генератора. При заданных p, Z2 и со изменению у соответствует определенное распределение входного сопротивления вдоль линии. Отделяя вещественную и мнимую части Z, можно написать Z = = Re (Z) + /J m (Z). С изменением у изменяются слагаемые Re(Z) и Jm (Z) уравнения, причем возможно, что при некоторых значениях у мнимая часть Z обратится в нуль, т. е. J m (Z) = 0. Соответствующие сечения линии будем называть ее резонансными сечениями. В них входное сопротивление имеет активный характер. Возможно, что
резонансным сечением является вход линии, тогда |
Jm (ZB X ) = 0. |
В этом случае при условии, что сопротивление Zx |
(см. рис. 13.4) |
активно, генератор работает на активное сопротивление и вся цепь находится в режиме резонанса. Если же сопротивление Zx имеет комплексный характер, то условием резонанса всей цепи является равенство Jm (ZB X + Zt ) = 0.
Представляет интерес режим работы линии на реактивное сопротивление Z2 = /Х2 . Нетрудно видеть из (14.24), что в этом случае
2 = ;„ Х 2 cos ßj/ + p sin ßy p cos ßy — X2 sin f>y
имеет реактивный характер и в зависимости от у может в различных сечениях принимать значения, равные^нулю и равные бесконеч ности. В дальнейшем те и другие сечения будем считать резонанс ными.
Весьма важной является работа линии на активное сопротивле ние, равное р. При Z2 = р из (14.24) и (14.25) следует
т. е. Z не зависит от у, везде вещественно и равно р. Резонансные сечения в такой линии отсутствуют, линия является нерезонансной системой. Рассмотрим этот случай подробнее.
§14.6. Согласованная линия. Бегущие волны
В§ 14.5 отмечалось, что при условии
|
|
|
Z2 = p |
|
(14.27) |
входное сопротивление линии не зависит от у и везде равно |
р. Как |
следует из (14.26), Ц- = |
= —- = р. Из уравнений (14.4), учиты- |
вая их |
= Іх |
р, получим |
|
|
|
|
|
|
|
Ü = Üle-^x, |
/ = |
/ 1 е - ^ . |
(14.28) |
Переходя |
к мгновенным |
значениям |
напряжения |
и тока, |
имеем |
|
« = Um sin № — ß^ + ^ i ) . |
i — hm sin (сс^ — ß*-j-%)> |
(14.29) |
где tyx |
— начальная фаза Ûx |
и [х . |
|
|
|
|
Выражения (14.29) показывают, что в линии существуют только
падающие волны. |
Отсутствие |
отраженных волн вытекает |
также |
из (14.19): р 2 = 0 |
при Z2 = р. |
Следовательно, мощность, |
отдава |
емая генератором в согласованную линию, полностью потребляется
|
нагрузкой, |
в |
которую поступает в |
^ |
виде мощности |
падающей |
волны. |
|
Для наглядности |
представления |
|
о режиме бегущих волн приведен |
|
рис. 14.4, на |
котором дано |
распре |
|
деление напряжения |
(тока) в линии |
|
длиной / через каждую двенадца |
|
тую |
часть |
периода |
Т, |
начиная от |
|
/ — 0, |
т. е. от |
начала |
установив |
|
шегося |
режима. Постоянная |
фаза |
|
гр! принята |
равной л/2. Наклонная |
|
прямая |
1 |
проходит |
через точки с |
|
одинаковой |
фазой бегущей |
волны, |
|
она |
показывает, что за время / = Т |
|
фаза |
|
переместилась |
вдоль |
линии |
|
на расстояние, |
равное |
длине |
вол |
|
ны К. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Режим |
бегущих |
волн представ |
|
ляет |
|
большой |
практический |
инте |
|
рес |
в |
высокочастотных |
|
фидерных |
|
линиях, |
предназначенных, |
напри |
|
мер, |
|
для передачи |
электрической |
|
энергии |
от |
генератора |
радиостан |
|
ции к антенне и в линиях провод |
|
ной |
связи. Преимущества этого ре |
|
жима |
таковы: |
|
|
|
|
|
|
|
а) при отсутствии обратной вол |
|
ны вся мощность прямой волны |
|
поглощается |
нагрузкой; |
в |
против |
|
ном случае часть этой мощности |
|
возвращается |
|
источнику |
обратной |
|
волной, т. е. мощность в нагрузке |
|
уменьшается; |
|
|
|
|
|
|
|
Рис 14.4 |
б) равенство ZB X == р показывает, |
|
что |
генератор |
|
работает |
|
на |
посто- |
янное активное сопротивление, не зависящее от длины линии и частоты;
в) независимость амплитуд напряжения и тока от частоты обеспе чивает отсутствие искажений, вносимых линией при передаче сигналов (см. § 15.7);
г) всякая реальная линия обладает распределенными сопротив лением и проводимостью, которые в данной главе не учитываются; однако они существуют и определяют потери мощности в линии; в несогласованной линии потери происходят при прямом и обратном
движении волн; в согласованной линии потери за счет отраженной волны отсутствуют, поэтому согласованная линия обладает мини мальными потерями.
§ 14.7. Стоячие волны |
|
1. Разомкнутая линия. В разомкнутой линии Z2 |
оо И / 2 = 0. |
Поэтому уравнения (14.6) принимают вид: |
|
Ü = Üt cos ßy, / = / У± sin ß#. |
(14.30) |
Модули этих выражений |
|
и,
7 = - ^ | s i n ß « / | (14.31)
показывают, что напряжение и ток изменяются от точки к точке. Максимальные значения напряжения и тока t / m a x = U2, Ітах = == U2I р. Отношение максимальных значений напряжения и тока
равно волновому сопротивлению у"ах — р.
г -9;"
Ц Г7Л\ |
ff-/ |
V . i ' ' 4 |
4 |
4 \ 4 |
Рис. 14.5
На рис. 14.5 приведено распределение U и I в соответствии с
(14.31). В точках линии, для которых ßj/ = |
я, где п = 0, 1, |
2, 3, напряжение равно нулю, ток имеет максимальное значение. Так как ß = 2лА, координаты этих точек определяются равенст-
вом у=(2п + 1) j . В тех точках линии, для которых ßy =пл,
у = п~, напряжение имеет максимальное значение, ток равен нулю.
Максимальные напряжение и ток принято называть |
пучностями |
напряжения |
и |
тока, а минимальные, |
равные |
нулю, |
— |
узлами |
напряжения |
и |
тока. |
|
|
|
на К/4 |
Распределение напряжения по длине |
линии |
сдвинуто |
в сторону опережения относительно распределения |
тока. |
|
|
Первые пучность напряжения и узел тока появляются на разомк нутом конце и далее повторяются через расстояние Х/2. Первые узел напряжения и пучность тока находятся на расстоянии Я,/4
от разомкнутого конца и далее повторяются через к/2. Количество узлов и пучностей зависит от отношения Ilk.
На рис. 14.5 штриховой линией показаны «отрицательные» напряжение и ток в соответствии с изменением знаков тригонометри ческих функций в (14.30). Поскольку амплитуду или действующее значение удобно считать существенно положительной величиной, изменение знаков будем относить к фазам напряжения и тока, т. е.
будем считать, что в узлах |
напряжение и ток меняют свои |
фазы |
скачком на угол п. |
|
|
|
|
Переходя от (14.30) к мгновенным |
значениям, |
имеем |
|
и = t72 m cos fiy sin (ütf + ipj), |
г = - ( ^ s i n ß # s i n ^ |
+ i|>2 -f y j , |
(14.32) |
где ip2 — начальная фаза напряжения |
Ог. |
|
изме |
Из (14.32) следует, что напряжение |
и ток в каждой точке |
няются |
во времени с постоянными амплитудами и со сдвигом фаз |
на угол |
л/2, на который напряжение |
отстает от тока. |
Сравнив |
уравнения (14.32) и (14.29), заметим, |
что в отличие от |
режима |
бегущих волн здесь имеют место следующие особенности: |
|
а) амплитуды напряжения и тока в любой точке зависят от поло жения этой точки;
б) фазы напряжения и тока в любой точке не зависят от положе ния этой точки и скачком меняются на угол я в узлах;
в) распределения напряжения и тока вдоль линии сдвинуты друг относительно друга на расстояние к/А;
г) напряжение и ток сдвинуты по фазе во времени на угол я/2. Полученный режим называют режимом стоячих волн, а пере численные особенности — признаками стоячих волн. Название «стоячие волны» объясняется тем, что максимальные, минимальные и все промежуточные значения напряжения и тока не перемещаются вдоль линии, а как бы закреплены в своих точках. Движения энер
гии от источника |
к концу линии не происходит, имеют место лишь |
изменения напряжения |
и тока с течением времени в каждой |
точке, |
за исключением узлов, в которых |
напряжение и ток не возникают. |
Из рис. 14.5 видно, |
что удвоенное расстояние между любыми |
ближайшими друг к другу узлами или пучностями |
напряжения |
(тока) является |
длиной |
одной стоячей |
волны напряжения |
(тока) |
и равно к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стоячие волны можно представить как результат |
наложения |
прямой и обратной волн с равными действующими |
значениями. |
Действительно, |
из (14.5) при / 2 = |
0 |
получаем |
|
|
О — |
|
е^У 4- |
2 е |
е~1$У І = |
ü - |
е ^ ' — — е - ^ |
|
и ~ 2 |
е |
^ |
' |
2 р е |
|
2 р е |
|
|
откуда для модулей падающей и отраженной |
волн |
|
|
|
^ Л і а д = U0Tp — g - , |
^ п а д = |
^отр |
~2р " |
(14.33) |
Из этих |
равенств следует, что на разомкнутом конце линии |
Û2 = 2£72 п а д, |
І-г= = 0. т. е. напряжение на конце удваивается по срав |
нению с напряжением падающей волны, ток обращается в нуль.
Полученные соотношения объясняются следующим образом. Поскольку мгновенные напряжения и ток сдвинуты по фазе на я/2, средняя мощность, потребляемая самой линией, равна нулю. Из-за отсутствия приемника мощность, потребляемая в конце линии, тоже равна нулю. Таким образом, мощность падающей волны, посту пающая в линию от генератора, нигде не расходуется и полностью возвращается генератору в виде мощности отраженной волны. Иначе говоря, линия работает в режиме реактивной мощности. При этом, поскольку мгновенная мощность в узлах напряжения и тока всегда равна нулю, а в остальных точках имеет реактивный характер, энергия не передается вдоль линии. Электрическая и магнитная энергии пульсируют на участках, ограниченных узлами напряжения и тока. В пределах каждого такого участка происходит обмен энер гии между электрическим и магнитным полями. Соответственно
величина |
коэффициента |
отражения должна быть равна |
единице, |
что подтверждается формулой (14.19) при подстановке |
Z2 = оо . |
Аргумент |
коэффициента |
отражения равен нулю, т. е. в конце линии |
фазы падающей и отраженной волн одинаковы. |
|
Процесс образования стоячей волны показан на рис. 14.6, а и б. На рис. 14.6, а приведено распределение тока обратной ролны
через каждую двенадцатую часть периода Т, начиная с |
/ = 0, |
для разомкнутой линии. Если наложить |
этот рисунок на рис. 14.4 |
и произвести суммирование двух кривых, |
то получим рис. 14.6, б. |
Из этого рисунка видно, что движения |
результирующей |
волны |
не происходит. Точки, в которых ток равен нулю (см. вертикальную штриховую линию), а также точки, в которых ток достигает макси
мального и любого другого амплитудного |
значения, |
остаются |
при любом / в тех же сечениях, т. е. получается стоячая волна. |
На рис. 14.7 в соответствии с уравнениями (14.32) показано |
изменение тока по / и по у для ячейки длиной в половину |
стоячей |
волны при яр2 = 0. В момент времени / = tx = |
0 ток в каждой точке |
имеет максимальное значение. С течением времени он будет убывать до нуля, что показано стрелкой а. В конце первой четверти периода,
когда / = /2 = |
Т/4, ток во всех точках равен нулю. В промежутке |
т" |
Т |
времени -^- <; / <; у во всех точках ток изменит направление на обратное и будет расти по абсолютной величине до максимального
значения, что |
показывает |
стрелка Ь. В |
конце второй |
четверти |
|
Т |
|
|
|
периода, когда |
/ = /3 = у , получается «перевернутое» по сравнению |
с исходным распределением |
тока. Стрелка |
с показывает |
убывание |
|
|
|
зт |
|
тока от отрицательного максимума до нуля при / = /4 = — , |
стрелка |
d — его возрастание от нуля до исходного максимума при / = /5 = = Т. По истечении полного периода процесс повторяется. Из рис 14.7
