Файл: Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках пер. с англ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А 4

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОПТИЧЕСКИМИ КОНСТАНТАМИ

§ 1. КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ

Пусть излучение представляет собой плоскую волну с частотой

V, распространяющуюся вдоль направления

х со

скоростью ѵ:

g = g0exp |г2лѵ

^

.

(4.1)

Скорость распространения в полупроводнике с комплексным пока­ зателем преломления

п с = п — ік

(4.2)

связана со скоростью распространения в вакууме формулой

Следовательно,

1 п ік

V с с

Подставляя это выражение в формулу (4.1), имеем

% — exp (i2nvt) exp ( — i2nxn/c) exp ( — 2лѵкх/с).

(4.4)

Отметим, что последний сомножитель в формуле (4.4) выражает затухание волны. Та часть падающей мощности, которая остается после прохождения расстояния х в материале с электропровод­ ностью o', выражается формулой

Р(х)

|о) = ехр {— ^ ѵкхіс)-

(4.5)

Р(0)

 

 

Эту же величину можно выразить через коэффнциентпоглощения а:

Р(*) . _ g-,

(4.6)

Р(0)

 

Отсюда

 

4лѵк

(4.7)

а = ---------

где к (мнимая часть п с) называется «коэффициентом экстинкции».

7*

100 Глава 4. Соотношения между оптическими константами

§ 2. ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Излучение, распространяющееся в незаряженном однородном полупроводнике, характеризуемом магнитной восприимчивостью (.1, диэлектрической проницаемостью е и электропроводностью а, описывается уравнениями Максвелла:

v x « = - T - f -

V X II =

g + у

,

V . Н -0 ,

V .g = 0.

Из уравнений (4.8) и (4.9) получаем

V X V X 8 = - * ■ А сV X И) - - £ 4яа ■§— к -

Но поскольку

Ѵ х V x g - V ( V . g ) - V 2 g ,

то с учетом уравнения (4.11) можно написать

д.Щ

р

/

d%

,

ре

йЩ

dx2 ~

с2

ШСТ

dt

+

с2

di2

Подставляя (4.1) в (4.12), имеем

 

 

 

■=

г'2лѵ

4ло —

(2яѵ)2,

или

 

ре

— I 2яѵс2р4ла

 

 

 

 

<«У

(4.9)

(4.10)

(4.11)

.

(4.12)

(4.13)

Во

всех полупроводниках,

которые мы

будем рассматривать,

р =

1; поэтому выражение (4.13) можно переписать в виде

 

 

 

1

е

.

2а

 

(4.14)

 

 

у2

с2

*

ѴС2

 

 

 

 

 

 

Отметим, что из формулы (4.3) следует

 

 

 

1

«с

п?

 

і2п1с

'It1

(4.15)

 

V2

С2

С2

 

С2

с2

 

 

 

Приравнивая действительные и мнимые части выражений (4.14)

и (4.15), получаем

(4.16)

п? —к2= е,

II

(4.17)

§ 3. Соотношения Крамерса — Кронига

101

Теперь можно найти уравнения для гг2 и ft2:

?г2— ft2— ( п -f- ft) ( п — ft),

е2 = (n2 + ft2 + 2»ft) (?г,2 -I- ft2 - 2/ift) =

=(?г2 + ft2)2 — (2»г7і’)2 =

=(^2 + fc2)2- ( ^ ) 2-

»>+*■-ІУ+ФТ- (4.18)

Комбинируя уравнения (4.16) и (4.18), получаем

(4.19)

(4.20)

Когда а стремится к нулю, как это имеет место в изоляторах,

п стремится к ] / е, а коэффициент экстинкции ft — к нулю. Это означает, что материал становится прозрачным. Значения показа­ теля преломления полупроводников приведены в приложении 2.

Существует эмпирическое соотношение между показателем преломления и шириной запрещенной зоны полупроводника:

п 4£ г = 77.

Оно называется правилом Мосса и оказывается справедливым для полупроводников, у которых величина ?г.4 меняется в пределах от 30 до 440 [1].

§ 3. СООТНОШЕНИЯ

КРАМЕРСА — КРОНИГА г)

 

 

Введем комплексную диэлектрическую проницаемость ес =

= пі, которая зависит от частоты

со электромагнитной волны. Ее

действительная и мнимая части

(соответственно ех и е2) связаны

соотношениями Крамерса — Кронига:

 

 

8і

(м)

— 1 +

2 Р

(-со'е2 (co') dco'

’

(4.21)

 

 

л

J

[со']2 —со2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

е2(со)= —

 

 

Si (co') dcо'

’

(4.22)

 

 

[со']2—со2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

подробное изложение см. в книгах [2—4].

102 Глава 4. Соотношения между оптическими константами

где Р означает главное значение интеграла:

оосо—а со

—аlim->0 (! +])•

0 co-fa

Поскольку спектр оптического поглощения определяется функ­ цией а (£), где £ = /гѵ — энергия фотона, запишем дисперсионное соотношение между показателем преломления п {Е) и а (Е). Для комплексного показателя преломления (пс = іг — ik) получается выражение, эквивалентное соотношению (4.21):

п (Е) — 1

Е 'к(Е ')

dE'.

(4.23)

( ≤ ) 2 _ ≤ 2

Поскольку

к{Е')

hca (Е')

~ЫЁ' ’

[это следует из формулы (4.7)], то соотношение (4.23) можно запи­ сать в виде

(4.24)

Ü

отсюда можно вычислить п (Е), если известен весь спектр погло­ щения а (Е). На практике а (Е) определяется лишь для ограни­ ченной области энергий; за пределами этой области величина интеграла вычисляется на основе неких разумных экстраполяций.

§ 4 КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ

В случае нормального падения коэффициент отражения, отно­ сящийся к. интенсивности излучения, определяется формулой

 

 

 

_

(„ _l)2 +

fc2

(4.25)

 

 

 

 

(ОТ+1)2+ /С2 ’

 

 

 

 

 

Когда

к =

0,

т. е. материал прозрачный,

 

 

 

 

р _ («—И2

 

(4.26)

 

 

 

 

(П+ 1)2

•

 

 

 

 

 

Если

п =

0,

то В. = 1 и

полупроводник полностью отражает

излучение.

 

 

 

 

 

В обоих случаях, когда либо п, либо к равно нулю, из форму­ лы (4.17) следует, что- а = 0, т. е. в среде нет. потерь. Если электро­ проводность а не равна нулю, материал не является полностью прозрачным или полностью отражающим и в среде имеются поте­ ри. Эти потери выражаются через коэффициент поглощения а ,

§ 5. Определение эффективной массы носителей

103

определяемый формулой (4.7). Следовательно,

 

7.

са

(4.27).

или, если подставить значение к из (4.17), получаем

 

а -

4лсг

 

Когда электропроводность а велика, из (4.19) и (4.20) следует, что

ип , и к могут принимать большие и почти равные значения.

Вэтом случае коэффициент

отражения также стремит- '99і

і

' ' ' і

і і'>°

ся к единице.

 

 

 

§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ НОСИТЕЛЕЙ

Диэлектрическую про­ ницаемость е можно выра­ зить через поляризуемость

Xсреды:

е= 1'-|-4л;%. (4.28)

Когда

поляризуемость

%

обусловлена

свободными

носителями,

она выража­

ется формулой 15]:

- 0,08

X-

 

Nqz

0,06

(2jtv)2 (in*)

 

 

 

(4.29)

а

а

I

*I

I01

а

а

■а.-

8

I&

Ф и г . 4.1. Зависимость коэф­ фициента экстпшщии и поля­

ризуемости свободных

носите­

лей для образца германия п-тп-

па (п = 3,9 -1018 см-3) от длины

волны [5].

Д л и н а волны, мкм

где N — концентрация носителей, а (то* ) — усредненная эффек­ тивная масса. В результате усреднения оказывается, что более' быстрые электроны вносят больший вклад. В случае сферических изоэнергетических поверхностей пользуются величиной то*. Поэтому в приближении сферических изоэнергетических поверх­ ностей можно определить величину эффективной массы из (4.29), используя (4.28) и (4.16): к вычисляется из (4.27), а п — из (4.17)

Смотрите также файлы