Файл: Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 1
§ ! И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
23 |
где tp£fe>(т) — нормальные функции, зависящие от парамет ра т и удовлетворяющие условию ортогональности, может быть приведена к следующему виду:
-ZjjT + |
Zk(т’ ѳ- 2i> • ■■» г‘Ѵ, Zj......... zN, e) |
|||
|
( * = 1 , 2 ......... N), |
(1.35) |
||
после чего, произведя замену согласно формулам |
|
|||
г* = Хке1Ы |
^ ‘ + |
х . ке-^ |
(1.36) |
|
г, = «о*(т) Ѵ Ь |
(Т,Л - |
|||
|
||||
приходим к системе уравнений вида |
|
|||
|
|
= еХ (т, Ѳ, X, е) |
(1.37) |
|
|- ^ - = ѵ(т), т = eij , в которой правые части зависят от
медленного времени х и являются периодическими, почтипериодическими или квазипериодическими по Ѳ в зависи мости от того, как зависят от Ѳфункции Q,-.
Заметим, что к системе уравнений вида (1.37) может быть приведена и более общая система дифференциальных урав нений, описывающая колебания системы со многими степе нями свободы, характеризующиеся в невозмущенном со стоянии (т. е. при е = 0, х — const) лагранжевой функ
цией
j Г N N N 1
£ = -Ö- | 2 ■аіі(х)йіЯі + 2 |
g iiW q â — 2 |
bij(x)qiqi\, |
||
1 |
U ',/= i |
> ./= 1 |
i , j = i |
) |
где gij |
(г) = |
gji (T). |
|
(1.38) |
|
|
|||
Кроме рассмотренных классов дифференциальных урав нений, содержащих малый параметр (в основном приводя щихся к уравнениям в стандартной форме), с помощью метода интегральных многообразий можно эффективно исследовать несколько более общие дифференциальные си стемы, описывающие динамические процессы в сложных колебательных системах.
В связи с этим мы будем рассматривать также системы, близкие к автономным, вида
~ = Х(х) + |
X, е), |
(1 .39) |
24 |
ГЛ. 1. В В Е Д Е Н И Е |
|
и системы, близкие к неавтономным: |
|
|
|
= X (/, х ) + еХ* (yt, X , е). |
(1.40) |
К системам типа (1.39) и (1.40) при ряде предположений приводятся многочисленные задачи теории колебаний (од ночастотные колебания систем со многими степенями сво боды, не близкие к гармоническим, колебания релаксацион ного типа и т. д.).
Будем также рассматривать и более общие системы диф
ференциальных уравнений вида |
|
|
|
= |
X (т, х) -f еХ* (т, 0, X, |
е), |
(1.41) |
= |
X (т, Ѳ, х ) + еХ* (т, 0, |
X, г ). |
(1.42) |
Многие задачи приводят к рассмотрению колебательных систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в коіорых одни переменные изменяются быстро, а другие медленно. К уравнениям такого типа относятся, например, указанные выше уравнения (1.30).
В общем виде такие уравнения можно записать следую щим образом:
~ ~ = X (х , у) + |
(t, X, у), |
(1.43)
=(*’ х’ У)-
где X , у — соответственно п- и m-векторы, е — малый по ложительный параметр.
Проблемы, приводящие к рассмотрению уравнений типа (1.43), встречаются в динамике спутников и искусственных небесных тел. Частным случаем системы (1.43), когда пе ременная X отсутствует, являются уравнения в стандартной форме. При Y (t, X , у) £= 1 приходим к рассмотрению урав нений типа (1.41).
Как известно, ряд актуальных задач радиотехники, ав томатического регулирования, химической кинетики и др. приводит к исследованию систем дифференциальных урав нений с малым параметром при старших производных. В связи с этим нами будут рассмотрены системы нелиней-
§ 1. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О О Б Р А З И Я |
25 |
ных нерегулярно-возмущенных дифференциальных уравне ний вида
= fix, г, i), е |
= F (х, z, t), |
(1.44) |
где е — малый параметр, х, / — «-векторы, г, F — т-век- торы, а также системы линейных нерегулярно-возмущенных дифференциальных уравнений
■^r = A(t)x + B(t)y + h(t),
(1.45)
е= С (t) у + eF (t) X + еН (t),
где Ху h — m-векторы, у, Н — п-векторы, А, В, С, F — со ответственно (m X т)-, (т X п)-, (п X «)-, (п X т)-мат- рицы.
В связи с большим интересом, возникшим в последнее время к теории дифференциальных уравнений с запазды вающим аргументом, будет уделено внимание также рассмот рению интегральных многообразий для уравнений с запаз дыванием вида
|
j £ - = ALt)x(t) + A1( f ) x ( t - A ) |
+ |
|
||||
|
+ X(t,g(t), |
x(t), |
X (t — A), у (t), |
y(t — Д), e), |
|||
|
(ef) {/(() + |
(eO y(t — b) + |
(1.46) |
||||
|
+ eY (t, g (t), |
X (t), |
X (t — A), у (t), у (t A), e), |
||||
|
= © (t) + |
G (t, |
g (t), |
X (t), |
у (t), e), |
|
|
где X , |
у, g — соответственно n - , m - , |
/г-векторы, А |
(/), A t (/), |
||||
В (et), |
Bi (et) — ограниченные |
квадратные |
матрицы, |
||||
© (t) — fe-вектор-функция, е — малый положительный па раметр.
Будут рассмотрены также нерегулярно-возмущенные уравнения с запаздыванием
~= f(t, х,у, е),
8 ЧГ = А V' х>Ха) у + В У>х>Ха) У* + § ((>х’ А'Д' У' Уь>е)’
(1.47)
26 |
; |
|
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
где |
х — т-вектор, |
у — п-вектор, хд — х (t — еД), //д = |
|
= |
у |
(t — еД), е > |
0 — малый параметр. |
Как уже указывалось, рассмотрение исходной системы уравнений на многообразии сводится к рассмотрению урав нений, число которых равно размерности многообразия, в результате чего исследование решений исходной системы уравнений значительно упрощается.
В связи с этим большое значение приобретают развитые методы для исследования нелинейных дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах. Использо вание спектральной теории линейных операторов позволи ло развить теорию интегральных многообразий для различ ных классов нелинейных дифференциальных уравнений в бесконечномерном банаховом пространстве.
§2. Вспомогательные сведения из линейной алгебры
ианализа
Приведем некоторые вспомогательные сведения из линейной алгеб ры и анализа, которые играют важную роль в теории дифференциаль ных уравнений.
1. Матричные обозначения. Рассмотрим квадратную матрицу А порядка п с элементами аи- (і, / = 1, .... п), ко торые, вообще говоря, являются комплексными. Матрица (кі — А), где к — независимое переменное, / — единичная матрица порядка п, называется характеристической мат рицей для А. Ее определитель
Ф (Я) ~ det (kl — А) |
(2.1) |
является многочленом относительно к и называется харак теристическим многочленом матрицы А. Корни характери стического многочлена матрицы называются ее характери стическими числами или собственными значениями. Обоз
начив эти корни kt |
(і = 1, ..., л), |
запишем: det (kl — А) |
= |
П |
|
|
|
= п(к —к). |
|
|
|
1 |
собственных |
значений) матрицы |
А |
Спектр (спектр |
есть множество всех ее собственных значений. Он состоит
из тех значений Я,, для которых матрица (kl — А) |
необрати |
ма. Те значения к, для которых матрица (kJ — А) |
обратима, |
называются регулярными, а матрица (kJ — Л)-1 называется
§ 2. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы И А Н А Л И З А |
27 |
резольвентой матрицы Л. Спектр п собственных значений матрицы А порядка п совпадает с множеством корней ал гебраического уравнения
det (Я/ — А) =-- 0 |
(2.2) |
(характеристического уравнения матрицы А), или в развер
нутом виде: |
— а, |
|
|
'X — ап |
Мп |
|
|
|
М2 |
|
|
det |
|
— Я, |
(2.3) |
|
= 0. |
||
С1цЛ |
Сіп |
|
|
Кратность каждого корня Я/ этого уравнения равна его
алгебраической кратности т,- как собственного значения,
так что т\ + т-2 + ... = п.
Для любой квадратной матрицы А с собственными зна чениями Я/ матрица аА имеет собственные значения аЯ;;
матрица А р — собственные значения Я/ (р — 0, 1, 2,...); каждый многочлен или аналитическая функция / (Л) име ет собственные значения / (Я/).
Если две квадратные |
матрицы Л |
и ß имеют |
собствен |
||
ные значения Я/ и |
то |
спектром |
прямого произведения |
||
Л 0 |
В является |
множество всевозможных |
произведе |
||
ний |
Я/рй. |
|
|
|
|
Имеет место следующий фундаментальный результат о |
|||||
канонической форме матрицы. |
|
|
|||
Каждая квадратная матрица Л порядка п с помощью |
|||||
преобразования подобия |
|
|
|
||
|
|
J = 5Л5~' |
|
|
|
(det S ф 0) может быть приведена к нормальной жордановой форме
У = diag [Ух (ЯА), . . . , Jrn(Ят)] (т < п), |
(2.4) |
где |
|
К |
1 |
0 |
•• • |
0 |
|
о |
яр 1 |
.. • |
0 |
|
|
Jр(Яр) |
|
|
|
(р) |
(2.5) |
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
• |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
.. • |
я„ |
|
