Операция дифференцирования оригинала заменяется для изо бражений операцией умножения изображения на р. Множитель р играет роль оператора: умножение изображения на р соответствует дифференцированию оригиналов (при нулевых начальных условиях). Используя формулу (11.14), можно найти вторую производную оригинала:
/ " (О = ф' (0 = рФ (р) - Ф (0) = р [pF (р) - / (0)] - / ' (0),
или
Г(І)ФР2Р(Р)~РІ(0)-Г(0). (11.15)
Повторяя эти вычисления п раз, получим изображение произ водной оригинала п-го порядка:
/(») (/) == p*F (р) - р*-Ц (0) - р - 2 / ' (0) - . . . - р ' 1 ' (0),
или
/(») (t) Ф p"F (р) - |
2 P( "-f t ) /c f t _ 1 ) (0), |
(П.16) |
где |
*=і. |
|
|
|
/(0) = / W U |
/( f t ) (0) = ^ f |
|
При этом предполагается, что f (t) и все ее производные до п — 1 включительно непрерывны.
Если начальные значения самой функции и всех ее производ ных равны нулю, то изображение первой и высших производных упрощается и находится по изображению исходной функции простым умножением на множитель р в степени, соответствующей порядку производной:
/ ' ( / )# pF(p),
f(ft> (0 #pf t F(p).
2. Изображение интеграла. Известно изображение некоторой функции / (/). Требуется определить изображение функции, явля ющейся интегралом функции / (/):
q(t) = {f(t)dt.
о
о
Так как / (/) = г|/ (t) ф ргр (р)-ар (0), a гр (0) = \ f (t) dt - 0, то
о
/ ( 0 # Ж Р ) -
Но изображение / (t) Ф F (р) известно. Стало быть можно запи сать
. /Г (р) = ргр(р).
Таким образом, окончательно имеем
о
Интегрированию функции / (t) в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р. При многократном инте грировании в пределах от нуля до t можно получить общее і выражение:
/ |
t |
t |
|
|
\dt |
\ |
dt...\f(t)dt |
= £jß-% |
(11.18) |
0 |
0 |
о |
|
|
где я — любое целое |
число. |
|
|
Множитель 1/р перед изображением играет роль оператора, соответствующего операции интегрирования оригинала. Еще раз отметим: формулы (11.14) и (11.17) показывают, что дифференци рование и интегрироване функции / (t) при нулевых начальных
условиях приводит соответственно к умножению и делению |
изобра |
жения F (р) на р. |
|
|
Дифференциальные и интегральные операции над / (t) |
приводят |
к алгебраическим операциям над F (р). Этим объясняется |
то гро |
мадное упрощение, которое вносит в расчет переходных |
процессов |
операторное исчисление. |
|
|
Найдем теперь изображение неопределенного интеграла:
q(t) = \f(t)dt.
Как известно, неопределенный интеграл вычисляется с точностью до произвольной постоянной. Для большей наглядности наших рассуждений возьмем конкретный пример и найдем изображение напряжения на конденсаторе:
Но в этом выражении не учтено, был ли заряжен конденсатор до начала переходного процесса. При ненулевых начальных усло виях к моменту t = 0 конденсатор уже заряжен до некоторого установившегося напряжения ис (0) и, следовательно, обладает запасом энергии. Для того чтобы учесть ненулевые начальные условия, напряжение на конденсаторе нужно записать так:
— со
Иначе говоря, неопределенный интеграл следует рассматривать как некоторый определенный интеграл с нижним пределом в общем случае равным — оо и переменным верхним пределом t. Такая
запись позволяет представить ис в более общем виде:
|
о |
Первое слагаемое |
^ і dt определяет значение напряжения на |
— оо
конденсаторе к моменту возникновения переходного процесса в цепи. С учетом сказанного
uc = ^ i d t + uc(0). |
(11.19) |
u
Изображение напряжения на конденсаторе в этом общем случае можно найти, используя (11.17) и (11.5):
Второе слагаемое в (11.20) есть изображение постоянного напря жения ис (0) = const.
§ 11.5. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
при нулевых начальных условиях
Напомним, что задачами с нулевыми начальными условиями являются задачи, в которых рассматриваются цепи, не обладавшие до коммутации запасом энергии, т. е. цепи, в которых до начала переходного процесса все токи в индуктивностях и все напряжения
на емкостях |
равнялись нулю. |
|
1. Закон |
Ома. Пусть цепь из последовательно |
соединенных |
r, L и С с нулевыми начальными условиями в момент t = 0 включа |
ется на напряжение u (см. рис. 10.1). Для такой цепи |
справедливо |
уравнение |
|
|
|
i |
|
|
i r + L j t + h\ l d t = u - |
|
|
о |
|
Применим к левой и правой частям настоящего уравнения |
преобра |
зование Лапласа, т. е. умножим каждое слагаемое левой |
и правой |
частей уравнения |
на е~р' и проинтегрируем его в пределах от нуля |
до бесконечности. |
|
|
|
В результате |
получим соответствующее |
уравнение, но уже в |
операторной форме: |
|
|
ri {p) + LpI (p) + ~I(p) = |
U(p), |
|
или
Это равенство можно записать в форме закона Ома:
І(Р)= |
U [ P ) |
, • |
(11.21) |
r + L"+Cp
Знаменатель формулы (11.21) называется сопротивлением (пол ным сопротивлением цепи в операторной форме):
Z(p) = r + pL + ± .
Закон Ома в операторной форме при нулевых начальных усло виях имеет вид
/(р)ѵ>= z (р)^•
Составляющие ri (p), Lpl (p), ~ / (р) представляют в оператор ной форме соответствующие падения напряжения на отдельных
элементах последовательной цепи.
Каждое из этих напряжений получено в результате умножения изображения тока на сопротивление участка цепи, записанное в опе раторной форме. Из (11.21) следует, что сопротивления отдельных
элементов цепи в операторной |
форме равны: |
г — активное сопротивление в |
операторной форме; |
pL — индуктивное сопротивление в операторной форме; —, — емкостное сопротивление в операторной форме.
Нетрудно заметить, что структура полного сопротивления цепи в операторной форме и полного сопротивления в комплексной форме
Z (/со) == г + /coL + -j^r подобны. Для того, |
чтобы от |
комплекс |
ного сопротивления перейти к операторному, |
достаточно |
/со заме |
нить на р. Сопротивление цепи в операторной форме — оператор ное сопротивление Z (р) — есть новая, более общая форма сопро
тивления. |
Например, |
комплексное сопротивление |
Z.(jw) |
можно |
рассматривать |
как частный |
случай |
Z (р), |
когда |
комплексная |
переменная |
р |
принимает чисто мнимое |
значение, равное |
/со. Все |
действия |
над |
операторными |
сопротивлениями |
производятся так |
же, как |
и |
над |
Z(/co), |
т. е. |
аналогичны всем |
действиям, |
приме |
няемым в символическом методе. Подчеркнем, что это сходство чисто формальное. Принципиальная разница очень велика. Применение операторного сопротивления позволяет решать задачи, относящиеся к любому режиму в цепи при любой форме внешнего воздействия. Символический метод и связанное с ним понятие комплексного сопро тивления позволяют решать задачи лишь при гармоническом воз действии и в установившемся режиме. Наряду с операторным сопро-
