гинал. Если теперь устремить ß -> а (Да -ѵ 0), то получим ориги нал, соответствующий исходному изображению. Например, тре буется определить оригинал изображения
Определим оригинал другого изображения, подобного F (р):
|
|
|
|
|
|
FiiP) |
= (р + а ) ( р + |
?>)- |
|
|
|
|
Для определения fx (f) воспользуемся теоремой разложения и |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p + a ) ( p + ß) • a - ß l |
|
h |
|
|
|
Теперь |
для |
определения |
оригинала |
заданной |
функции |
f (t) |
запишем fx |
(t) в другом виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Да* |
|
/і (0 = |
|
„ |
J |
- |
U A |
1 ^ |
[ е - ' а + А ° ' ^ - еJ |
- " ] = е - « ' 1 |
е ~ |
|
|
|
а — ( а |
+ |
Д а ) |
|
|
|
|
|
Да |
' |
|
Для перехода |
от /х (0 |
к / (0 нужно |
устремить |
Да -> 0, |
т. е. |
найти значение |
|
|
|
|
|
|
|
1—е" - Да* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/) = |
e - a t |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да-0 |
|
Л а |
|
|
|
|
Раскрывая |
|
по |
правилу |
Лопиталя |
неопределенность, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
= e-att. |
|
|
|
(11.37) |
Рассмотренный прием, очевидно, можно применить и в тех слу чаях, когда знаменатель содержит корни более высокой крат ности, чем вторая.
§ 11.8. Переходные процессы при ненулевых начальных условиях
При ненулевых начальных условиях, в момент коммутации на
чальные значения |
токов в |
ветвях, содержащих |
индуктивности, |
и напряжения на |
емкостях |
не равняются нулю. |
Цепи обладают |
до возникновения переходного процесса запасом энергии в виде энергии электрического и магнитного полей.
Естественно, ненулевые значения |
токов в индуктивностях |
h (0) ф- 0 и напряжений конденсаторов |
ис (0) ф 0 должны быть |
учтены при составлении операторных уравнений. Надо ожидать, что законы Ома и Кирхгофа в этом случае изменятся в своей записи и примут более общую форму, из которой как частный случай долж ны вытекать формулы (11.21) и (11.24), справедливые для цепей с нулевыми начальными значениями. Решение задач с ненулевыми на чальными условиями, особенно если расчету подлежат разветвлен-
ные цепи, удобно производить в два приема. Вначале составляются дифференциальные уравнения, а затем с помощью преобразования Лапласа переводят их в операторную форму. Получение соответ ствующих уравнений в операторной форме не вызывает затрудне ний, поскольку все основные операции перехода рассмотрены выше.
Пусть цепь из последовательно соединенных л, L и С (см. рис. 11.1), в которой действует э. д. с. е, находится в установившемся режиме. В цепи протекает ток /, а конденсатор заряжен до напря жения ыс . По заданным параметрам цепи и известной э. д. с. е ток и напряжение на конденсаторе в установившемся режиме легко вычисляются известными методами. Будем считать, что они опре делены.
Предположим далее, что в некоторый момент времени (t = 0) величина э. д. с. источника е изменилась, в результате чего в цепи возникает переходный процесс при ненулевых начальных условиях. Найдем начальные значения переменных і (0) и ц с (0).
Запишем уравнение цепи:
Г І + 1Ш |
+ |
І J i d t = e |
или |
|
I |
|
|
ri + Ljt + |
~ |
і dt + uc(0)=e. |
|
|
о |
Это уравнение легко перевести в операторную форму, восполь зовавшись выражениями (11.13) и (11.19). Получим
ri |
(p)+L[pI |
(p) - |
i (0)] + |
^ |
/ (p) + U-^ |
= E (p) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
[r + Lp + ~]l(p) |
|
= E(p) |
+ Ll (0) |
uc (0) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Определив изображение тока, получим закон Ома в оператор |
ной форме для цепи с ненулевыми |
начальными |
значениями: |
|
|
|
|
|
|
"с (°) |
|
|
|
|
£(р) + Щ 0 ) — 2 — |
|
|
/<Р) = |
|
Ш |
|
— • |
(И-3 8) |
Очевидно, числитель этой формулы следует |
рассматривать как |
некоторую эквивалентную |
операторную э. д. с. щепи. Он состоит |
не только из внешней э. д. с. Е (р), |
но и еще из двух дополнитель- |
|
|
— «г (°) |
|
|
|
ных слагаемых Li (0) |
и |
^ |
, учитывающих ненулевые началь |
ные условия |
цепи. Эти слагаемые можно назвать внутренними или |
расчетными |
э. д. с. Они характеризуют влияние начального запаса |
энергии катушки |
и |
конденсатора на |
переходный процесс |
в цепи |
(рис. |
11.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй закон Кирхгофа в операторной форме при ненулевых |
начальных условиях |
можно записать, |
применяя для каждого кон |
тура |
сложной цепи формулу, |
аналогичную (11.38): |
|
|
ги + Lkp + ç^j h |
(p) - |
Luik |
(0) + |
^Ek(p). |
|
Обозначая |
rk |
+Lkp |
+ ^ |
~ |
Zk |
(p), |
перепишем |
уравнение |
Кирх |
гофа в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П. |
|
|
|
П г |
|
|
|
|
|
2 |
/* (P) zk |
(р) = |
2 |
L£* ( P ) + ( 0 ) - |
~ г - |
(11.39) |
Существенно подчеркнуть, |
что при выбранном направлении об |
хода |
контура |
слагаемые вида |
Lkik |
(0) входят в правую часть равен |
ства со знаком «плюс», а слагаемые вида |
со знаком «минус», |
если их положительные направления, при которых они были определены, совпадают с направлением обхода кон тура. На основании сказанного может быть построена эквивалентная опера торная схема, отличающаяся от задан ной тем, что в ветви, содержащие ин дуктивности с ненулевыми начальны ми условиями, вводятся источники напряжения с напряжением Lkik (0). А в ветви, содержащие емкости, —
источники с напряжениями |
(0) |
|
Рис. |
11.1 |
|
— |
|
|
|
|
Если |
рассматриваемая |
цепь |
имеет |
нулевые |
начальные |
условия |
г'*(0) = |
0 и и с к (0) = |
0, |
то уравнение |
(11.39) |
переходит в |
ранее |
найденное уравнение |
(11.24) — обычную форму записи |
второго за |
кона Кирхгофа в операторной форме.
Положительное направление напряжений источников с напряже нием Lkik (0) должно совпадать с положительным направлением тока ік (0), а положительное направление напряжений источников
|
(0) |
с напряжением |
должно быть противоположно « с . (0). |
§ 11.9. Пример расчета переходного процесса в сложной цепи при ненулевых начальных условиях
Электрическая цепь рис. 11.2 питается источником с напряже нием Е = 600 е. В момент, принятый за начало отсчета времени, замыкается ключ К. Предполагая, что к моменту замыкания ключа
К ток в первой катушке уже установился, |
напишем выражения то |
ков в обеих катушках для |
/ 5> 0. |
|
|
|
|
Параметры катушек гх |
= |
10 ом, |
L x = |
0,1 гн |
и г2 — 40 ом, L 2 = |
— 0,4 гн, взаимная индуктивность |
между катушками равна M — |
|
|
= 0,1 гн. Особенность решения вы |
|
|
звана |
тем, |
что |
в момент замыка |
|
|
ния ключа цепь уже обладала некото |
|
|
рым запасом энергии (ненулевые на |
|
|
чальные условия). |
|
|
Напишем уравнения Кирхгофа для |
Рис. 11.2 |
|
обеих |
ветвей |
в |
дифференциальной |
|
форме: |
|
|
|
i1r1 |
+ L 1 § - M d l t |
|
E, |
|
|
|
ldt |
dt |
|
|
|
|
|
du |
dix |
|
|
|
Теперь от самих токов іх и і2 перейдем к их изображениям, ко торые обозначим через Іх (р) и / 2 (р).
Вспомним, что при ненулевых начальных условиях изображе ние производной функции равно
Следовательно,
§ # р М р ) - |
и
так как в момент начала отсчета времени ток в первой ветви был іх = —, а тока во второй ветви еще не было. Напишемте же уравне-
г X
ния Кирхгофа, но в операторной форме
Ыі (p) + pUhiP) — |
— р М / 2 (р) = — |
M |
P |
г я / (p) + |
pL2I2 |
(р)-рМІх(р) |
Находим изображение |
тока |
|
h(p) = E- |
|
|
, + |
p[f |
P3 |
(LxL2 -М*)+р* |
|
|
|
|
р 2 + 300Р + |
|
= |
60- |
|
|
|
|
^ + - 3 - |
Р2 - |
|
+ М^- |
= |
^ . |
|
|
'1 |
|
Р |
|
Ь + |
Ц + |
М) |
+ г, |
(rJ^ |
+ |
bLà |
+ |
r w |
|
^ |
|
|
|
40 |
000 |
|
|
|
Оригинал находим с помощью формулы разложения. В данном случае
Л I \ 2 1 О Л Л I 4 0 0 0 0
|
в , |
s |
» , |
800 |
„ . 40 ООО |
|
|
В(Р) |
|
= |
|
Р3+^-РЧ—д-р. |
Корни уравнения В (р) = |
0 |
|
|
|
|
Рі = 0> Pi — — 200 |
сек-1, |
рз = — 66,7 сек-1, |
В(р) |
= р(р + 200) (р + |
66,7), |
ß ' (р) = р (р + |
200) + р{р + 66,7) + |
(р + |
200) (р + 66,7). |
Ток |
|
|
|
|
|
|
|
/1 = |
6 0 - |
1 5 е ~ 2 0 Ш + |
1 5 е - 6 6 . 7 ' |
[а]. |
Изображение тока і2 |
и ток і2 |
находим аналогичным образом: |
4 = |
1 5 - 7 , 5 е - 2 0 0 ' - 7 , 5 е - 6 6 . . 7 < |
[а]. |
§ 11.10. Некоторые теоремы операторного метода*
Докажем некоторые теоремы, позволяющие увеличить круг основных операторных соотношений. Эти теоремы находят непо средственное применение при теоретических исследованиях и при решениях ряда задач. В частности, таких задач, при решении ко торых необходимо обойти некоторые ограничения, принятые при выводе теоремы разложения.
1. Теорема подобия. Теорема позволяет определить изображение функции ф(/) = / (at), где а — некоторая положительная постоян ная, если известно изображение / (t) == F (р). Иначе говоря, тео рема позволяет определить изображение временной функции при изменении масштаба ее аргумента. Если временная функция яв ляется аналитическим выражением колебательного процесса, то теорема подобия позволяет записать изображение функции при из менении частоты колебания оригинала по известному изображению первоначальных колебаний:
|
ф (р) = со |
5 / (at) e~pt |
dt. |
|
|
|
о |
|
|
|
Обозначим |
at через К, |
тогда |
dt = ~d\ |
получим |
Ф(р) = |
= \ / (À)e " |
— dK. Если |
далее положить |
-^ = р 1 ; то |
|
|
|
со |
|
|
|
* В табл. 11.2 приведены некоторые теоремы операторного исчисления.
