- |
• |
щая тока |
Д/х |
= Au±h (t — т^). |
|
|
|
|
|
|
В последующий момент времени т2 (см. рис. 10.26) вновь проис |
|
ходит скачкообразное изменение напряжения на величину Дм2 , |
|
которое вызовет вновь дополнительную |
составляющую тока: |
|
|
|
|
Дг2 = Au2h(t |
— т2 ). |
|
|
|
Продолжая рассуждения, найдем, что в момент хк скачок напря |
|
жения |
Аик |
вызовет ток Аік — Aukh(t — |
хк). |
|
|
|
Искомый переходный ток будет равен сумме составляющих, |
|
найденных для момента t, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
i (t) = u(0)h (t) -+ Auxh {t - |
ta ) - |
Au2h (t — т2 ) + . . . |
|
|
|
|
... + Aukh(t-xk) |
+ ... + Aunh |
(t-xn) |
|
или |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (t) = и (0) h (t) + 2 |
àukh |
(t - |
Tf c ), |
|
|
где n — число |
промежутков, на которое |
разбит интервал времени |
|
от 0 до t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
того |
чтобы получить |
выражение тока, |
соответствующее |
|
не ступенчатой кривой напряжения, а заданному плавно изменяю |
|
щемуся напряжению, необходимо промежутки времени уменьшать |
|
до бесконечно малой величины dt, |
а число скачков п увеличивать |
|
до бесконечности (п ->• оо). Сами скачки при этом будут бесконечно |
|
малыми величинами. Величину каждого скачка напряжения du |
|
можно представить в виде произведения скорости изменения напря |
|
жения |
~ |
на продолжительность этого промежутка dr, т. е. |
|
|
|
|
du = u'(x)dx. |
|
|
(10.45) |
|
Сумма в пределе перейдет в интеграл. Точное значение пере ходного тока i(t) для фиксированного момента времени t будет:
/ (t) = u (0) ft (0 + \W (т)ft(г—т) dt. |
(10.46) |
о |
|
Полученное выражение называется интегралом |
Дюамеля. |
Для расчета тока по формуле (10.46) необходимо знать закон изменения заданного напряжения в аналитической форме и пере ходную характеристику цепи. Напряжение, подводимое к цепи, задается, а переходная характеристика, как отмечалось выше, определяется из расчета переходного процесса в цепи при воздей ствии на нее единичного скачка напряжения. Если приложенное напряжение задается в виде графика (осциллограммы) и не может быть записано в аналитической форме, то его расчет можно сделать
приближенно с любой степенью точности по формуле (10.44). Точ ность будет тем выше, чем больше число промежутков п, на которое разбит интервал времени от 0 до t. Интеграл Дюамеля записывают и в других формах. Докажем предварительно справедливость эквива
лентного преобразования: для двух функций / х |
(/) и / 2 (t) при t > 0 |
имеет место равенство |
|
|
\ fx (т) / а (t ~ |
x) dx = \ h (t - X) f2 |
(т) dx. |
0 |
0 |
|
Каждый из интегралов в приведенном равенстве называется сверткой
функций f^t) |
и f2(t). |
Для доказательства справедливости этого равен |
ства |
произведем в |
интеграле правой |
части равенства |
подстановку |
t — % = |
X, тогда dx — — dx и т = |
t — х . Соответственно изменятся и |
пределы |
интегрирования. При х = |
t |
верхний предел х = |
0, а |
при |
т —- 0 нижний предел х |
--- t. Для |
новой переменной |
в новых |
пре |
делах |
интегрирования |
получим |
|
|
|
|
|
І h (t -1) |
h (T) dx = - |
S Л (*) / 2 |
(/ - |
X) dx = ( FX (X) / 2 |
(/ - |
X) d*. |
0 |
|
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
|
Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования. Вернемся к старому обозначению переменной, т. е. заменим х на т. В результате
1 h (t - |
x) h (X) dx=\h |
(X) f2 (t - X) dx. |
о |
0 |
|
Таким образом аргументы функций под знаком интеграла можно поменять местами и в этом состоит эквивалентное преобразование интеграла вида свертки функций.
Если воспользоваться эквивалентным преобразованием, то можно получить вторую форму записи интеграла Дюамеля:
t |
|
|
i (t) = и (0) h (t) + ]u'(t-T)h |
(x) dx, |
(10.47) |
о |
|
|
где u'(t — т) — производная функции u(t |
— т) по ее |
аргументу |
( * - т ) . |
|
|
Выполнив интегрирование по частям в первой форме записи
интеграла Дюамеля (10.46), найдем третью форму |
записи: |
t |
t |
|
|
i (t) = и (0) h (t) + $ W (x) h(t-x)dx |
= u (0) h (t) -\-\h(t-x) |
du (T) = |
о |
0 |
|
|
|
t |
|
|
e= w (0) h (t) +1 и (T) h (t - |
x) \i - f 5 M (x) h' |
{t-x) |
dx. |
|
0 |
|
|
Подставляя пределы, получим
|
t |
|
|
i (t) = и (О А (0) + J й (т) h' (t - т) dx, |
(10.48) |
|
о |
|
где |
h'(t — т) — производная функция h(t — т) по ее |
аргументу |
if - |
т). |
|
Наконец, используя вновь эквивалентное преобразование инте грала в (10.48), получим четвертую форму записи интеграла Дюамеля:
t |
|
/ (/) = и (t) h (0) + \и (t - х) h' (т) dx. |
(10.49) |
о |
|
Пользуясь правилом дифференцирования определенных инте гралов по параметру *, все четыре формулы записи интеграла Дюа-
меля (10.46)—(10.49) можно |
свести к двум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
i(t) |
= ^ |
§ u{x)h(t-x)dx, |
|
|
(10.50) |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
i(t) |
= ^u(t-x)h(x)dx. |
|
|
(10.51) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Все четыре формы записи интеграла Дюамеля в теоретическом |
отношении |
равноценны. Ту |
или иную форму |
записи |
выбирают |
только |
из |
соображений простоты вычислений, |
которые |
зависят |
от того, |
какой |
вид имеют функции и (t) и h (t). |
|
|
|
Например, |
если и(0) = 0, то удобнее первая |
(10.46) |
и |
вторая |
(10.47) |
формы |
записи, |
так как первое слагаемое в этих |
формах |
записи обращается в нуль. Если /і(0) = 0, то целесообразнее исполь зовать третью или четвертую формы записи. Если h(t) выражается через экспоненциальную функцию, то следует предпочесть формулу (10.48) или (10.49), так как экспоненциальные функции просто дифференцируются.
3. Включение пассивного двухполюсника на напряжение любой формы. Интеграл Дюамеля применим и в тех случаях, когда напря-
* Известно, что производная от интеграла по верхнему пределу имеет вид
|
Используя эту формулу |
и полагая, что / (t, т) = и (т) h (t — т), получим |
|
/ |
t |
|
и ( T ) h (t — x) dx=u (t) h (0) + \ и (x) h' (t-x)dx, |
т. e. |
(10.48). |
|
10 |
alp. Кляцкина |
289 |
