нение от |
нее — через |
|
Q, |
тогда текущая |
частота |
со = сор - f |
Q * , |
причем будем полагать Q <^ сор. Расчет произведем |
сначала для |
разомкнутого отрезка |
|
длиной |
/ = |
|
|
|
Поскольку величина ßp / |
= |
= -^- / = у , значение |
ß/ для любой частоты |
со близко к у |
.Поэто |
му в формуле (15.59) можно положить al cos |
ß / ^ s i n |
ß/ |
и эта формула |
принимает |
вид |
Z B X * w - / p c t g ß / |
+ |
pa/. |
|
|
|
|
(15.60) |
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что реактивная часть входного сопротивления |
имеет такой же вид, как в идеальной линии. Очевидно |
|
|
В/ = IL I = |
( 0 Р + П |
/ = LPL |
' j |
_І_ А |
) = |
2L |
|
_ЯР_ /' 1 |
: |
JL) |
= |
Я ; ' І _ І . Й ^ |
|
V |
V |
|
V |
\ |
' Юр / |
|
Хр |
4 \ |
|
і~ Юр / |
2 |
' Шр J ' |
c t g ß / = |
c t g ( j |
+ |
y |
^ ) |
= _ |
t |
|
g ( |
y |
^ |
) |
^ - f . |
^ . |
(15.61) |
яQ
Поэтому 2 в х я « р а / + /р—2 |
con . Вводя в |
рассмотрение двойную |
относительную расстройку |
2 ß |
2f |
имеем окончательно |
ѵ = — |
= -f-, |
|
Юр |
/ р |
|
ZB X = |
pa/ + |
/ p ~ v . |
(15.62) |
Для последовательного контура с сосредоточенными парамет рами г, L и С известно аналогичное выражение входного сопротив ления [см. формулу (5.14)]:
Z |
= r + |
/COpLv = г |
( 1 + / |
ѵ ) = г ( 1 + |
jQy), |
где Q — добротность контура. |
|
величина pal, |
Сравнивая |
это |
выражение |
с (15.62), |
видим, что |
равная — у согласно (15.58), соответствует активному сопротивле-
я
нию г, а величина р-^- — резонансному сопротивлению катушки контура. Поэтому добротность отрезка линии, соответственно добротности контура, есть отношение этих величин:
РП
Поскольку 4/ = Хр, |
окончательно |
|
|
Q = ^ . |
(15.63) |
Числовое значение добротности, рассчитанное по формуле |
(15.63), имеет порядок |
тысяч, |
иногда |
десятков тысяч единиц. |
* Здесь следовало бы |
написать |
со = c o p ± Q . Однако для отрицательного |
приращения частоты получается то же самое, |
что и для положительного. |
Полученные соотношения дают возможность заменить разомкну
тый отрезок |
линии длиной |
эквивалентным резонансным после |
довательным |
контуром с сосредоточенными параметрами. При лю |
бом значении резонансной частоты сор первичные параметры экви
валентного контура имеют |
значения: |
|
|
Я э = р а / * , |
L a = -^- |
г |
4 - |
|
4с0р ' |
|
рлшр ' |
В связи с этим возможно построение резонансных кривых вход ного тока рассматриваемого отрезка. Согласно равенству (15.63) относительная полоса пропускания последовательного эквивалент-
1
ного контура, рассчитанная по входному току на уровне р^-,может
быть вычислена по формуле Щ- — -і- = - ^ 8 - или
Гр Рр
Если учесть внутреннее сопротивление генератора R h то полное активное сопротивление эквивалентного последовательного резо нансного контура выразится суммой pal + Ri- В этом случае добротность эквивалентного контура уменьшится
|
|
л |
|
|
|
|
|
Р т |
|
|
|
|
|
pal + |
Ri |
• |
|
Разделив |
числитель и знаменатель |
на pal, |
учитывая (15.63) |
и равенство |
pal = —~-, находим |
|
|
|
|
|
Ѵ=ТГЖ |
= -[7Ш- |
( 1 5 - 6 5 ) |
|
1 + pal |
1 |
+ |
R, |
|
Теперь рассмотрим короткозамкнутый отрезок линии длиной ~~. Входное сопротивление определяется формулой (15.54), в ко торой можно положить al cos ß/ <J sin ß/. Тогда
7 |
_ |
/ р sin ß/ |
^вх • |
' cos ß/ + jaï sin ß/ ' |
Так как в данном случае отрезок линии эквивалентен парал лельному контуру, удобнее рассматривать входную проводимость
y - = z L |
= T - - ^ 4 c t ^ / - |
^-вх |
f |
V |
* Без учета внутреннего сопротивления генератора, питающего контур (линию).
Учитывая (15.61) и заменяя — на -ç-, получаем
Юр г
Для параллельного контура с сосредоточенными параметрами известно (см. формулу 5.23) аналогичное выражение входной про водимости:
У = # И 7 Г ~ Ѵ '
где R3V — эквивалентное резонансное сопротивление контура. Срав-
|
|
|
|
|
|
аі |
нивая два последних выражения, видим, |
что величина |
-• — соответ- |
|
|
- р — - , |
|
|
|
Р |
ствует активной проводимости |
а |
величина |
? |
отношению |
- ~ - . Разделив мнимые |
части |
обоих |
выражений |
на вещественные, |
Л э р |
|
|
|
|
|
|
получим ОУ — - ^ Щ Ѵ > |
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
~ lop"' |
что совпадает |
с (15.63) для |
разомкнутого отрезка. |
Полученные |
соотношения |
дают |
возможность заменить коротко- |
|
|
|
X |
замкнутый отрезок линии длиной |
эквивалентным резонансным |
параллельным контуром с сосредоточенными параметрами. При
любом значении |
резонансной частоты |
сор |
первичные |
параметры |
|
|
|
|
|
п |
16 |
1 |
т |
4 Р |
эквивалентного |
контура имеют |
значения |
/<a |
= —^роа, |
|
L 3 — — — , |
я |
|
|
|
|
|
•IX |
1 |
|
3X0) г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ca = 2—, так как произведение |
L3C3 |
должно равняться |
-—, а |
4 р С 0 р |
|
|
—с |
$ |
|
|
Cüp |
|
должно удовлетворять равенству |
R3p |
— ~j |
• При |
этом R3 |
является суммой активных сопротивлений индуктивной и емкостной
ветвей контура. В связи с этим возможно |
построение |
резонансных |
кривых входного напряжения |
или тока рассматриваемого отрезка. |
Соответственно равенству (15.63) относительная полоса про |
пускания эквивалентного параллельного |
контура, |
расечитанная |
по входному напряжению на уровне — - , |
может быть вычислена |
по формуле |
|
|
|
2Р |
і__ а%р |
|
|
Р |
|
|
|
Если учесть внутреннее сопротивление генератора Rt, то полная активная проводимость эквивалентной схемы с параллельным ре зонансным контуром выразится суммой ~р~ + ^ т - В этом случае
добротность уменьшится
Q'
л |
|
я |
4р" |
_ |
4а/ |
al . |
1 |
|
р 1 |
Ri |
1 Rtal |
|
о |
2о2 |
|
Учитывая (15.63) и равенство |
|
= -^—, |
находим |
Q ' = |
^ г - |
(15.67) |
1- |
|
|
|
Заметим, что добротности резонансных отрезков длиной / —
=2 Р можно рассчитать тем же методом. При этом в формулах
(15.54) и (15.59) для входного сопротивления |
надо положить |
al sin ß/ <^ cos ßz\ Результаты расчета приводят |
к тем же форму |
лам, которые получены для I = -g. |
|
§15.10. Расчет мощности
1.Вывод основной формулы. Рассчитаем мощность Р 1 } отдавае мую генератором в линию с потерями, замкнутую на Z2 = R 2 + / Х 2 .
Полагая, что напряжение |
и ток на входе линии равны Üx и / х , |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
= Re((71 /1 ), |
|
|
(15.68) |
где Re показывает, что надо |
взять |
реальную часть произведения. |
Напряжение Ûi и ток / х можно записать |
через |
падающие и отра |
женные ВОЛНЫ Ü! = С/щал |
+ |
^ і о т р , |
А |
= |
Л п а д — |
Лотр- |
Будем СЧИ- |
тать, что волновое сопротивление линии в общем случае |
комплексно |
ZB = |
R 3 + ]ХВ. Выражая Üx |
через падающую и отраженную волны |
тока, |
можно записать Üx |
= |
/1 П ад2в |
+ |
/ютр2в . Тогда |
|
|
. * |
|
. |
* |
|
* |
|
|
|
U ill = ZB (/іпад ~Ь ' Іотр) |
Іпад — ^Іотр) = |
|
|
= ZB (^іпад-^Іпад |
^Іотр^Іотр ~Т~ ^Іота^Іпад |
-^іпад^іотр)- |
Первое и второе слагаемые в круглых скобках соответственно равны
/fn-ад |
и / | о т р . Легко убедиться, что оставшиеся два слагаемых |
могут |
быть |
записаны так: |
. |
* |
|
|
* |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
^іотр^іпад |
^Іпад^Іотр= = |
2/ |
JtTl (/іпад^Іотр) > |
|
где Jm |
показывает, что надо |
взять |
мнимую часть |
произведения.* |
|
|
|
|
|
|
|
}Ь, /ютр = с + |
|
* |
* |
Действительно, обозначив / 1 |
п а д — а |
+ |
/d, имеем |
/ і п а д = |
= а — jb, |
/ютр= с — №• |
В |
справедливости |
доказываемого |
равенства |
убеж |
даемся подстановкой этих |
обозначений в правую и левую его части. |
|
