Файл: Татевский В.М. Классическая теория строения молекул и квантовая механика.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 222
Скачиваний: 2
Из экспериментальных данных следует, что для электрона осу ществляются только два состояния, отличающиеся проекциями век тора s на какую-либо выбранную ось. Для этих двух разных экс периментально фиксируемых состояний проекции вектора s на какую-либо ось будут
Отсюда следует, что квантовое число s вектора спина для элек трона должно быть принято равным '/г- Тогда квадрат вектора спина s и его модуль по формулам (2,1) и (2,2) будут иметь сле дующие значения:
|
«2 " Т Т Й Т |
<2'5> |
ї ї |
h |
|
| 5 | = = - 2 - - 2 я : |
( 2 - 6 ) |
Все эти свойства возможных спиновых состояний электрона можно рассматривать как результат определенной интерпретации (связанной с введением понятия спина электрона) совокупности большего числа имеющихся экспериментальных данных.
Ниже мы изложим один из вариантов квантовомеханического описания возможных спиновых состояний электрона с помощью некоторых физических понятий и определенного математического аппарата. Из нескольких вариантов описания выберем такое, кото рое наиболее близко по своим понятиям и аппарату к описанию, используемому в квантовой механике для случаев, когда свойства системы определяются волновыми функциями, зависящими только от пространственных координат х, у, z. Сначала рассмотрим этот
вопрос для системы, содержащей только один электрон, |
а затем |
||||||
для системы со многими электронами. |
|
|
|
|
|||
Спиновые характеристики состояний для системы, содержащей |
|||||||
один электрон. Если система содержит |
К ядер и один электрон, |
||||||
то оператор электронного |
уравнения |
Шредингера |
(в |
том |
прибли |
||
жении, в котором мы рассматриваем |
все системы |
из |
ядер |
и элек |
|||
тронов) будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а, Р |
|
и |
|
|
|
|
|
а < р |
|
|
|
|
|
где |
д\ |
5і |
|
д* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д — |
дх2 |
+ ду2 |
+ |
дгг |
|
|
|
га = V(X - |
Ха)2 |
+(у- |
Г а ) 2 |
+ (2 - ZJ* |
|
|
|
Х ц 2 ~ пространственные координаты электрона в некоторой системе координат, связанной с ядрами; Ха, Ya, Za — пространственные координаты ядра с номе ром а (фиксированные) в той же системе координат.
Тогда из требования интегрируемости квадрата модуля XY (2,10), подставляя в него выражение для W (2,11), получим
j " V * (*, у, z) 4 q (х, у, г) |
dx dy |
dz j " л* (a) |
r, (a) da = 1 |
(2,14) |
На основании (2,14) и (2,13) будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
(2,15) |
т. е. функция г) (о)—спиновой |
множитель в |
функции |
W (2,11) — |
должна иметь интегрируемый квадрат, и, следовательно, может быть выбрана нормированной.
Теперь мы должны определить свойства функции Г|(о) и опе раторы, соответствующие проекциям вектора спина на оси ко ординат, а также оператор квадрата вектора спина так, чтобы результаты использования этого математического аппарата соответ ствовали изложенным выше результатам интерпретации экспери ментальных данных о возможных спиновых состояниях электрона.
Выберем некоторую систему координат осей OXYZ (например, систему осей, связанную с ядрами) и сопоставим проекциям век тора спина на эти оси некоторые операторы sx, s„, sz, а квадрату вектора спина s2 — некоторый оператор s2. Все эти операторы оп ределим как операторы, действующие только на функции от ус ловной спиновой координаты о. Таким образом, функции от х, у, z для этих операторов играют роль постоянных чисел.
Чтобы привести в соответствие указанный выше символический математический аппарат с положениями, изложенными выше, поз воляющими дать описание экспериментальных данных, касаю щихся возможных спиновых состояний электрона, нужно конкретно определить результаты действия операторов sx, sy, sz, s2 на спино вые функции Tj(a), т. е. определить конкретные свойства, которые нужно приписать этим-операторам и функциям г\(а).
Как уже было указано, не более одной из трех проекций век тора спина на оси OXYZ может иметь определенное значение в лю бом состоянии электрона, описываемом в общем случае функцией ^(х, у, z, о), т. е. функцией Ч*я(х, у, z)г\ (а). Следовательно, среди функций *Р (х, у, z, о), а поэтому и среди функций т](а), описы вающих все возможные состояния электрона, существуют только такие, которые могут быть собственными функциями не более чем одного из трех операторов sx, sy, sz. Если состояние электрона опи сывается волновой функцией, собственной для какого-либо одного из этих трех операторов, то будем всегда так обозначать оси коор динат, чтобы эта функция была собственной для оператора sz. Принимая это, мы прежде всего можем определить возможные результаты действия оператора s2 на функции W(х, у, z, о) [и, сле довательно, на функции г] (о)], описывающие состояния электрона, собственные для s2 (т. е. характеризующиеся определенным значе нием проекции вектора спина на ось OZ). Согласно сказанному
выше, для таких состояний мы должны получить один из двух возможных результатов:
либо
|
s 2 |
¥ (х, |
у, |
г, |
а) « |
і |
- А - V |
(х, |
у,, г, а) |
(2,16) |
|
либо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
szW |
(х, у, |
z, 0 |
) = - - i . - | _ 4 f |
(Х , |
j , | Z > |
а) |
(2,17) |
|||
Подставляя |
сюда |
4я (х, t/, z, а) |
в |
виде |
(2,11) |
и учитывая, что |
|||||
4*9(х, у, г) для оператора |
s2 играет роль |
постоянного |
числа, будем |
||||||||
иметь вместо (2,16) и (2,17) |
|
|
|
|
|
|
|||||
либо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* г |
т ) ( 0 ) = |
у - А - т ) ( а ) |
|
|
(2,18) |
|||
либо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S e T , ( f f ) « - - i J L 4 ( a > |
|
|
(2,19) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г|(о), |
з |
т. е. может |
существовать |
только |
две функции |
собственные |
для оператора sz, соответствующие двум разным состояниям элек
трона, имеющим определенную проекцию вектора |
спина |
на |
одну |
||||
из осей координат. Принято функцию |
ц(о), соответствующую |
соб |
|||||
ственному значению sz = У2-/г/2я, |
т. е. удовлетворяющую |
уравне |
|||||
нию |
(2,18), обозначать как а (о), |
а функцию |
TJ(O), соответствую |
||||
щую |
собственному значению sz = — l /2 -h/2n, |
т. е. |
удовлетворяю |
||||
щую |
уравнению (2,19), обозначать |
как Р(а) . Функции |
а(о ) и |
||||
Р(а), собственные для оператора sz, удовлетворяют |
уравнениям |
||||||
|
s 2 a ( f f ) = A |
- A a ( а ) |
|
|
|
(2,20) |
|
|
» г Р ( а ) = - - - 2 - " 2 І Г Р ( а ) |
|
|
|
( 2 , 2 ! ) |
Функции а (а) и р(а) как собственные функции одного и того же оператора, относящиеся к разным собственным значениям, будут, очевидно, ортогональны, т. е.
J a* (а) В (a) da = J В* (a) a (a) rfa = 0 |
(2,22) |
Если т)(ст)—функция |
a (a) или 6(a), т. е. собственная |
функция |
||||||
оператора |
sz, то нужно еще определить результаты действия |
опера |
||||||
торов sx, sy |
и s2 на эти функции. |
|
|
|
|
|
|
|
Обычно определяют оператор s2 соотношением |
|
|
|
|||||
|
|
s2 == s2x |
+ »1 + |
s | |
|
|
|
(2,23) |
Результат |
действия |
оператора |
sz |
на |
функции |
a (а) |
и |
р(а) |
определен |
уравнениями (2,20) и (2,21); теперь |
нужно |
опреде |
|||||
лить результаты действия операторов sx |
и s„ на |
функции |
a (а) |
|||||
и р ( а ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|