Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Когда задачу анализа переходного процесса допустимо за­ менить определением напряжения на конденсаторе непосредственно после коммутации, можно использовать для решения закон сохра­ нения заряда. Запас энергии не остается постоянным. До замыкания ключа количество энергии в контуре

Часть энергии расходуется на потери в проводах, но при этом идеализированном рассмотрении процесса она не учтена. Рассмот­ рим теперь более сложную задачу — переходный процесс в цепи рис. 10.35, в которой в момент t = 0 происходит размыкание ключа /( .

Когда ключ замкнут,

где / (0 — неизвестный пока закон убывания тока после размы­ кания ключа. Ток во второй катушке должен совпадать с током в первой катушке. Поэтому

тации эти токи изменяются по разным законам и в уравнении при­ сутствуют производные токов.

При подстановке (10.76) и (10.77) в уравнение (10.78) надо учесть,

что

| [ Ф ( / ) І ( 0 ] - Ф ' ( 0 Ч 0 + Ф (0)6(0.

300

так как производная единичной функции не равна нулю только при / = 0. Поэтому

Первое из них определяет начальное значение / (t):

Второе уравнение можно переписать так:

Его решение

301

Г л а в а о д и н н а д ц а т а я ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ВЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

§11.1. Операторный метод

Вгл. X было показано, что расчет переходных процессов класси­ ческим методом в конечном счете сводился к решению дифферен­ циальных уравнений. При этом основные трудности решения заклю­ чались в определении произвольных постоянных. По мере услож­ нения электрической цепи и соответственно повышения порядка дифференциального уравнения эти трудности увеличивались.

Естественно, что всякий математический метод, упрощающий практику интегрирования дифференциальных уравнений, не тре­ бующий, в частности, определения произвольных постоянных, должен быть использован для расчета переходных процессов в элек­ трических цепях. К таким методам в первую очередь относится операторный (операционный) метод. Забегая вперед, можно ска­ зать, что операторный метод расчета переходных процессов в линей­ ных электрических цепях так же целесообразен и эффективен, как эффективен и целесообразен символический метод расчета установившегося режима при гармонических напряжениях и токах.

В электротехнику операторный метод в конце прошлого столе­ тия ввел О. Хевисайд. Однако этот метод не был им математи­ чески обоснован и поэтому не нашел широкого применения. Только после большого количества работ, п священных обоснованию опе­ раторного исчисления, метод завоевал всеобщее признание. В основу операторного исчисления было положено прямое интегральное преобразование Лапласа, с помощью которого функции времени

Предположим, нужно найти некоторую функцию (ток или напря­ жение) действительной переменной / (/) решением дифференциаль­ ного уравнения. Операторный метод решения этой задачи сводится к четырем последовательным этапам.

1. От искомой функции / (t), именуемой оригиналом, переходят с помощью преобразования Лапласа к функции комплексного пере­ менного р. Новую функцию обозначают через F (р) и называют

изображением функции / (t).

2. Дифференциальные уравнения для оригиналов, согласно правилам преобразования функций, их производных и интегралов

303