Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Определитель А' (р) и алгебраическое дополнение AJ, (р), бу­ дучи развернуты, представляют собой соответственно многочлены степени 2s и степени 2s — 2 с вещественными коэффициентами. В ре­ зультате Z (р) можно представить следующим образом:

где ß и а — постоянные коэффициенты. Отметим также, что изобра­ жения заданных э. д. с. или токов являются обычно рациональными алгебраическими функциями р. Поэтому можно утверждать, что изображение искомой переменной F (р) имеет вид правильной дроби:

Такой вид функции F (р) практически охватывает решение всех задач, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравне­ ниям с постоянными коэффициентами, т. е. весь класс задач, отно­ сящихся к переходным режимам в линейных цепях с сосредото­ ченными параметрами.

Мы определяли ток в том же самом контуре, в котором действо­ вала э. д. с. Это отнюдь не ограничивает общности наших рассуж­ дений. Подобным же образом можно получить выражение изобра­ жения тока в контуре к при включении э. д. с. в контур п.

3 1 9

3. Теорема разложения. Теорема разложения или формула раз­ ложения используется для определения оригинала, когда изобра­ жение искомой функции (тока или напряжения) найдено в виде ра­ циональной дроби:

где А (р) и В (р) — полиномы относительно р. Предположим, что знаменатель В (р) имеет я только простых корней: р 1 ( рг, рк, ...,р„. Наличие только простых корней можно выразить так:

B'(pk)-dB(p) dp

Рациональная дробь щ^у в этом случае может быть разложена на простые дроби, т. е. можно написать

m = l

тфк

Так как это разложение должно быть справедливо для любых зна­ чений р, т. е. соотношение (11.32) представляет тождество, то, под­ ставляя в левую и правую части р = pk, получим справа коэффи­ циент Ак (все остальные слагаемые обращаются в нуль). В левой же части появляется неопределенность. При р = pk знаменатель обращается в нуль, так как рк есть корень уравнения В (р) = 0. Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, найдем:

(индекс p = рк означает, что в выражении производной В' (р) следует подставить рп вместо р). Таким образом,

320

2. Вычисляют производную знаменателя дроби В' (р) и под­

рактеристического уравнения, или, иначе говоря, равно порядку дифференциального уравнения.

§ 11.7. Некоторые вспомогательные приемы вычисления оригинала

Остановимся на некоторых вспомогательных приемах, позволяю­ щих найти оригинал по изображению функции, которое не удовлет­ воряет требованиям, дающим право применить теорему разложения

ввиде формулы (11.34).

1.Рассмотрим случай, когда изображение в виде рациональной

Тогда f (t) = J dr J e-«' dt = e " ^ + a f ~ ' •

о0

2.Пусть изображение искомой функции содержит в знаменателе

В(р) два равных корня рх = р 2 = —а. Теорема разложения в виде формулы (11.34) для определения оригинала не применима, так как изображение содержит кратные корни, т. е. не удовлетворяет требо­ ваниям, сформулированным при доказательстве теоремы. Предпо­

ложим, что корни не равны друг другу, например, рх = —a, a р 2 = —ß = —(а -f- Да). Будем искать оригинал для другого изоб­ ражения, подобного исходному, но не имеющего кратных корней. В этом случае можно применить теорему разложения и найти ори-

322