Дифференциальные |
уравнения |
(13.2) справедливы для |
линии |
любой конфигурации, |
независимо от ее назначения *. Далее |
будем |
считать, |
что линия однородна, т. е. Z0 и У0 не зависят от х. |
Дифференцируя первое уравнение |
(13.2) по х и подставляя в него |
|
di |
|
|
|
значение |
-^— из второго, находим |
|
|
Дифференцируя второе уравнение (13.2) по х и подставляя в него
dû
-^— из первого, имеем
d4
~ - Z Y I = 0. dx* 0 0
Получены однородные обыкновенные дифференциальные урав нения второго порядка с постоянными коэффициентами, одинаковые для напряжения и тока. Для напряжения можем написать
или |
|
|
|
Ù = А&х + ЕсПх, |
(13.3) |
где |
y12 — ±~\/~Z0Y0— корни характеристического |
уравнения |
У2 - |
Z0Y0 = 0: |
|
|
Y = Y l = _ Y2 = | / Z 0 y 0 , |
|
À и В — постоянные интегрирования, которые должны быть опре делены из граничных условий задачи.
Для получения значения / из первого уравнения (13.2) имеем
Дифференцируя равенство (13.3) по х и подставляя в последнее уравнение, находим
/ = |
(Ве'Ух- |
АеУх). |
|
Вводим обозначение ~ — ~ - . |
Тогда |
|
|
^ в |
|
|
1= U e - y * - A Q y x t |
(13 4) |
|
|
^ в |
|
Для того чтобы внести однозначность в определения 7 и ZB , усло вимся под 7 понимать то значение корня j / Z 0 Y o , которому соответ ствует положительная вещественная часть, т. е. Re (7) ^ 0. В этом
* В неоднородной линии Z0 и Y0 зависят от х, характер этой зависимости
определяется типом линии. Поэтому решение уравнений (13.2) должно быть выполнено отдельно для каждого типа неоднородной линии.
случае |
аргумент 7 будет |
удовлетворять условию |
|
|
|
|
- |
л |
^ |
|
_ я |
|
|
|
|
у |
s £ |
arg у =£S -2 . |
|
|
|
Этим же неравенством |
однозначно |
определяется ZB, |
что следует |
из |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
_ _2о_ |
ff |
о + |
/со^-о |
|
|
Из этого выражения однозначно определяется аргумент |
ZB . |
= |
Подставляя значения Z0 и К0 |
в |
выражения у — | / Z 0 F 0 |
и Z„ = |
ZJy, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = V(Ro + |
/coLo) (G0 + /соСо) = KWi. |
|
(13.5) |
причем в (13.6) следует выбирать корень с положительной |
вещест |
венной частью. Величины у и ZB |
называют вторичными, или волно |
выми, параметрами линии, а также параметрами передачи. |
|
Заметим, что параметр |
у в теории линий называется |
коэффици |
ентом распространения, a ZB |
— волновым сопротивлением линии. |
Смысл этих терминов будет разъяснен далее. |
|
|
|
Переходим к определению |
констант À я В. Предположим, что |
граничные условия задачи заданы в виде напряжения и тока в начале линии (рис. 13.4): Ü\x=0 = Üx, І L=o = А- Тогда из (13.3) и
ВА
(13.4) имеем Ux = А + В, |
— j |
— |
7 |
- . |
Из |
этих равенств опре- |
деляются À и В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В= Üi + |
I*z» t |
А= |
Û |
I ~ J |
I Z B . |
|
(13.7) |
Подставляя (13.7) в (13.3) |
и (13.4), |
получаем |
|
|
j _ |
Ol + flZB |
g- yx |
_ |
U\~hZg |
Qyx |
|
(13.8) |
|
|
|
2.ZR |
|
|
|
|
|
2ZB |
|
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еухл_е-ух |
, |
|
|
еУх |
— е~Ух |
, |
Vх> |
|
^ |
= |
ch yx, |
|
|
|
2 |
^ s h |
|
записываем (13.8) в гиперболических |
функциях: |
|
|
Ü = Üxch |
yx — IXZB |
sh yx, |
|
І = Ixch |
yx — -7~ sh yx. |
(13.9) |
Если граничные условия заданы в конце линии (рис. 13.4):
й\х-і = иг, I\x-i = h>
то из (13.3) и (13.4) имеем
02 = АеУ1 + В(
^ в
Из этих равенств определяются А и В:
(13.10)
Подставляя (13.10) в (13.3) и (13.4), находим
£/2 -f-/2 ZB ^ ( i - x ) |
(72 / 2 Z B ( i - x ) |
2ZB |
2ZB |
Очевидно, ^ — X является расстоянием от конца линии до рассмат риваемой точки (см. рис. 13.4). Обозначив / — х — у, имеем
|
Q _ |
U2. |
(~ ^2^В ^уу _|_ U2 |
h^B |
g- уу |
|
|
i |
Uг -\~ h ? - B руу __ t72— / 2 Z B |
|
|
(13.11) |
|
|
|
|
|
|
|
2ZR |
е |
2Z„ |
е |
• |
|
|
Введя |
гиперболические |
функции, |
получим |
|
|
<7 = t72 ch7i/ + |
/2 ZB shYy, |
/ = / 2 |
ch |
+ |
sh уг/. |
(13.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^•в |
|
Таким |
образом, |
в |
качестве решений |
телеграфных уравнений |
для стационарного |
режима |
синусоидальных |
колебаний |
найдено |
|
X |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
х=0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
*Ц'0 |
|
|
|
|
|
Рис. |
13.4 |
|
|
|
|
|
пять пар выражений напряжения и тока, а именно (13.3) и (13.4), (13.8), (13.9), (13.11), (13.12). В дальнейшем для выяснения физи ческой картины процессов, происходящих в линиях при различных условиях и режимах работы, будем пользоваться той парой выраже ний, которую удобно применить в данном случае.
Для полного решения задачи о распределении напряжения и тока вдоль линии необходимо добавить уравнения, выражающие закон Ома применительно к началу и концу линии (см. рис. 13.4):
/1 = -^1-, L = %-. (13.13)
где Ё — э. д. с. в начале линии;
Zx — сопротивление в начале линии, в которое входит и внут
реннее сопротивление |
генератора; |
Z2 — сопротивление нагрузки |
линии. |
Полученные формулы являются общими для всех технических разновидностей однородных линий и применяются для расчетов в самых различных отраслях электротехники и связи.
Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ
§ 14.1. |
Основные |
уравнения |
|
Рассмотрим линию, в |
которой |
отсутствуют |
распределенные |
активные сопротивление |
и проводимость, т. е. |
/?0 = О, G0 = 0. |
Такую линию будем называть идеальной или линией без потерь. Хотя линии без потерь практически нереальны, их рассмотрение представляет большой интерес. В ряде случаев при высокой частоте величины R0 и G0 оказываются очень малыми по сравнению с реактив ными погонным сопротивлением coL0 и проводимостью соС0 и ими можно пренебречь, что чрезвычайно упрощает использование резуль
татов, |
полученных в гл. X I I I , и в то же время обеспечивает доста |
точную |
точность решения ряда |
практических задач, связанных |
с распределением напряжения и тока. |
|
Для |
идеальной линии выражения (13.5) и (13.6) упрощаются: |
|
Y==/Ö>1/LOC0 , |
ZB = |
y^, |
т. е. коэффициент распространения становится мнимым, волновое сопротивление — вещественным. В соответствии с принятыми для этого случая обозначениями
ß |
|
|
|
|
|
Y = 7'ß. |
2 в |
= р, |
|
|
|
|
|
|
и |
р — модуль |
коэффициента |
распространения |
и волновое |
сопротивление линии |
без |
потерь, |
определяются равенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
ß = wyT! A, |
|
|
|
|
(14.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.2) |
Величины |
ß и |
р |
являются |
вторичными |
параметрами |
линии |
без |
потерь. |
Уравнения |
для |
напряжения |
и |
тока, |
полученные |
в § 13.3, |
для |
идеальной линии принимают |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
= &r>P*-Me#* |
/ = A e - / ß * _ A e / ß * |
|
|
(14.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
Р |
|
ѵ |
' |
|
Ü = Ü1cos$x |
— / / i p s i n ß * , |
|
/ = |
/ i c o s ß A r |
— / — |
s i n ß x , |
|
(14.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
|
(14.5) |
|
|
|
/ |
|
Uj + |
hP |
j(,y |
_ |
t72 |
—4p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
e |
|
|
|
2p |
e |
|
|
|
|
|
|
c/ = t72 cosßy + |
y72 psinßz/, |
/ = |
/2 cosß«/ + / - ^ - sinßi/ . |
(14.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
