Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Таким образом, произведению изображений двух функций соот­ ветствует свертка их оригиналов. Доказательство этой теоремы при­

В данном случае Fx (p) = F2 (p) = ^ p ^ = e-a '.

Ф (t) = J e-a T e-a ^"T ' dx = e"a f $ dx = te'at,

Теорема свертки широко используется для составления таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или большего числа) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей

-Р + <*

Приняв за параметр а, дифференцируя согласно (11.44), получим

,1

Таким образом, ге~а < = ;—і—-г.

332

Продолжая дифференцирование, найдем

6. Теорема дифференцирования изображений. Продифференци­ руем по р обе части формулы преобразования Лапласа. Получим

Сопоставляя правую часть с левой в соответствии с преобразо­ ванием Лапласа, можно установить, что

F'(p)^-tf(t). (11.46)

§11.11. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Внекоторых радиотехнических системах, счетно-решающих устройствах и схемах автоматического регулирования оказывается необходимым преобразовывать импульсы напряжения в импульсы, пропорциональные производным или интегралам этих напряжений.

Такие преобразования производят цепи, называемые соответ­ ственно дифференцирующими и интегрирующими цепями.

Дифференцирующие и интегрирующие цепи представляют со­ бой так составленные линейные четырехполюсники, что сигналы fx (/), поступающие на их вход, преобразуются в сигналы, пропор­

ников, или в сигналы, пропорциональные $ fx (t) dt на выходе ин-

и

тегрирующих.

1. Дифференцирующие цепи. Простейшим дифференцирующим устройством является индуктивность. Если через индуктивность пропускать ток і, изменяющийся с течением времени, то напряже­ ние на индуктивности окажется пропорциональным производной

этого тока по времени:

г di

UL-L-Д.

С помощью емкости можно преобразовать напряжение, прило­ женное к емкости, в ток через емкость, пропорциональный произ-

ззз

водной напряжения по времени:

на выходе. Это преобразование напряжения в напряжение можно приближенно осуществить с помощью двухэлементных схем, изо­ браженных на рис. 11.6 и 11.7.

Если в цепи рис. 11.6 выбрать сопротивление г и индуктив­ ность L такими, чтобы характер изменения тока в цепи мало за­ висел бы от L, а определялся бы главным образом сопротивлением

'г

г, то форма тока в цепи практически будет повторять форму напря­ жения, приложенного ко всей..цепи. Напряжение же на выходе че­ тырехполюсника, т. е. на индуктивности, будет соответствовать производной напряжения на входе.

Для пояснения сказанного напишем уравнение Кирхгофа для цепи рис. 11.6:

Напомним, что умножение изображения на р соответствует диф­ ференцированию оригинала. Следовательно, напряжение на выходе пропорционально производной напряжения на входе:

du-.

При любой форме сигнала, поступающего на вход устройства, операторное сопротивление индуктивности pL должно быть много меньше активного сопротивления г:

I PL i < г.

334

Поясним смысл этого неравенства на частном примере. Пусть на вход дифференцирующего четырехполюсника подается напряже­ ние в форме последовательности импульсов. Разложим эту последо­ вательность на гармонические составляющие. В этом случае р — = jkiù, где ka — угловая частота k-н гармоники разложения. В рас­ сматриваемом случае условие дифференцирования сводится к не­ равенству k(àL <; г.

Таким образом, в дифференцирующей цепи при подаче на вход последовательности импульсов сопротивление г должно быть много больше сопротивления, оказываемого индуктивностью высшим гар­ моническим составляющим напряжения на входе цепи. Независимо от характера сигнала дифференцирование будет тем точнее, чем меньше постоянная времени цепи т = L/r по сравнению с длитель­ ностью дифференцируемого сигнала. При разложении сигнала, поступающего на вход на гармонические составляющие, можно напи­ сать

где Tk — период учитываемой высшей гармонической составляющей. В дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 11.7, выход­ ным напряжением четырехполюсника служит падение напряжения на г. В этой схеме сопротивление г должно быть весьма малым по сравнению с операторным сопротивлением емкости. Это следует из

уравнения Кирхгофа для цепи с г и С:

I(p)r + I(p)-^U1(p).

можно малыми.

Иными словами, и в цепи с г и С, как и в цепи с г и L, постоянная цепи должна быть возможно малой, и чем она меньше по сравнению с длительностью дифференцируемого сигнала, тем точнее диффе­ ренцирование. Однако чем меньше т, тем меньше численное зна-

335

чение « 2 = T d | . Поэтому в обеих схемах требуются усиления вы­ ходного напряжения. Это усиление осуществляется обычными для

радиотехники средствами.

При использовании дифференцирующей цепи выбор схемы с ем­

Допустим, что сопротивление г в цепи рис. 11.8 столь мало, что напряжение на катушке и напряжение, приложенное ко всей цепи, можно считать одинаковыми:

I(p)r + UL(p) = U1(p),

где

Тогда напряжение на активном сопротивлении или напряжение на выходе четырехполюсника в любой момент времени окажется пропорциональным интегралу входного напряжения:

1 / . Ю _ , И , _ й М . £ _ Ш й

где т = Ыг — постоянная времени цепи. Возвращаясь к оригиналам, напишем

«г {t) = \ ^ "і dt.

Для большей точности интегрирования следует выбрать г воз­ можно малым, a L большой. Другими словами, постоянная времени цепи должна быть возможно большой по сравнению с длительностью интервала,интегрирования.

Если опять напряжение на входе интегрирующей системы раз­ ложить на гармонические составляющие, когда р = /&со, то ока-

336