|
|
|
|
|
|
|
и — число изоляторов на |
1 км длины линии; |
|
ô — эквивалентный угол |
диэлектрических |
потерь |
в изоляции |
кабеля, |
для |
коаксиального |
кабеля |
tg ô = |
10~3 -г- 10~4; |
|
|
|
|
Ф — поправочный |
коэффициент, |
зависящий |
от |
темпе |
ратуры и от типа изоляции симметричного кабеля. |
Числовые значения |
.коэффициентов и |
функций, |
входящих |
втабл. 13.1 и 13.2, приводятся в [8].
Втабл. 13.1 не учтена внутренняя индуктивность линии, кото рая предполагается малой по сравнению с внешней индуктивностью.
Формулы R0, приведенные для в. ч., дают хорошую точность,
если г ѴТ> 700•
Формулы однопроводных линий получены в предположении, что поверхность Земли является идеально проводящей плоскостью. Поэтому действительное значение С„ оказывается больше расчет ного примерно на 30%. К расчетной емкости двухпроводной линии
следует добавить 5% |
из-за |
влияния |
изоляторов. |
|
|
|
В |
табл. |
13.2 |
в строках / = 0 |
и / >> 10 кгц |
указаны |
пределы |
изменения G0 двухпроводной линии в зависимости от погоды. Пер |
вые цифры в скобках относятся к сухой |
погоде, |
вторые—к сырой. |
В воздушных двухпроводных линиях связи и в линиях электро |
передачи можно |
считать |
а"р> r, d — r |
w d и |
поэтому |
упростить |
соответствующие |
формулы. |
|
|
|
|
|
Из |
табл. |
13.1 |
и |
13.2 |
следует, |
что |
параметры линии |
зависят |
от ее |
конструкции, |
геометрических |
размеров, свойств |
материалов |
проводников, свойств окружающей среды и частоты. |
|
|
Для кабелей величина |
С0 значительно больше, а величина L0 |
меньше, чем для воздушных линий, так как провода кабеля рас положены друг к другу ближе, чем провода воздушной линии, и диэлектрическая проницаемость изоляции кабеля больше единицы.
В воздушных и кабельных линиях обычно |
> |
так как |
ВеЛИ- |
Оо |
|
|
|
чина G0 невелика, и, кроме того, величина С0 |
в кабельных линиях |
сравнительно велика. |
|
|
|
Заменив первичные параметры однородной линии сосредоточен |
ными параметрами, получим схему, приведенную |
на рис. |
13.2. |
Линия разбита на одинаковые отрезки, каждый из которых имеет длину, равную единице. Если выбранная единица длины достаточно мала,то приближенноможносчитать.чтовпределах каждого участка, за исключением его границ, величина тока неизменна. Хотя эта
|
|
|
|
схема |
не может служить для анализа явлений, возникающих в ли |
нии, |
ибо она состоит из сосредоточенных, а не из распределенных |
элементов, |
тем не менее на ней можно иллюстрировать основные |
особенности |
работы линии. На каждом погонном участке линии про |
исходит падение напряжения на R0 |
и L 0 и ответвление тока через |
С0 и G„. Поэтому напряжение и ток |
изменяются по длине линии. |
В приведенной схеме эти изменения происходят скачками: в конце каждого участка напряжение отличается от напряжения в начале
участка на величину падения напряжения |
на L 0 и R0, |
а ток |
отли |
чается от тока в начале участка на величину тока ответвления |
через |
С0 и G„. В действительности же изменения |
напряжения |
и тока |
про |
исходят не скачкообразно, а непрерывно от одной точки к другой, ибо любой сколь угодно малый отрезок линии обладает элементар ными индуктивностью, емкостью, сопротивлением и проводимостью изоляции. Чем меньше выбранная единица длины, тем ближе к дей ствительному распределение тока и напряжения в приведенной схеме.
Рис. 13.2
Таким образом, в отличие от цепей с сосредоточенными парамет рами, нельзя считать, что ток в линии замыкается от полюса источ ника э. д. с. через прямой провод, нагрузку и обратный провод линии на второй полюс источника. Надо считать, что в каждой точке одного провода линии ток разветвляется, частично замыкаясь на другой провод.
§ 13.2. Дифференциальные уравнения длинной линии
На практике применяется много разновидностей однородных и неоднородных линий. Однако нет надобности рассматривать теорию
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждого |
типа |
однород |
|
|
ной |
линии |
в |
отдельно |
|
|
сти. В |
связи с этим рас |
|
|
смотрим |
эту |
задачу |
для |
|
|
однородной |
двухпровод |
|
|
ной |
линии. |
Найденные |
|
|
решения |
будут |
справед |
|
|
ливы и для других типов |
|
|
однородных |
линий. |
|
L0Ax R0âxt |
u(x+âx) |
|
На |
рис. |
13.3, |
а изо |
Ф) |
бражен |
|
короткий |
отре |
|
зок |
Ах |
|
двухпроводной |
C0ûx |
|
линии, |
в |
общем |
случае |
|
х+4х |
неоднородной, |
и |
указа |
|
ны |
положительные |
на |
|
|
Рис. 13.3 |
правления оси |
X от |
ис- |
точника к нагрузке, тока і в прямом проводе и напряжения и меж
ду проводами. Предполагается, что |
э. д. с. источника, включен |
ного в начале линии |
(х = 0), является |
произвольной функцией вре |
мени, что нагрузка |
линии включена |
в ее конце (х — I) и состоит |
из пассивных сосредоточенных элементов и что геометрические размеры линии заданы.
Для изучения физических процессов в линии необходимо знать распределение напряжения и тока по ее длине и во времени.
Рассмотрим две точки с координатами х и х + Ах (рис. 13.3, б), обозначим соответствующие этим точкам напряжения и токи для
любого |
фиксированного |
момента |
времени |
через и = |
и (х), |
и (х + |
+ |
Ах), |
і = |
/ (х) и і (х + |
|
Ах). Напряжение |
и (х + |
Ах) |
отличается |
от |
напряжения |
и (х), так как на |
участке |
Ах происходит |
падение |
напряжения |
на |
индуктивности |
|
L0 Ax |
и |
сопротивлении |
RQAx. |
Поэтому |
можно |
написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (х) —• и (х + Ах) = L0 Ax -^- - f |
RaAxi. |
|
|
|
|
|
Это и последующие уравнения написаны в частных производ |
ных, так как ток и напряжение |
являются |
функциями |
|
переменных |
t |
и X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно изменение тока на участке Ах происходит за счет |
ответвления |
тока |
через |
емкость |
С0 Ах |
и |
проводимость |
изоляции |
G0Ax |
между |
проводами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
(х) — і (х + Ах) = С0Ах ~~ + |
G0 Ax«. * |
|
|
|
|
|
Эти два равенства переписываются следующим образом: |
|
|
и (х) — и (х + дх) |
, |
ді |
I p . |
|
t (х) — і (х + дх) |
r |
du |
. |
г |
|
|
|
|
Гх |
|
~ |
0 |
dt |
|
|
|
Ах |
= |
С° ~дГ + |
|
°°и- |
|
Переходя к пределу при Ах -> 0, получаем в соответствии с опре |
делением производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--dx=L«i |
|
+ |
Ro1' |
- |
è = |
C « W + Go"- |
|
|
|
( 1 3 Л ) |
|
Знаки в левых частях выражений (13.1) обусловлены выбором |
положительных |
направлений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получены дифференциальные уравнения в частных производ |
ных, |
поскольку |
и |
и |
і |
являются |
функциями |
двух |
переменных. |
Они называются телеграфными уравнениями, так как впервые были получены в теории проводного телеграфа.
Заметим, что уравнения (13.1) являются весьма общими, ибо они справедливы для решения задач стационарного и переходного режимов при любой форме э. д. с. источника, включенного в одно родную или неоднородную линию.
* В правой части этого |
выражения следовало бы писать и (х -\- Ах) |
вместо |
и — и (х). Однако |
в этом случае произведения Ах |
^ и Ах и (х + |
Ах) |
дали бы поправку |
второго |
порядка малости, которой |
мы пренебрегаем. |
|
§ 13.3. Решение уравнений для стационарного режима синусоидальных колебаний
Рассмотрим стационарный режим для случая, когда э. д. с. имеет синусоидальный характер. Если э. д. с. изменяется с угловой
частотой |
СО, то напряжение и ток в каждой точке линии будут изме |
няться синусоидально с той же угловой частотой. |
|
Введя |
комплексные |
действующие |
значения * |
напряжения и |
тока сУ, / |
в выражение |
(13.1), |
получим |
|
|
- w =( R o + W ; |
• - |
~к = |
+'mC°)û' |
где Ù и / являются функциями только х, поэтому записаны полные производные.
Переход к этим равенствам от (13.1) можно пояснить следу ющим образом. В соответствии с символическим методом
« = Jm(c7e>M0> i = Jm (te/at),
где Jm означает, что берется мнимая часть произведения. Подста вив последние выражения в (13.1), получим
- |
А- [Jm (Üe^)} |
= |
Lo 4t |
t J m ( / e |
/ W ) ] + R° J |
m |
( / е / и 0 . |
|
- |
- ~ [Jm (!e>*)] = |
C0 - J - [Jm (c7e^)] + |
G0 |
Jm |
(tfe**). |
|
Имея в |
виду коммутативность операции Jm |
и |
учитывая, |
что |
Ü и / не зависят от t, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
- |
Jm |
|
|
= J m |
(/cöL0 /e^ + |
|
R0ie^), |
|
|
- |
Jm ( ~ |
ey m / ) |
= Jm ЦыС0ие^+ |
G0ÜeJ™). |
|
Каждое |
из |
полученных |
выражений |
можно |
рассматривать, |
как |
равенство |
мнимых частей |
двух комплексных векторов. Так как |
эти векторы вращаются |
в |
комплексной |
плоскости, |
равенство |
их |
мнимых частей при любом значении t возможно лишь при равенстве самих векторов. Поэтому, отбрасывая знак Jm и затем сокращая равенства на е/ Ч о / , получим искомые выражения.
Обозначив |
R0 + /coL0 = |
Z0 , G0 + /соС0 = |
Y0, имеем |
где Z0 и У0 |
— комплексные |
сопротивление |
и проводимость еди |
ницы длины линии соответственно. |
|
* В дальнейшем условимся слова «комплексные действующие значения» напряжения и тока опускать и писать «напряжение и ток», а переход к ампли тудам и мгновенным значениям будем оговаривать.
