Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 209

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

проводнике. Эта

зависимость изображена

в виде

прямой линии

на рис.

1.14.

 

 

 

 

График, изображающий зависимость напряжения на двухпо­

люснике от тока через двухполюсник, называется

вольтамперной

характеристикой

этого

двухполюсника.

 

 

В том

случае,

если

сопротивление пассивного

двухполюсника

не зависит ни от тока через двухполюсник,

ни от

напряжения на

нем, его вольтамперная характеристика будет представлять собой прямую линию, проходящую через нуль. Поэтому такие двухполюс­ ники и называются линейными.

Не все сопротивления, однако, линейны. Кривая б рис. 1.14 представляет собой вольтамперную характеристику такого двух­ полюсника, сопротивление которого возрастает с увеличением тока. Примером такого двухполюсника может служить лампочка нака­ ливания с вольфрамовой нитью. Удельное сопротивление вольфрама

растет

с

увеличением

температуры,

 

и,

следовательно,

с

ростом

тока че­

 

рез

нить

накаливания.

На

 

рис.

1.14

 

кривая в

изображает

вольтамперную

 

характеристику

газоразрядного

при­

 

бора.

Согласно

этой

 

вольтамперной

 

характеристике

сопротивление прибо­

 

ра с увеличением тока должно па­

 

дать.

Характеристики

 

б, в, и г при­

 

надлежат

сопротивлениям,

не подчи­

 

няющимся

закону Ома.

 

 

 

 

Таким

образом,

лампа

накалива­

Рис. 1.14

ния

и газоразрядный

прибор

являют-

ся

нелинейными

сопротивлениями.

 

Если

в электрической

цепи

имеется хотя

бы один нелинейный

пассивный

элемент,

или э. д. с ,

или задающий ток одного из ге­

нераторов

изменяются

 

при

изменении нагрузки, вся цепь должна

рассматриваться

как

цепь

нелинейная.

 

2.

Первый закон

Кирхгофа.

Немецкий

физик Г. Р. Кирхгоф

в 1845 г. установил законы равновесия в электрических цепях. Уравнения, составленные согласно этим законам, называются урав­ нениями Кирхгофа.

Первый закон определяет баланс токов в узлах электрической цепи: алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи, равна нулю; или сумма токов, уходящих от узла электрической цепи, равна сумме токов, приходящих к этому узлу.

Уходящие токи будем считать положительными, приходящие — отрицательными. Математическое выражение первого закона Кирх­

гофа

имеет вид

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

/1 +

/2 + /3 +

... + гп =

0. или

£ i ' f t = 0,

(1.9)

где k

— номера

ветвей,

связанных

данным

узлом.

 

31

Рис. 1.16

Первый закон Кирхгофа вытекает из того, что в узле не могут накапливаться электрические заряды п поэтому заряды, переноси­ мые токами к узлу и уносимые от узла за любой промежуток вре­ мени, должны быть одинаковы.

 

 

 

 

Рис.

1.15

 

 

 

 

 

Уравнение в соответствии с первым

законом

Кирхгофа

для

узла,

изображенного

на рис. 1.15, а,

имеет вид

 

 

 

 

 

 

н + н + h

 

 

 

о,

 

 

и для

узла,

изображенного на

рис.

1.15,

б,

 

 

В последнем уравнении нет ошибки, так

как стрелками на рису­

нке обозначены

не направления

токов,

а направления, в которых

 

l9

Li

 

 

 

 

мы

решили считать

токи

 

I

:

 

1

положительными. А эти на­

 

 

 

 

 

 

 

правления

могут случайно

 

 

 

 

 

 

 

совпадать или не совпадать

 

 

 

 

 

 

 

с направлениями самих то­

 

 

 

 

 

 

 

ков. При

выборе положи­

 

 

 

 

 

 

 

тельных направлений

то­

 

 

 

 

 

 

 

ков, согласно рис. 1.1-5, б,

 

 

 

 

 

 

 

хотя бы один ток окажет­

 

 

 

 

 

 

 

ся

отрицательным.

 

Первый закон Кирхго­ фа можно обобщить и на «узел», представляющий собой часть цепи. На рис. 1.16 часть

электрической цепи очерчена штриховой линией. Независимо от характера двухполюсников и схемы их соединения внутри обла­ сти, очерченной штриховой линией, алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся в этой области, равна нулю. В данной цепи

Это равенство можно проверить, написав уравнения Кирхгофа для всех узлов, находящихся внутри очерченной области произ-

32

вольной схемы рис. 1.16:

іъ — k — k = О, h — h — к = О,

— h — h к = ^>

4 + г'в + 'в — к = О- Сложив левые и правые части равенств, получим то, что и тре­

бовалось.

 

 

На основании

первого

закона Кирхгофа можно утверждать,

что в схеме рис.

1.16 ів =

— i w .

3. Второй закон Кирхгофа. Второй закон Кирхгофа устанавли­ вает баланс напряжений в контурах электрической цепи: во всяком контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на отдельных элементах контура равна нулю. Математическое выра­

жение закона или

второе

уравнение Кирхгофа

имеет вид

или

 

 

«і +

«2 + «з +

... + "« = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І > А

= 0,

 

 

(1.10)

 

 

 

 

* =

і

 

 

 

 

где k

— индексы

всех активных

и пассивных

элементов

контура,

ик

включая

и

внутренние

сопротивления

генераторов;

— напряжения

на этих

элементах.

 

иначе,

сохранив

Второе уравнение Кирхгофа

можно переписать

в левой части последнего равенства напряжения только на пассив­ ных элементах контура. Напряжения источников напряжений, равные э. д. с. этих источников, можно перенести в правую часть равенства:

пm

 

 

 

 

k — l

n=l

 

 

 

 

где п — число пассивных элементов; m — число источников

напря­

жений.

Читается

это уравнение

так: во

всяком

контуре электри­

ческой

цепи

алгебраическая

сумма

падений

напряжения

равна алгеб­

раической

сумме

э. д. с,

действующих в

этом

контуре.

Следует

подчеркнуть, что

уравнения Кирхгофа

справедливы

независимо

от того, являются

ли величины,

входящие в эти уравнения,

посто­

янными или одновременными мгновенными значениями переменных напряжений и э. д. с.

Справедливость второго уравнения Кирхгофа можно подтвер­ дить следующими соображениями.

Пусть имеется контур сложной электрической цепи, и наблюда­ тель обходит все ветви, образующие данный контур, начиная дви­

жение из произвольной точки

контура. Наблюдатель, совершая

2 п/р, Клящшна

33

обход, записывает все напряжения, встретившиеся на его замкну­ том пути. Напряжения одного направления записываются с одним знаком, а другого — с обрат­

ным.

Обойдя контур из точки с по­ тенциалом фх и вернувшись в исходную точку с тем же потен­ циалом ф ь наблюдатель должен констатировать, что все измене­ ния потенциалов, т. е. сумма всех напряжений, пройденных им, с учетом их направлений, должна быть равна нулю.

 

 

Например,

обходя

контур

PU C

/ /7

/—3—4—7—/,

представляющий

 

 

часть сложной электрической це­

пи (рис. 1.17) и двигаясь по направлению движения часовой

стрел­

ки, наблюдатель

запишет

 

 

 

"21 + «23 + "з4 +

«45 — U,

"18 = 0

 

или

 

65 ' *76 " *87 '

 

 

 

 

(1.12)

"2І ~Ь "34 — "б5 — "76 — "«7 — -23 " 'е45 ~f"еІ8-

Это и есть математическое выражение второго закона Кирхгофа.

Если предположить, что все пассивные двухполюсники пред­ ставляют собой сопротивления, то уравнение можно переписать в удобной для расчета форме, воспользовавшись законом Ома и

заменив напряжения uk на сопротивлениях через

ikrk:

2] hrk

= 2 ер-

(1.13)

* = i

р = і

 

В общем случае, когда контур содержит сопротивления, индук­ тивности и емкости и питание осуществляется источниками пере­ менного напряжения, второе уравнение Кирхгофа имеет вид

 

 

 

(1.14)

4 Здесь, согласно выражениям (1.6) и (1.7), Lk-'^j-

= uLk — мгно^

венное

значение напряжения

на индуктивности,

а

= uck

— мгновенное значение

напряжения на емкости.

Напишем уравнения Кирхгофа, например, для цепи, изображен­ ной на рис. 1.18. Для узла справедливо уравнение:

34

Для левого контура

для правого контура

Выбранные положительные направления токов, необходимые для написания уравнений, указаны на рисунках. Уравнения по вто­ рому закону Кирхгофа составлены при обходе контуров по движе­ нию часовой стрелки.

4. Закон

Джоуля — Ленца. В 1844 г. русский академик

Э. X. Ленц и независимо от него английский физик Д. П. Джоуль

установили

закон выделения тепла

где и

напряжение

на

сопротив-

Рис. 1.18

лении г, равное и = іг. Мощность,

 

поглощаемая сопротивлением г,

или скорость преобразования элект­

ромагнитной энергии

в

тепло

в сопротивлении

г равна

 

 

 

р — іЧ = иі.

(1.16)

В том случае, если и и і изменяются с течением времени, вели­ чина р называется мгновенной мощностью. Мощность, развиваемая генератором напряжения, определяется как произведение э. д. с. генератора е на ток через генератор і

Po = et.

Мощность, развиваемая генератором тока, Ро = ш 0 ,

где г'0 — задающий ток; и — напряжение генератора.

2*

Г л а в а в т о р а я ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА

Изложение теории начинается с цепей, содержащих источники постоянного напряжения, так как исследования таких цепей проще, чем цепей с источниками переменных напряжений. В то же время разрабатываемые в этой главе методы анализа и расчета цепей с по­ стоянными напряжениями в дальнейшем будут обобщены и исполь­ зованы для цепей с переменными напряжениями без повторения всех выводов и доказательств.

§ 2.1. Уравнения Кирхгофа и следствия из них

В этой главе исследуются цепи, в которых токи и напряжения не являются функциями времени, поэтому все производные этих величин по времени должны быть равны нулю. А отсюда следует, что напряжения на индуктивностях и токи через емкости равны нулю:

j di л . „ du л

Понимая под сопротивлением пассивный элемент цепи, на кото­ ром ток создает падение напряжения, говорят, что индуктивность не представляет собой сопротивления при постоянном токе. Ем­ кость же, наоборот, является бесконечно большим сопротивлением в цепи постоянного тока. Поэтому в цепи с источниками постоянного напряжения или тока для определения распределения напряжений и токов в цепи можно исключить все индуктивности, заменив каж­ дую из них отрезком проводника без сопротивления, а также все емкости, разорвав или полностью исключив из цепи все ветви, со­ держащие конденсаторы.

Второе уравнение Кирхгофа для цепи с источниками постоян­

ного

напряжения приобретает вид уравнения (1.11).

1.

Потенциальная диаграмма. Иллюстрацией второго уравнения

Кирхгофа в цепи с источниками постоянных напряжений является потенциальная диаграмма, изображающая потенциалы отдельных точек электрической цепи относительно опорной точки. Такая диа­ грамма представляет практический интерес, так как дает наглядное представление о распределении напряжений между отдельными точками контура и позволяет судить о наивысших потенциалах и о точках равных потенциалов в контуре.

3§

Смотрите также файлы