Т а б л и ц а 11.2
Некоторые свойства преобразований Лапласа
1 Теорема линейности
2Дифференцирование ори гинала
3Интегрирование оригинала
4Дифференцирование изоб ражения
5Интегрирование изображе ния
6Теорема подобия
7Теорема запаздывания
|
8 |
Теорема |
смещения (зату |
|
хания) |
|
|
|
|
|
9 |
Теорема |
свертки (умноже |
|
ния изображений) |
|
|
Формулы
п п
2 |
aefe (0 Ф I] |
aeFe (p) |
s = l |
e=l |
|
/' (0 = pF (p) - |
f |
(0+) |
n |
|
|
/<»> (0 =bp"F (p) - 2 |
fte~X) |
(0) pm~e) |
e = |
\ |
|
0
(...S/«flWC#, <?
0 0
F' |
(p)= - //(0 |
ft n ' |
(P) Ф ( - 07 (0 |
С О |
|
Д ^ - У = е - ^ ( р )
Ht)e-*=F |
(p + a) |
i |
|
Fx (p)Fi(p) = \f1 |
( T ) / , ( * - T ) . d T = |
0 |
|
г |
|
Возвращаясь вновь к обозначению переменной через t,
со
ij j / ( 0 e - ^ = i / 4 P l ) = i F
Окончательно имеем
/ (at) =± — F |
\а |
(11.40) |
' 4 |
' • а |
т. е. умножение аргумента оригинала на положительное постоян ное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения F (р) на то же число а. Например,
Ф (at) = / (hat) = sin k(ùt,
f (t) = sin at == F (p) |
|
a |
Ф(р) = 1 |
со |
p 2 |
+ £ 2 c o 2 ' |
|
+ co2 |
|
|
|
2. Теорема запаздывания. Эта теорема позволяет определить изображение временной функции с запаздывающим аргументом по изображению той же функции, начинающей свои изменения при
t = 0. Иначе говоря, теорема запаздывания позволяет определить изображение функции ф(/) = / (t — tt), которая отличается от / (/) тем, что сдвинута вправо вдоль оси времени на tx\
|
Ф ( 0 |
0 |
при t<Ctx |
|
f(t-h) |
t>ti. |
|
|
Графики функций f (f) и ф (t) приведены на рис. 11.3. Изобра жение определяется так:
со |
со |
Ф ( Р ) = \f(t-ti)e-ptdt= |
Ifit-tàe-Pdt, |
о |
tt |
так как в интервале (0 — tx) функция ф(/) = 0.
Если обозначим |
t — /, |
= |
т, то / = т + і ъ |
dt = |
dt. Для |
новой |
переменной нижний |
предел |
интегрирования |
станет |
равным |
нулю: |
со |
|
|
оо |
|
|
|
$ / ( f - f i ) e - P < Ä = $ / ( T ) e - p < * + ' ' > d T = |
|
: е - р ' ' |
^ / ( т ) е - Р т dx = e-p ''F(p). |
|
(11.41) |
Таким образом, запаздывание функции на время tu т. е. сдвиг исходной функции вдоль оси времени на tlt соответствует умноже нию ее изображения на е~рік Теорема запаздывания дает возможность определить изображение кусочно-непрерывных функций, причем изображение представляет собой непрерывную функцию р.
4>(t)
В качестве первого примера определим изображение прямоуголь ного импульса ср (t), действующего от tx до /2 , (рис. 11.4). Этот им пульс можно записать с помощью единичной функции:
ср ( 0 = 1 ( / - / і ) - 1 ( / - / 2 ) .
Всоответствии с доказанной теоремой изображение
Ф(р) = |
- [ е - * ' — е-р'*]. |
Если tx — О, то |
|
Ф(р) = |
^ [ 1 е - " ' 2 ] . |
Определим изображение последовательности прямоугольных импульсов, возникшей в момент начала отсчета времени (рис. 11.5). Записать ее можно в-следующей форме:
Ф ( / ) = 1 ( 0 - 2 - 1 (t-tà + 2- \Ц-2к)-2- |
1 ( / - 3 / 0 + ... |
Используя теорему запаздывания, получим изображение
1 - 2 - е - Р ^ + г - е - 2 |
^ » |
.2 ±е~3Р^ |
+ ., |
P |
P |
Р |
|
Р |
|
= 2 - ( 1 |
• е - ^ |
+ е- |
.е-зр<.4....) |
— - 1 . |
р ѵ |
|
|
|
|
|
Выражение в скобках представляет собой геометрическую
прогрессию со знаменателем |
прогрессии — e'pti. |
Окончательно |
|
|
Ф(р) |
1 |
1— е — р і і |
Р |
1 + е - -pti |
3. Теорема смещения. Теорема смещения позволяет по извест
ному изображению |
функции. / (t) == F (р) найти |
изображение но |
вой функции ср (/), |
которая отличается от / (/) |
экспоненциальным |
множителем ë~at, где а — постоянное |
число. |
|
|
Новая |
функция |
имеет вид ср (t) = |
f (t) e~at. |
Изображение |
|
|
со |
|
со |
|
|
|
|
Ф (р) = 5 ср (/) е-p t |
dt = \ f (t) е- <а + р > ' |
dt. |
|
|
n |
|
о |
|
|
|
Обозначив |
р + а = ри |
получим |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
Ф (p) = l f |
(t) е - |
dt = F (Pl) = F (p + |
a). |
|
|
о |
|
|
|
|
|
Таким образом, умножение временной функции / (t) на экспонен циальный множитель вида ë~at влечет за собой «смещение» в области изображений независимой переменной р на р + а. Математически сущность теоремы смещения записывается так: если
f(f) |
= F (р), то / (0 е~а ' = F |
(р + а). |
(11.42) |
Поэтому теорему |
и называют теоремой |
смещения. |
Так как |
е~о/ при вещественном положительном «а» указывает на затухание функции, то эту теорему называют также теоремой затухания.
Практически ценность теоремы смещения явно проявляется при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, требуется найти изображение функции
ср (t) = sin cote-™'.
Известно, что sin at ==-тт—•>•
|
• |
p2 + Cû2 |
|
|
|
Согласно найденному соотношению (11.42) |
Ф (р) = ^ |
. |
в |
4. Теорема свертки |
(интеграл |
Бореля). |
Теорема заключается |
следующем: если |
|
|
|
|
то |
h(t) |
= Fi(p), |
f*(f) = |
Ft(p), |
|
|
|
|
|
|
Ф (p) = F, (р) Р(р)фц> |
(t) = ( h (T) |
f2 (/ - T) d t = J f ! (f - |
T) h (T) dT . |
|
|
о |
|
0 |
(11.43) |
|
|
|
|
|
|
Как отмечалось в гл. X, ср (t) называется сверткой функции fx (t) |
и |
/ 2 (0. |
|
|
|
|
