Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

жение, подводимое, к цепи u(t), представляет собой кусочно-непре­ рывную функцию, содержащую разрывы непрерывности первого рода, т. е. скачки напряжения конечной величины.

Предположим, например, что на электрическую цепь, переход­ ная характеристика которой известна, воздействует напряжение, форма которого изображена на рис. 10.27, причем значение функции

Скачкообразное изменение Рис. 10.27 напряжения при t — tx будет

учтено, если положить, что в этот момент к цепи подключается дополнительное напряжение в виде скачка, равное u2(tx) — ux(tx). Этот скачок напряжения по­ рождает соответствующий скачок тока:

А/ = [и2 (tx) - их (tx)] h(t— tx) при / s& tx.

Далее, начиная с момента (х , напряжение изменяется по кривой u2(t) и создает еще одно слагаемое тока, а именно:

i (t) — \ и'г (т) h(t — x) dx.

и

Таким образом, окончательное выражение тока принимает вид

В том случае, когда приложенное напряжение имеет не один разрыв непрерывности, а несколько, то каждый разрыв непре­ рывности, каждый скачок необходимо учитывать, как это было сделано выше для момента іх.

290

§ 10.7. Импульсная функция. Импульсная характеристика

I . Импульсная функция. Понятие об импульсной функции наи­ более просто можно ввести, если воспользоваться импульсом пря­

Наибольший интерес в теоретическом отношении представляет предельный случай прямоугольного импульса ô (t, At), когда его длительность стремится к нулю (At 0), а высота импульса стре­ мится к бесконечности (А ->• оо). В этом случае в результате пре­ дельного перехода согласно формуле (10.53) получим новую функцию с необычными свойствами:

Эту функцию использовал в своих работах английский физик Дирак. Она называется импульсной функцией и обозначается ë(t). Импульсную функцию часто называют также «дельта-функцией» или «функцией Дирака». Импульсная функция обладает следующими свойствами:

1) она равна нулю при t <^ 0 и t > 0, т. е.

1

2) она бесконечно велика в точке t = 0:

Ь (0) = со;

3) кроме того,

\6(t)dt=\. (10.55).

Единичный импульс, имеющий бесконечно малую длительность и бесконечно большую высоту, является, конечно, математической абстракцией. Физически можно получить импульс очень малой длительности и столь большой величины, что в цепи, на которую он воздействует, возникает переходный процесс. Малая длительность

понимается в том смысле, что она значительно меньше времени практи­ ческой длительности переходного про­ цесса. Например, длительность им­ пульса следует сравнивать с постоян­ ной времени цепи, на которую подается импульс, или с периодом собственных колебаний контура. Импульс можно считать коротким, если его длитель­ ность At несоизмеримо мала по срав­ нению с постоянной времени цепи или периодом собственных колебаний кон­ тура.

График функции, сходной с ô (f), представляют также в виде так на­ зываемой иглообразной функции (рис. 10.29). Чем более узкую полоску по

оси абсцисс охватывает иглообразная функция, тем выше должна быть эта полоска для того, чтобы площадь полоски сохраняла свое значение, равное единице. При сужении полоски иглообразная функция приближается к условиям импульсной функции.

Если импульсная функция отлична от нуля не в момент t — 0, а в момент т, т. е. запаздывает на время т, то она записывается с за­ паздывающим аргументом ô(t — т). Эта запись указывает на то, что функция равна нулю для всех значений t, кроме t = т, при кото­ ром она обращается в бесконечность. При этом сохраняется основ­ ное свойство функции, т. е.

\ 8(t-t)dt=ï. (10.56)

Между импульсной и единичной функциями существует анали­ тическая связь. Ее можно установить при помощи равенства (10.54). Указанный в нем предельный переход соответствует производной, которая предполагается существующей от единичной функции.

292

Ввиду важности соотношения (10.57) и для большей нагляд­ ности найдем его вновь другим путем. Для этого привлечем вспо­ могательную функцию F (t) со следующими свойствами:

Функция F (t) изображена на рис. 10.30, а. Найдем производ­ ную этой функции:

0 t<0

0 t> At.

На рис. 10.30, б функция F' (0 представлена в виде прямоуголь­ ного импульса длительностью At и высотой - ^ . Площадь такого

F (t) превратится в единичную функцию, а ее производная F'(t) — в импульсную функцию. Происходит это потому, что с уменьшением величины At крутизна нарастания фронта функции F (t) растет и соответственно растет производная функции, стремясь к бесконеч­ ности.

293