Файл: Татевский В.М. Классическая теория строения молекул и квантовая механика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 218

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Поскольку вектор спина рассматривается обычно как вектор собственного момента количества движения электрона, на опера­ торы sx, sy, Sz, s2 накладываются такие условия, что эти операторы должны удовлетворять таким же перестановочным соотношениям, которым удовлетворяют операторы орбитального момента коли­ чества движения *.

Эти соотношения имеют вид

 

 

ih

 

 

 

SySx ~~~2л

 

 

SySz —

 

ih

(2,24)

~

~2n

 

 

 

 

ih

 

S 2 S *

~~~2n

-sy

 

 

 

 

s4z

— s 2 s 2

=

0

 

s'sj,

- s^s2

=

0

(2,25)

shx

— s x s 2

=

0

 

Для того чтобы удовлетворить всем поставленным выше требова­ ниям, достаточно определить результату действия операторов sx и sy на функции а (о) и Р(а) , собственные для оператора s2, сле­ дующим образом:

 

 

s^a (0) =

-А- 6 (ст)

 

 

 

sx$

(0) =

а (а)

 

 

 

 

 

 

Sr/a(0) =

^ - B ( a )

 

 

 

S i / B (0) =

- ^ | a ( 0 )

 

 

(2,26)

Заметим, что индексы х и у

 

в этих

определениях можно

было

бы переставить

местами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

Операторы

орбитального

момента

количества

движения

для

частицы, на­

пример

электрона,

определяются

в квантовой механике следующим

образом:

 

 

 

лл

 

 

ih

(

д

д

\

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

ih

I

д

д

\

 

 

 

 

 

 

 

 

М2 = М2. + М\ -Н М\

 

 

 

 

 

Как непосредственно

легко

показать,

 

они удовлетворяют перестановочным

соот­

ношениям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мхму

-мумх

 

=

ih

•М

г

 

2 г

2

= 0

 

 

 

 

~2я

 

 

М М

- мгм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

г

- мгму

=

ih

 

М

х

мтх

2

0

 

 

 

М М

~2я~

 

 

— мхм

=

 

 

 

мгмх

- мхмг

= ih

 

My

М2Му

-МуМ2

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если принять эти определения, то получим, например, следую­ щие результаты для последовательного действия двух операторов из числа s*, sv, sz на функции а (а) и {3(a):

s2 a(cr) =

s A a ( a ) = s ^ a ( c r )

e J L a ( o

)

 

4 а

< а ) " 8

Л « ( ° ) =

8</

"И"

Р (а)

== - г ^ г

а (а)

 

(2,27)

s2 a

(а) =

s2 s2 a (а) =

sz

А

а (а) =

а (а)

 

Поскольку оператор

s2

определен

формулой

(2,23), то

получим

из (2,27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 a(a) = ( s 2 + s 2

+ s2 )a(a) = ] | i a ( a ) = | - ^ - a ( a )

(2,26)

Совершенно аналогично

получаем

 

f£ 6 (a) -1

 

 

 

s2 B (a) = (s2 +

s2

+ s2 ) 6 (a) =

^

8 (a)

 

Таким образом, в состояниях электрона, описываемых в отно­

шении

их спиновых характеристик

функциями а (о) и р(о)

[т. е.

вообще

говоря, функциями Wq(x, у,

г)а(а) и Wq(x, у, z) 6(a)

соот­

ветственно], квадрат вектора спина имеет всегда одно и то же значение, равное 3 Д-Л2 /4я2 в соответствии с выражением (2,1).

Описанный выше математический аппарат, позволяющий ото­ бразить результаты экспериментальных исследований, в которых проявляются свойства электронов, связанные со спином, был из­ ложен в значительной мере формально. В изложении, приведен­ ном выше, осталось неясным: можно ли рассматривать спиновые функции т)(а) как непрерывные, однозначные, интегрируемые функции некоторого непрерывно изменяющегося аргумента а, имеющего определенную (конечную или бесконечную) область значений. Также оставалось неясным, можно ли определить опера­ торы sx, sy, s2v s2 как операторы, содержащие только обычные ал­ гебраические операции и операции обычного дифференцирования или интегрирования по некоторому непрерывно меняющемуся ар­ гументу о. Это будет важно для нас в дальнейшем, поскольку мы будем пользоваться дальше такими математическими образами, как дифференциал da, интеграл по а и т. п. Очевидно, что если можно указать примеры таких непрерывных, однозначных интегри­ руемых функций a (а) и (3(a) какого-либо непрерывно меняюще­ гося аргумента а (в определенной области значений) и соответ­ ствующих им операторов s^, sv, sz, s2, содержащих обычные алгебраические операции, операции дифференцирования и интегри­

рования по некоторому

непрерывно изменяющемуся аргументу, то

в дальнейшем

будет вполне оправданным применение к функциям

г| (а)

и указанным операторам такого же математического

аппа­

рата,

как к

волновым

функциям

Wq{x, y,z), зависящим

только

от координат,

и -соответствующим

им операторам L q (х, у, z).

16 За*. 454

489

Существует

ряд возможностей выбрать функции

г|(а)

и опера­

торы sx, sy, sz,

s2 так, чтобы они удовлетворяли

 

всем

указанным

выше условиям. Мы приведем один вариант построения

операторов

sx, sv,

sz, s2

и функций

г] (а) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

оператор

sz как интегральный

оператор,

 

действую­

щий на функцию t\(o),

выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^(.o)

=

~^r\i(a)

 

J" г\1(а)ц(а)(іа-

ц2(а)

j* г\'2(а)

r)(a)da ]

(2,29)

В этом выражении rji(a)

и ц2{о)

могут быть любыми двумя

непре­

рывными,

однозначными,

нормированными

и

 

ортогональными

(в определенной области значений

а) функциями, т. е. Tji(a) и

г\2{о)

должны удовлетворять

соотношениям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

41(0)^(0)

 

do

=1,

j

ці (о)

т)2 (a) do

=

1

 

 

 

(2,30)

 

 

 

J* ти (a) гіг (a) da =

J т|а (a) ТЦ

( О ) da =

0

 

 

 

 

(2,31)

Здесь интегралы берутся по некоторой выбранной области

значе­

ний а. Например, в качестве функций ти (о)

И 112(0)

можно

взять

функции:

 

 

 

 

 

 

іо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

.

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч , ( в ) - 7 1 Г в

 

 

 

 

 

 

 

(2,32)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

( a ) = w

e

 

 

 

 

 

 

 

 

в области значений а — 0 ^

а ^

2я, в которой они удовлетворяют

условиям

(2,30) и (2,31).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко

видеть, что для оператора s2

в форме

(2,29)

имеются

две собственные функции, соответствующие собственным значе­

ниям sz, равным

_h_

 

 

h_

 

 

+ 4я и

4я

 

 

Действительно, если ті(о) = r ) i ( a ) ,

то из (2,29)— (2,31)

сле­

дует, что

 

 

 

»*Лі(а)-^Чі(«т)

(2,33)

Если г|(о) = їі 2 (а), то из (2,29) —(2,31)

получим

 

•»Л»(о)

-5^42(0)

(2,34)

Следовательно, функции r\i(a) и г\2{а), например функции (2,32), играют при таком определении sz роль а (о) и 6(a) .

Тогда оператор sz

можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

 

2я

 

 

*гЧ (о) =4я

а

(а) j *

а* (а) л (а) da

-

р (а)

J"

В* (а) л (а)

da

 

 

 

о

 

 

 

 

 

О

 

 

Операторы sx

и sy

можно определить

выражениями

 

 

 

 

2я

 

 

 

 

2я

 

 

в*л (а) = 4я

В (0)

J

а* (а) л (а) da

+

а

(а)

|

В* (а) л (a)

da

 

 

 

о

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

2л

 

 

 

В (a)

J

а* (а) г, (a) da

-

a

(a)

J

В* (а) л (a)

da

 

 

 

о

 

 

 

 

 

о

 

 

Из этих выражений и условий

(2,30) и (2,31)

следует

 

sz a

(a)

=

h

a (a)

s2 p

(a)

=

 

 

 

4я

 

 

 

s*<x (a)

=

A

8(a)

s*p

(a)

= 4 я " а ( а )

 

4л

 

sya

(a)

= 4л/А

P(o)

•jrP (a) = - 4 я " а ( о г )

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І 1

 

 

 

 

 

2

 

а (а) =

У 2 я

2

Р(а)

=

УІя~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2,35)

(2,36)

(2,37)

(2,38)

(2,39)

а область изменения а — 0 ^ а ^ 2я.

Таким образом, свойства операторов sx, sv, sz, определенных указанным выше образом, и свойства функций a (а) и р(а) (на­ пример, функций, рассматриваемых как непрерывные функции некоторого аргумента а, непрерывно изменяющегося в некоторой

области значений, в нашем примере в области

0 ^

о ^

2я)

соот­

ветствуют требованиям к операторам проекций

спина и

функциям

а и р , собственным для оператора s2.

(2,36)

и

(2,37)

удо­

Нетрудно проверить, что операторы (2,29),

влетворяют перестановочным соотношениям (2,24).

Оператор s2, определенный как si + s2, + st, также удовлетворяет перестановочным соотношениям (2,25), а при действии на функции а (о) и p(a) дает

s 2 a ( a ) = w a ( a )

Q/,2

Таким образом, в рассмотренном примере функции а (о) и р(о) были выбраны как обычные, непрерывные, дифференцируемые и интегрируемые функции в ограниченной области значений а и опе­ раторы sx, sy, s2, s2 были определены как обычные интегральные

16*

4 9 1

Смотрите также файлы