Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

которое иногда называется фильтрующим свойством импульсной

в формуле (10.61) на основании свойств импульсной функции равна нулю всюду, кроме одной точки t = т. Функция / (/) в этой точке равна / (т). Поэтому интеграл не изменится, если заменить функцию /(/) ее дискретным значением f(x). Тогда f(x) можно вынести за знак интеграла, а интеграл будет равен единице в силу свойства (10.56):

Таким образом, интеграл от произведения импульсной функции и любой непрерывной функции равен значению непрерывной функ­ ции при том значении переменной интегрирования, при котором аргумент импульсной функции обращается в нуль.

В этом смысле и проявляется фильтрующее свойство импульсной функции.

Заметим, что в интегралах (10.60) и (10.61) пределы интегриро­ вания — оо и + оо могут быть заменены любой парой конечных чисел а и Ь, если только точка, в которой аргумент импульсной функции обращается в нуль, лежит внутри интервала (а, Ь).

2. Импульсная характеристика цепи. Для определения р'еакции линейной цепи на произвольное воздействие / (t) достаточно знать ее реакцию на импульсную функцию. Эффект, вызываемый на выходе цепи при подаче на вход импульсной функции, оценивается так

294

в тех же соотношениях, что и вызывающие их причины, реакция цепи на воздействие импульсной функции должна быть произ­ водной реакции цепи на воздействие единичной функции. Иными

Из (10.62) видно, что импульсная характеристика является функцией размерной. Ее размерность равна размерности переход­ ной характеристики, деленной на время. Если воздействие, представленное с помощью единичных или импульсных функций, запаздывает на время tx, то на такое же время запаздывает и реакция цепи.

скачка при t = 0, а этот скачок учтен производной второй функции /1,(0 = ^(0)6(0.

3. Интеграл наложения. При выводе формул интеграла Дюамеля воздействие на входе разбивалось на составляющие в виде элемен-

295

тарных скачков, следующих друг за другом и образующих ступен­ чатую кривую (см. рис. 10.26). Для получения формул интеграла

a) h(t)

Рис. 10.31

наложения входное воздействие разбивается на элементарные функ­ ции в виде прямоугольных импульсов, подобных импульсной функции (рис. 10.32), т. е. аппроксимируется последовательностью прямоугольных импульсов высо­ той и (т) и длительностью dx. Че­ рез т вновь обозначено текущее время, изменяющееся в преде­ лах 0 < т < /, а буквой t обо­ значим время, прошедшее от на­ чала отсчета до момента наблю­

дения.

Будем считать, что цепь за­ Рис. 10.32 дана своей импульсной характе­

ристикой g(t), а в качестве ис­ комой выходной функции определяется ток i(t). Тогда каждый от­ дельный прямоугольник (элементарный импульс) с площадью и (x)dx вызовет ответную реакцию цепи в виде составляющей тока:

di (t) = u(x)g(t — т) dx,

где g (t — т) — значение импульсной характеристики в момент наблюдения t при воздействии импульса на цепь в момент т.

На основании принципа наложения, суммируя бесконечно малые составляющие di(t), вызванные последовательностью бесконечно малых по площади прямоугольных импульсов напряжения, к мо­ менту наблюдения t, получим

296

Используя эквивалентное преобразование, можно записать

о

Полученный интеграл, называемый интегралом наложения, аналогичен интегралу Дюамеля. Отличие заключается лишь в ис­ пользовании импульсной характеристики взамен переходной харак­ теристики. Поэтому если в (10.64) или (10.65) подставить взамен импульсной характеристики переходную, используя найденную выше связь между ними, то получим интеграл Дюамеля.

Действительно, согласно (10.63) g (t) = h'{t) + h (0) ô (/)• Под­ ставляя в (10.65) g(x) = h'(x) -f Л(0)б(т), получим

т. е. четвертую форму интеграла Дюамеля.

Таким образом, зная переходную или импульсную характери­ стики и задавшись напряжением или током на входе цепи, можно рассчитать реакции цепи на ее выходе.

§10.8. «Некорректно» заданные условия

Внекоторых задачах законы коммутации (см. формулы 10.2 и 10.3) казалось бы нарушаются, если начальные условия непра­ вильно формулируются, как говорят, «некорректно» заданы.

Возьмем, например, такую задачу. В цепи рис. 10.33 к конден­ сатору Сх, заряженному до напряжения U0, подключается неза­ ряженный конденсатор С2 . Задача имеет следующие начальные условия:

что противоречит закону коммутации (см. формулу 10.3), который требует, чтобы существовали равенства

«с, (0+ ) = иСі (0_), иСг (0+ ) = иСг (0_).

297

Противоречие имеет место потому, что задача была некорректно поставлена. Некорректность в данном случае заключается в том, что не были учтены малые параметры, которыми в этой задаче нельзя пренебрегать. Если эти малые параметры принять во вни­ мание, то задача становится корректной, и законы коммутации не нарушаются.

Рис. 10.33 Рис. 10.34

Согласно второму закону Кирхгофа при выбранных на схеме положительных направлениях

Если обе части этого уравнения продифференцировать по t и сде­ лать подстановки из равенства (10.67), то получим

298

Законы коммутации также выполнены. Задача поставлена корректно. Если же считать г — 0, то задача становится некорректной.

Действительно, с одной стороны, напряжение на конденсаторе скачком измениться не может, а с другой стороны, напряжения заря­ женного и незаряженного конденсаторов после коммутации были одинаковы. Следовательно, в момент коммутации напряжения на обоих конденсаторах должны измениться скачком. При этом ток через конденсатор в момент их соединения должен быть равен бесконечности.

При пренебрежении малым параметром г надо учесть, что ток имеет все свойства импульсной функции и может быть определен так:

Принимая во внимание, что

«с — t dt

и что импульсная функция является производной от единичной функции, согласно (10.3) получаем

uCl=-£-l(t) + Nlt uCl = ^\(t) + N2. (10.73)

Единичная функция при t = 0_ обращается в нуль, при t — 0+ —

Подставляя значения постоянных интегрирования в (10.73), получаем

что и является решением задачи при пренебрежении малыми пара­ метрами.

Существенным является то обстоятельство, что суммарный заряд обоих конденсаторов остается неизменным. Действительно,

Если принять в качестве основы закон сохранения заряда, то можно согласно (10.74) определить напряжение на конденсаторах после коммутации:

«с, (0+) = ис,(0+ ) = с ^ ^ о .

299