Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

тивлением Z (р) применяется операторная проводимость Y (р). Так же, как и в символическом методе, для одной и той же цепи суще­ ствует связь между Z (р) и Y (р):

Проводимость последовательной цепи, содержащей r, L и С, соответственно равна

r-rPL + p C -

Для цепи из параллельно соединенных r, L и С полная прово­ димость в операторной форме Y (р) = ~ + ~ + рС.

2. Первый закон Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа алге­ браическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связанных в один узел, равна нулю:

іі + *я + .•• + *'* + •-. = 0.

Пусть изображение каждого из токов ik по Лапласу имеет вид

h==h (р)-

Тогда для получения записи первого закона Кирхгофа в опера­ торной форме достаточно каждый из токов преобразовать по Лапласу:

e'pt dt = 0.

В силу линейности преобразования Лапласа (см. формулу 11.4) получим

в один узел, равна нулю. Уравнение (11.23) выражает первый закон Кирхгофа, записанный в операторной форме:

/і(/>) + / 2 ( Р ) + • • • + / * (Р) = 0.

3. Второй закон Кирхгофа. По второму закону Кирхгофа в замк­ нутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме э. д. с.

Предположим, что в некоторой разветвленной электрической цепи выбран замкнутый контур. Составим для него по второму закону Кирхгофа уравнение для мгновенных значений. Выбрав

313

направление обхода контура, получим, например, уравнение

ного в полученном уравнении каждое из слагаемых можно заме­ нить соответствующим изображением (напомним, что нами рассмат­ риваются цепи с нулевыми начальными условиями). В результате взамен уравнения для мгновенных значений получим соответствую­ щее операторное уравнение:

Применяя полные операторные сопротивления, получим опера­ торное уравнение в более привычной форме, подобное уравнению в символической форме для комплексных амплитуд:

Уравнение (11.24) и является математической записью второго закона Кирхгофа в операторной форме при нулевых начальных условиях. Алгебраическая сумма изображений падений напряже­ ний равняется алгебраической сумме изображений э. д. с , действую­ щих в выбранном замкнутом контуре. Из (11.24) видно, что закон сохраняет свой смысл и в операторной записи.

Составлять уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме для изображений можно непосредственно, т. е. не прибегая предварительно к составлению дифференциальных уравнений. В этом случае следует поступать так же, как поступали при рас­ чете этих цепей в установившемся режиме символическим методом. Формально законы Кирхгофа для изображений тождественны за­ конам Кирхгофа, записанным для комплексных амплитуд. Струк­ тура же полных сопротивлений и полных проводимостей отдельных ветвей цепи в символической и операторной формах, как отмеча­ лось, идентична и заключается только в замене /со на р. Подобие законов Кирхгофа в обоих методах позволяет использовать все ранее разработанные методы расчета установившихся режимов раз­ ветвленных цепей и при расчете переходных процессов. Иначе говоря, для определения изображений тех или иных переменных можно пользоваться любым удобным методом: методом контурных

314

токов, методом узловых напряжений, теоремой об эквивалентном генераторе и др. Необходимо только записывать уравнения в опе­ раторной форме.

§ 11.6. Определение оригинала по известному изображению

1. Обратная задача операторного метода. Изложенное выше говорит о том, что, пользуясь законами Кирхгофа в операторной форме или каким-либо из методов расчета цепей, вытекающих из законов Кирхгофа (метод контурных токов, метод узловых напря­ жений и т. д.), всегда можно найти изображение, искомой перемен­ ной. Возникает обратная задача операторного метода — найти по известному изображению соответствующий ему оригинал. Ориги­ нал определяется как результат интегрального уравнения Лапласа:

о

где F (р) — известная функция р, а функция времени / (/) — неиз­ вестная, подлежащая определению.

Решение этого интегрального уравнения Лапласа в общем виде может быть найдено с помощью методов теории функций комплекс­ ного переменного. Тогда переход от изображения к оригиналу вы­ полняется с помощью так называемого интеграла Римана — Мелина, являющемуся формулой обращения интеграла Лапласа:

теории вычетов, причем во многих случаях это вычисление оказы­ вается весьма сложным. Поэтому большое значение имеют теоремы, дающие возможность представить изображение в виде суммы более простых слагаемых и тем самым упростить задачу перехода от изоб­ ражения к оригиналу (см. формулу 11.4).

Прежде чем перейти к доказательству общих теорем, позволяю­ щих в большинстве практических задач находить оригинал по из­ вестному изображению, укажем способ определения оригинала по соответствующим таблицам.

Переход от изображения к оригиналу при помощи таблиц соот­ ветствия является чрезвычайно удобным и ценным преимуществом операторного метода. Вместо того чтобы каждый раз находить оригинал по изображению аналитическим путем, следует восполь­ зоваться готовыми таблицами, где приводятся как изображения, так и соответствующие им оригиналы. В табл. 11.1 приведено не­ большое число функций и их изображений. Существуют справоч-

315

ники, содержащие несколько сотен изображений и соответствую­ щих им оригиналов *.

Если найденное изображение несколько отличается от таблич­ ного, то его следует привести к табличному виду. В отдельных слу­ чаях простые алгебраические преобразования позволяют найден­ ное сложное изображение представить как сумму более простых изображений, каждое из которых уже можно с помощью таблиц перевести к оригинальным функциям. При пользовании готовыми таблицами необходимо выяснить, с помощью какого преобразова­ ния они составлены — Лапласа или Карсона.

2. Изображение в виде рациональной дроби. При решении слож­ ных задач по расчету переходных процессов в электрических цепях выражение изображения может быть сложным и отсутствовать даже в подробных таблицах операторных соотношений. В этом случае следует воспользоваться аналитическими методами пере­ хода от изображения к оригиналу. К таким методам относится в пер­ вую очередь преобразование с помощью теоремы разложения, поз­ воляющей по изображению функции в виде рациональной дроби найти соответствующий ей оригинал. В большинстве случаев при расчете переходных процессов операторным методом изображение искомой переменной имеет вид правильной рациональной дроби. Чтобы это показать, найдем изображение одного из токов в цепи, состоящей из s контуров. Ради простоты предположим, что цепь до коммутации не обладала запасом энергии и что в цепи имеется только один источник напряжения, подключаемый в цепь в момент начала отсчета времени. Будем искать ток в контуре, содержащем этот источник. Примем этот контур за первый. Тогда, пользуясь методом контурных токов подобно тому, как это было сделано в гл. IV, легко записать в общем виде изображение искомого тока:

318