преобразуются в операторные алгебраические уравнения для изо бражений.
3.Полученные операторные уравнения решают относительно
F(p).
4.От найденного изображения F (р) с помощью обратного пре
образования переходят к оригиналу /х (/), который и является иско мой функцией.
Таким образом, сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменяются решением простых алгеб раических уравнений, записанных в операторной форме. Опера
торный |
метод можно сравнить с логарифмированием, где сначала |
от чисел |
переходят к логарифмам, потом производят относительно |
простые |
действия |
над |
логарифмами, |
соответствующие действиям |
над числами, а |
затем |
от найденного |
логарифма возвращаются |
к искомому числу. |
|
|
§ 11.2. Преобразования Лапласа
Пусть дана некоторая функция вещественной переменной f (t) (например, ток или напряжение). Изображением по Лапласу назы вается функция, которая получается в результате вычисления инте
грала: |
со |
|
|
|
F{p) = \f{t)^dt, |
(11.1) |
|
о |
|
где t — вещественная |
переменная, а р = |
а 4- /со — некоторая |
комплексная переменная, |
где о > 0. |
|
Имея в виду прикладную цель данного |
анализа, ограничим |
рассматриваемые функции / (/) следующими |
условиями: |
1.Функция / (/) со своими производными непрерывна на всей оси t. Возможны исключения, а именно наличие конечного числа точек разрыва первого рода.
2.Функция / (t) равна нулю при отрицательных значениях t:
/(0 = 0 при t < 0.
3. Функция / (0 возрастает не быстрее показательной функции: существуют постоянные числа M > 0 и S0 S Î 0, такие, что для всех t
| / ( 0 | < M e s » ' .
Надо заметить, что в подавляющем большинстве инженерных задач функция / (0 отвечает поставленным условиям. В дальней шем предполагается, что рассматриваемые функции-оригиналы удовлетворяют этим условиям. К оригиналам нельзя, например, отнести функцию / (0 = еіг, так как она не удовлетворяет указан ным требованиям.
Если |
/ (/) |
удовлетворяет сформулированным трем условиям, то |
при а > |
5 0 |
lim f (t) erpt -> 0 и интеграл (11.1) существует. |
( — оо
Особо подчеркнем, что между изображением и оригиналом нет равенства, а есть только соответствие. Это важное положение под черкивается условной записью, связывающей изображение с ори гиналом. В литературе встречаются следующие виды символов, связывающих оригинал с его изображением:
f(t)^F(p), F(p)=X{f(t)},
f(t) = F(p), f(t) = %-i{F(p)}u |
др. |
Соответствие между оригиналом и изображением будем запи сывать в таком виде: /(/)== F (р) или F (р) Ф f (t). Такая запись означает, что заданная функция f (t) имеет своим изображением функцию F (р) или изображение F (р) имеет своим оригиналом / (t).
Наряду с преобразованием Лапласа широко используется также преобразование Карсона—Хевисайда:
|
со |
|
FK(p) |
= p\t(t)z-ptdt. |
(11.2) |
|
о |
|
(индекс «/С» указывает на |
преобразование по Карсону, |
которое |
отличается от преобразования по Лапласу множителем р). Сопо ставляя (11.1) с (11.2), можно установить, что
F*(p) = pF(p),
т. е., зная изображение по Лапласу, легко найти изображение по Карсону и наоборот.
Преобразование по Карсону имеет некоторое преимущество. По Карсону размерность оригинала и его изображения одинаковы, что не имеет места в преобразовании по Лапласу. Тем не менее будем пользоваться преобразованием Лапласа, так как оно тесно связано с преобразованием Фурье и может трактоваться как обобщение
преобразования |
Фурье (см. гл. X I I ) . |
|
§ 11.3. |
Основные свойства преобразования Лапласа |
|
и |
изображение простейших функций |
|
В первую очередь укажем, что соответствие между |
оригиналом |
и изображением |
взаимно однозначны, т. е. что каждой функции |
/ (t) соответствует |
одна вполне определенная функция |
F (р) и нао |
борот. |
|
|
|
При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение
af(t)=aF(p). (11.3)
Действительно
СО |
CO |
$ af (t) (ГрІ |
dt = a]f(t) e'pf dt = aF (p). |
b |
о |
Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (изображение линейной комбинации оригинальных функций есть линейная ком бинация изображений):
|
(О + oaf2(0 + --- + akfk |
( / ) + . . . + ajn |
(t) |
# |
|
|
= öi^i (p) + a2F2 |
(p) + ... + akFk(p)+... |
|
+ anFn |
(p), |
(11.4) |
т. |
e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^fk |
(0 = |
2 |
akFk (p). |
|
|
|
|
|
Доказательство вытекает непосредственно из свойств опреде |
ленного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Изображение единичной функции. Вычислим |
изображение |
единичной функции / (t) = 1 (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p)=^ |
1 ( 0 е - ^ Л |
= |
- 1 | е - ^ | » |
= |
1 |
|
(11.5а) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображение |
постоянной |
А, |
возникающей |
в |
момент |
времени |
/ = |
0, легко найти, если ее представить |
с помощью единичной |
функции как некоторую функцию времени, записав / (t) = |
А • 1 (/). |
Тогда на основании (11.3) будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
f(Q=A-l(f) |
|
= A±. |
|
|
|
|
(11.56) |
|
Изображение |
постоянной |
равно |
самой |
постоянной, |
деленной |
на |
р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, если бы мы пользовались преобразованием |
по Кар- |
сону, то изображением постоянной была бы сама |
постоянная: |
|
|
f(t) |
= A-l(t)=FK(p) |
= |
A |
|
|
|
|
иразмерности оригинала и изображения были бы одинаковыми.
2.Изображение импульсной функции. Фильтрующие свойства импульсной функции, изложенные в гл. X (см. формулу 10.60),
позволяют найти |
изображение |
ô (/). |
Так как интеграл от ô (t) |
в интервале существования |
ô (/) |
равен |
единице, |
|
оо |
|
|
оо |
F(p) |
= \ e~pt8 (t) dt = е"р о \ 6 ( / ) Й = 1 . |
|
о |
|
|
ü |
В результате получаем |
операторное соотношение |
|
|
о(0 = 1. |
(11.6) |
Изображение импульсной функции равно единице. Аналогичным
образом |
можно найти |
изображение |
|
|
|
|
|
|
Ô ( * - * ! ) = е - Р ' « . |
|
Этот же результат |
можно получить при помощи теоремы запазды |
вания |
(см. § 11.10, 2). |
|
|
|
функции. Пусть / (/) = е~а' |
3. |
Изображение |
экспоненциальной |
(а — положительное вещественное число), тогда |
|
|
со |
со |
|
|
|
|
Г = _ І - |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(р) = |
j & a t z p t |
dt=^ |
e'^Pi1 |
dt = - |
-^— |
\e-W |
Таким |
образом, |
|
|
|
1+ p " |
|
|
|
|
|
|
e ш |
= •a |
|
(11.7) |
Если положить, что а = —/со, то
е№" = - 1
р — іш
Зная изображение показательной функции, можно найти изо бражение синусоидальных функций, используя формулу (11.4) преобразования Лапласа. Выше было найдено
е>ш' = cos at + j sin at—- |
г— = ', • „ . |
1 1 |
' p — /со |
p 2 - f - o j 2 |
Сопоставляя вещественные и мнимые части, получим cos at = р 2 + со2 '
sin at |
CO |
' p 2 - j - CO2 |
Пусть
/ = I m sin (at + \p) = / m |
cos г|з sin at + |
I m sin i|) cos со/. |
|
Изображение тока |
обозначают |
|
/ (р) или t. |
|
|
|
|
/ ІР) = Іт COSIp- |
/ т sinop |
3 + [ û 2 ' m |
/ . |
^ |
І Й ^ 1 . |
(11.10) |
p2 + |
C Û 2 I ' m — T |
p |
|
p2+ |
( û 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
4. Изображение /л . Пусть / (/) = |
t, тогда F (p) = $ /е~р ' |
Инте- |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
грируя по частям (\judv = uv — \)v du^j и полагая, что и — t,a |
é~ptdt~ |
= du, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F{P) = |
-pt |
|
р-р/ |
|
1 |
|
-pt |
= £ , |
(11.11) |
- s - |
|
— |
dt = 0 + ~ |
|
|
|
p |
|
' p |
|
|
|
~ p 2
Найдем |
изображение функции |
/(/) = --, |
где п\ —факториал и |
п > 0. Имеем |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï1 |
|
|
|
|
|
F(p). |
|
-pi |
dt. |
|
Этот интеграл легко вычисляется по частям: |
оо |
|
|
|
оо |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
1)1 |
Таким |
образом, изображение |
|
|
равно |
изображению ^ _ ^ ] |
деленному на р. Принимая во внимание (11.11), находим |
|
Р |
. |
1 |
t3 |
|
1 |
|
|
|
2! |
• |
рз ' |
3! ~ |
р* |
И Т < Д - |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
г>Я+1 I |
|
|
|
(11.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 11.4. Изображения производной и интеграла функции
1. Изображение производной. Допустим, дана некоторая функ ция / (/) и известно ее изображение F (р). Найдем изображение про изводной этой функции. Пусть /' {t) = ф (/), и требуется найти ее изображение Ф (р). Тогда
|
|
ОО |
|
СО |
|
0 0 |
5 e'pt df (t). |
|
ф (р) = |
\ ф (0е - р ' Л = |
5 /' (/) e-pt dt = |
|
|
О |
О |
|
О |
|
|
Интегрируя |
по |
частям, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
Ф (р) H е-*/ (0 I f - |
( - Р ) \ f (t) e'pt |
dt = |
|
|
|
со |
|
О |
|
|
|
|
|
/(/) e-ptdt = |
PF(p)-f(0) |
|
= |
- / ( 0 ) + Р $ |
|
|
|
о |
|
|
|
|
/так |
как lim f (t) e'pt |
= 0 согласно условию |
существования инте- |
\ |
г — 0 0 |
|
|
|
|
|
|
грала Лапласа). Итак, изображение производной имеет вид:
f'(t)=pF(p)-f(0), |
(11.13) |
где / (0) — значение функции / (/) при / = |
0. |
Вычисление производной функции при нулевых начальных усло
виях [/ (0) = |
0] соответствует умножению изображения |
функции |
на множитель |
р |
|
|
f'(t)=pF(p). |
(11.14) |
